1.2.2 直线的两点式方程（2种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2.2 直线的两点式方程（2种题型基础练+能力提升练） 一．直线的两点式方程（共3小题） 1．（2023秋•连云区校级月考）过点，的直线方程是　　 A． B． C． D． 【分析】写出直线的两点式方程，化为一般式即可． 【解答】解：由题意可得直线的两点式方程为：， 化为一般式可得： 故选：． 【点评】本题考查直线的两点式方程，属基础题． 2．（2023秋•工业园区月考）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知的两点求出直线的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解． 【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线上，点不在直线上． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，点和直线的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 3.（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；(2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 二．直线的截距式方程（共8小题） 4．（2023秋•连云港期中）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据截距的定义可知，在轴的截距即令求出的的值，在轴上的截距即令求出的值，分别求出即可． 【解答】解：令，得到，解得，所以；令，得到，解得，所以． 故选：． 【点评】此题考查学生理解直线截距的定义，是一道基础题． 5．（2023秋•阜宁县校级期中）已知点，，则直线在轴上的截距为　　 A． B． C． D． 【分析】根据、两点的坐标，求出直线的方程，然后将代入直线方程，求出的值，即可得到答案． 【解答】解：因为直线经过两点、， 所以直线方程为，化简得， 令，得，解得，即直线在轴上的截距为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、直线在坐标轴上的截距等知识，考查了计算能力，属于基础题． 6．（2023秋•盐城期中）下列说法中，正确的有　　 A．直线在轴上的截距是2 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为的直线方程为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【分析】对于，结合截距的定义，即可求解， 对于，将直线化成斜截式，即可求解， 对于，结合直线过点，且倾斜角为，即可求解， 对于，分直线在轴，轴上的截距为0，不为0两种情况，即可求解． 【解答】解：对于，直线在轴上的截距是，故错误， 对于，直线，即， 直线的斜率，直线与轴的截距大于0， 故直线经过第一、二、三象限，故正确， 对于，过点，且倾斜角为的直线方程为，即，故正确， 对于，直线在轴，轴上的截距为0时， 直线过点， 则直线方程为， 直线在轴，轴上的截距不为0时， 则可设直线方程为， 直线过点， 则，解得， 故直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 7．（2023秋•盐城月考）若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，分直线在两坐标轴的截距不为0，为0讨论，即可求解． 【解答】解：当直线在两坐标轴的截距为0时，可设直线方程为， 直线过点， 则， 故直线方程为，即，故正确， 当直线在两坐标轴的截距不为0时，可设直线方程为或或， 当直线方程为时， 则，解得，即，故正确， 当直线方程为时， 则，解得，即， 当直线方程为时， 则，解得，即，故正确， 故选：． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 8．（2023秋•新吴区校级期中）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 　或　． 【分析】对直线是否经过原点分类，结合条件，求出的方程． 【解答】解：若直线经过原点，满足条件，可得直线的方程为． 若直线不经过原点，可设直线的方程为， 把点代入可得，解得． 直线的方程为，即． 综上可得直线的方程为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论思想与计算能力，属于基础题． 9．（2023秋•常州期中）过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点．当的面积最小时，的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意设直线的截距式方程为，可得，由基本不等式可得，可得的面积，可得此时直线的方程． 【解答】解：由题意设直线的截距式方程为， 直线过，， ，， 当且仅当即且时取等号， 的面积， 面积的最小值为4，此时直线的方程为， 化为一般式方程可得． 故选：． 【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用，属基础题． 10．（2023秋•泗阳县期中）设为实数，直线． （1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【分析】（1）将直线方程整理可得，可得直线恒过与的交点，可证得直线恒过定点； （2）设直线的截距式方程，可得截距之和，由基本不等式可得它的最小值． 【解答】（1）证明：因为直线 整理可得：对恒成立， 从而由，解得，从而过定点； （2）解：由题意设， 因为直线过定点，所以， 两坐标轴的正半轴的截距之和为，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 从而的方程为， 即． 【点评】本题考查直线恒过定点的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题． 11．（2023秋•连云区校级期中）已知直线与直线交于点． （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． 【分析】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程即可； （2）讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0进行求解即可． 【解答】解：（1）联立，解得，即， 由题意，设直线的方程为， 将代入直线方程，得，即， 所以直线的方程为． （2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，得，即， 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 【点评】本题主要考查直线的截距式方程，考查转化能力，属于中档题． 一．多选题 1．（2023秋•江苏月考）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设． 【解答】解：当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得 所以或 解得或 所以直线方程为或，故，正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，正确． 故选：． 【点评】本题考查直线的方程的应用，属于基础题． 2．（2023秋•丹阳市月考）下列说法正确的是　　 A．直线的倾斜角为 B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线恒过定点 D．已知直线过点，且与，轴正半轴交于点、两点，则面积的最小值为4 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率，恒过定点的直线系，截距式直线方程，基本不等式判断、、、的结论． 【解答】解：对于：直线的斜率，由于，，故直线的的倾斜角为，故正确； 对于：经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为和，故错误； 对于：直线，整理得，故该直线恒过定点，故正确； 对于：已知直线过点，且与，轴正半轴交于点、两点，设直线的方程为，，故，， 所以，故正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率，恒过定点的直线系，截距式直线方程，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 3．（2023秋•秦淮区校级月考）下列说法错误的是　　 A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B．直线必过定点 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．过，，，两点的所有直线的方程为 【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定错误；根据直线系方程过定点，可判定正确；根据时，此时直线的斜率不存在，可判定错误；根据直线的方程，分类讨论，可判定正确． 【解答】解：对于中：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， 此时直线方程为，满足题意，所以错误； 对于中：直线可化为，由方程组，解得，， 即直线必过定点，所以正确； 对于中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以错误； 对于中，由两点，，，， 当时，此时过，，，两点的所有直线的方程为，即， 当时，此时过，，，两点的所有直线的方程为或，适合上式， 所以过，，，两点的所有直线的方程为，所以正确． 