精品解析：天津市河西区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列情况适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某班学生的身高情况 D. 学校招聘，对应聘人员进行面试 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查的直接判断即可. 【详解】A，调查化工厂周围5个村庄是否受污染，可全面调查； B，调查某批汽车抗撞击能力，具有破坏性，适合抽样调查. C，调查某班学生身高，适合全面调查； D，学校招聘对应聘人员面试，是全面调查； 故选：B 2. 设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过恰当的举例找到三个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀殶子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”， 表示事件“点数是偶数点”，表示事件“点数是奇数点”， ， 此时满足，但，故选项错误； ，但，故选项错误； 成立，但，故选项错误； 对于选项，对于随机事件，且， 则由得，又， 得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以选项正确. 故选： 3. 下列命题正确的是 A. 一条直线和一点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 三条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】 利用确定平面的条件即可依次判断出正误. 【详解】根据一条直线和直线外一点确定一个平面,知A不正确; B显然正确; C中四点不一定共面,或当四点在一条直线上时,不能确定一个平面,故C不正确; 三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故D不正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了确定平面的条件，需理解定理、定义，属于基础题. 4. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则根据样本数据估计落在区间[10,40)的概率为(　　) A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布表知 样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9 故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45 故选B． 5. 随机掷两枚质地均匀骰子，它们“向上的点数之和不超过”的概率记为，“向上的点数之和大于”的概率记为，“向上的点数之和为偶数”的概率记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法结合古典概型的公式求出，即可求解 【详解】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下： 共有36种等可能的结果， 其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况， “向上的点数之和大于5”的有26种情况， “向上的点数之和为偶数”的有18种情况， 所以“向上的点数之和不超过5”的概率， “向上的点数之和大于5”的概率， “向上的点数之和为偶数”的概率． 因为， 所以， 故选：C． 6. 铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ） A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为 C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第80百分位数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，利用极差、众数、中位数、百分位数的概念求解即可得结论. 【详解】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm）， 对于A：极差为，故A正确； 对于B：众数为3.62，故B正确； 对于C：中位数为，故C正确； 对于D：因为％＝6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确. 故选：ABC. 7. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，．则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，则． 其中正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的平行垂直关系逐个判断即可. 【详解】对①, 若，，,则与可以平行、相交或异面，故①错误. 对②, ，，则，故②正确. 对③,当，，，则，故③正确. 对④, ，，则或者, 与相交，故④错误. 故②③正确. 故选：C 8. 袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解. 【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为. 故选：B. 9. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以③恒成立； 设与交于点，则为底面正方形的中心，且， 由正四棱锥，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立； 对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立. 故选：A. 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 某中学高一年级有550名学生，高二年级有500名学生，高三年级有450名学生．用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了18人，则从高二年级应抽取的学生人数为_____ 【答案】20 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出抽取高二年级学生的人数即可. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为， 则高二年级抽取的人数是， 故答案为：20． 11. 某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为_____ 【答案】“两次都中靶” 【解析】 【分析】根据对立事件的定义分析求解. 【详解】因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶， 所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”. 故答案为：“两次都中靶” 12. 若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数求出x，再求数据的方差. 【详解】，解得， 该组样本数据的方差为. 故答案为：2 【点睛】本题考查样本数据的平均值与方差，属于基础题. 13. 如图，在棱长为1正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系： 则， ，， 所以， 即与FG所成的角的余弦值为. 故答案为： 14. 从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是5的倍数的概率为_____这个两位数是偶数的概率为_____ 【答案】 ①. ##0.36 ②. ##0.52 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数， 因为十位不能为0，则十位共有5种情况，个位有5种情况， 则共有25种情况， 要使两位数是5的倍数，则个位上必须是5或0，且十位不能为0， 若个位上是5，则有4种情况； 若个位上是0，共有5种情况，故共有9种情况， 则这个两位数是5倍数的概率为. 要使两位数是偶数，则个位上必须是偶数，且十位不能为0， 若个位上是2或4，则有8种情况； 若个位上是0，则有5种情况，则共有13种情况， 则这个两位数是偶数的概率为. 故答案为：；. 15. 如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，进而得到答案. 【详解】因为,所以， 由题意，，则， 所以， 因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且二面角大小为60°，所以， 而，，于是, 所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． （1）求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； （2）从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少． 【答案】（1），甲离子残留百分比的中位数为4； （2）0.105. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，即可求中位数； （2）先求出组、组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：且， 解得， 甲离子残留百分比的中位数为. 【小问2详解】 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为， 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7， ​​​​​​​所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为. 17. 甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． （Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率； （Ⅱ）求乙最终通过面试的概率； （Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）甲第二次答题通过面试，则第一次面试未通过，利用分步用乘法即可计算出概率. （Ⅱ）利用对立事件求出乙最终未通过面试的概率，再用1减去未通过面试的概率即得通过的概率. （Ⅲ）利用对立事件求出甲、乙两人都未通过面试的概率，再用1减去甲、乙两人都未通过面试的概率即得甲、乙两人至少有一人通过面试的概率. 【详解】解：（Ⅰ）设甲第二次答题通过面试事件，则． （Ⅱ）设乙最终通过面试为事件，对立事件为乙最终没通过面试， ∵， ∴． （Ⅲ）设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试， ∵， ∴． 18. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM． 因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD． 又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形， 所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB． （2）①证明：如图，连接PE，BE． 因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD， 所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角． 在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2． 在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1． 在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝， 从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB． 又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC． 又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD． ②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角． 由PB＝及已知，得∠ABP为直角． 而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝． 又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝． 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为． 考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解． 【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列情况适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某班学生的身高情况 D 学校招聘，对应聘人员进行面试 2. 设为一个随机试验中三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是 A. 一条直线和一点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 三条平行直线确定一个平面 4. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则根据样本数据估计落在区间[10,40)的概率为(　　) A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 5. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过”的概率记为，“向上的点数之和大于”的概率记为，“向上的点数之和为偶数”的概率记为，则（ ） A. B. C. D. 6. 铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ） A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为 C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第80百分位数为 7. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，．则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，则． 其中正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（ ） A ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 某中学高一年级有550名学生，高二年级有500名学生，高三年级有450名学生．用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了18人，则从高二年级应抽取的学生人数为_____ 11. 某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为_____ 12. 若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________. 13. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______. 14. 从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是5的倍数的概率为_____这个两位数是偶数的概率为_____ 15. 如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为______ 三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85． （1）求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数； （2）从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少． 17. 甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． （Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率； （Ⅱ）求乙最终通过面试的概率； （Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 18. 如图，四棱锥P－ABCD底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$