故选：． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查转化能力，属于中档题． 二．解答题 4．（2023秋•秦淮区月考）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； 【分析】（1）点斜式求出直线方程，得到、两点坐标，可计算的面积； （2）设直线的斜率为，表示出直线方程，得到、两点坐标，由求直线的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：， 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故的面积为． （2）根据题意，直线的斜率存在且， 所以直线的方程为：， 整理得： 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 所以，解得， 所以的面积， 由于的面积满足， 所以，整理得：， 解不等式得：， 故直线的斜率的取值范围． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，基本不等式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 5．（2023秋•海安市校级月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． （1）在轴、轴上的截距互为相反数； （2）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【解答】解：（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上， ，，即． 综上所述，直线的方程为或 （2）由题意可知，直线与两坐标轴均交于正半轴， 故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即，时等号成立， 故此时面积最小为， 故直线方程为，即． 【点评】本题主要考查了直线方程的截距式方程的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 6．（2023秋•亭湖区校级月考）已知直线． （1）当直线在轴上的截距是它在轴上的截距3倍时，求实数的值； （2）当直线不通过第四象限时，求实数的取值范围． 【分析】（1）当直线经过原点时，，显然满足题意，当直线不过原点时，分别求出直线在，轴上的截距，结合题意可求； （2）当时，直线方程为，显然满足题意；当时，直线的方程可化为，结合一次函数的性质可求． 【解答】解：（1）当直线经过原点时，，显然满足题意， 当直线不过原点时，令得，，令得， 所以， 解得或； （2）当时，直线方程为，显然满足题意； 当时，直线的方程可化为， 由题意得， 解得， 综上，的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了直线方程的截距式的应用及一次函数性质的应用，属于中档题． 7．（2023秋•广陵区校级月考）已知直线过点． （1）若直线在两坐标轴上截距和为零，求方程； （2）设直线的斜率，直线与两坐标轴交点分别为、，求面积最小值． 【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率的值，可得结论． （2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得面积最小值． 【解答】解：（1）直线过点，若直线在两坐标轴上截距和为零， 设直线的方程为，即． 则它在两坐标轴上截距分别为 和， 由题意，， 或， 直线的方程为 或． （2）设直线的斜率， 则直线与两坐标轴交点分别为，、 0，， 求面积为， 当且仅当时，等号成立， 故面积最小值为4． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题． 8.（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直的关系求得直线的斜率，再利用直线的斜截式即可得解； （2）联立与的直线方程，求得它们的交点，再利用截距式与待定系数法即可得解. 【详解】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为， 又在轴上的截距为， 所以直线的方程为. （2）联立，解得， 因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点， 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，， 则，解得， 故方程为，即； 综上所述：的方程为或. 9.在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的截距式方程； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 【解析】解　设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵＝， ∴(3－a,1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的截距式方程为＋＝1. (2)∵A，P，B三点共线， ∴＝， 整理得＋＝1， ∴·＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立． ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.2 直线的两点式方程（2种题型基础练+能力提升练） 一．直线的两点式方程（共3小题） 1．（2023秋•连云区校级月考）过点，的直线方程是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•工业园区月考）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是　　 A． B． C． D． 3.（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 二．直线的截距式方程（共8小题） 4．（2023秋•连云港期中）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2023秋•阜宁县校级期中）已知点，，则直线在轴上的截距为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•盐城期中）下列说法中，正确的有　　 A．直线在轴上的截距是2 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为的直线方程为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 7．（2023秋•盐城月考）若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•新吴区校级期中）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 　 　． 9．（2023秋•常州期中）过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点．当的面积最小时，的方程为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•泗阳县期中）设为实数，直线． （1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 11．（2023秋•连云区校级期中）已知直线与直线交于点． （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． 一．多选题 1．（2023秋•江苏月考）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•丹阳市月考）下列说法正确的是　　 A．直线的倾斜角为 B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线恒过定点 D．已知直线过点，且与，轴正半轴交于点、两点，则面积的最小值为4 3．（2023秋•秦淮区校级月考）下列说法错误的是　　 A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B．直线必过定点 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．过，，，两点的所有直线的方程为 二．解答题 4．（2023秋•秦淮区月考）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； 5．（2023秋•海安市校级月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． （1）在轴、轴上的截距互为相反数； （2）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 6．（2023秋•亭湖区校级月考）已知直线． （1）当直线在轴上的截距是它在轴上的截距3倍时，求实数的值； （2）当直线不通过第四象限时，求实数的取值范围． 7．（2023秋•广陵区校级月考）已知直线过点． （1）若直线在两坐标轴上截距和为零，求方程； （2）设直线的斜率，直线与两坐标轴交点分别为、，求面积最小值． 8.（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 9.在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的截距式方程； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$