精品解析：北京汉德三维集团2023-2024学年高一下学期第九次联考(期末)数学试卷

北京汉德三维集团高一年级第九次联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用，黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线平面，则下列说法正确的是（ ） A. l仅垂直平面内的一条直线 B. l仅垂直平面内与l相交的直线 C. l仅垂直平面内的两条直线 D. l与平面内的任意一条直线垂直 3. 在中，，则的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 已知，，若，则实数的值是（　　） A. -1 B. 7 C. 1 D. 1或7 6. 设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 16 B. C. 18 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市中小学生每天运动时间 B. 某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查 C. 农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中8位店员的生活质量情况 10. 若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. 虚部为 B. 的实部为1 C. 在复平面上对应的点位于第一象限 D. 11. 在直角坐标系中，已知点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若点在直线上，则 D. 若在方向上的投影向量的坐标是，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 13. 设复数，为虚数单位，且，若，则________． 14. 在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球体积的最大值是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 16. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为的概率. 17. 为了了解某年龄段名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于秒与秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前个组的频率之比为，且第二组的频数为. （1）将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数； （2）求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩； （3）若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于秒的概率. 18. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京汉德三维集团高一年级第九次联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用，黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数即可求解. 【详解】. 故选：B 2. 若直线平面，则下列说法正确的是（ ） A. l仅垂直平面内的一条直线 B. l仅垂直平面内与l相交的直线 C. l仅垂直平面内的两条直线 D. l与平面内的任意一条直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可 【详解】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直． 所以ABC错误，D正确， 故选：D 3. 在中，，则的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径. 故选：A 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得 故选：D. 5. 已知，，若，则实数的值是（　　） A. -1 B. 7 C. 1 D. 1或7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得 . ∴解得. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 6. 设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】由是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 对于①中，由，则或与相交，所以不正确； 对于②中，由，则或或与相交，所以不正确； 对于③中，由，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得， 所以正确的； 对于④中，由，可得，所以正确. 故选：B. 7. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 16 B. C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积. 【详解】取的中点的中点，连接，，， ，所以四点共面， 如图所示. ，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面， 易得， 所以四边形的面积. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市中小学生每天的运动时间 B. 某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查 C. 农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中8位店员的生活质量情况 【答案】AC 【解析】 【分析】 选项B要普查，选项D容量小可以普查，选项A,C总体容量大，用抽样调查. 【详解】因为B中要对所有小朋友进行检查，所以用普查的方式；D中共8名店员，可采用普查的方式；A，C中总体容量大，难以做到普查，故采用抽样调查的方式. 故选:AC. 【点睛】本题考查抽样调查适用的范围和条件，属于基础题. 10. 若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为1 C. 在复平面上对应的点位于第一象限 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据乘方的周期性以及复数除法法则化简复数，再判断选项即可. 【详解】因为复数， 对于A,B,的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确； 对于C，，所以在复平面上对应点为，位于第一象限，故C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 11. 在直角坐标系中，已知点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若点在直线上，则 D. 若在方向上的投影向量的坐标是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出，再结合数量积、共线向量、投影向量的意义依次判断得解. 【详解】依题意，， 则， 对于A，由，则，A正确； 对于B，， 由，得，解得，即，B错误； 对于C，依题意，共线，则，C正确； 对于D，由在方向上的投影向量是，得， 则，即，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点：按比例抽样，即所占比例不变． 【详解】高二人数占总人数的比例为，高二抽取的人数为 故答案为：10． 13. 设复数，为虚数单位，且，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由复数且， 可得，即， 又因为，则，可得，所以， 所以． 故答案为：. 14. 在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球体积的最大值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出组合体的中截面，由题意可得大球半径R和小球半径r满足，从而可求出，进而可求得答案 【详解】如图所示，为组合体的中截面，易知当小球的表面积最大时大球半径R和小球半径r满足，解得，故小球体积的最大值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱体积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 16. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解； （2）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解. 【小问1详解】 乙第一次考核通过的概率， 乙第二次考核通过的概率为， 乙通过考核的概率为； 【小问2详解】 甲考核1次，乙考核2次的概率； 甲考核2次，乙考核1次的概率； 甲乙两人的考核次数和为3的概率. 17. 为了了解某年龄段名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于秒与秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前个组的频率之比为，且第二组的频数为. （1）将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数； （2）求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩； （3）若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于秒的概率. 【答案】（1）人；（2）名；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率乘以1000等于成绩在内的人数；（2）首先计算第二种的频率，再根据公式计算样本容量；（3）首先计算第一组和第五组的人数，再进行标号，列举所有的基本事件后，按照古典概型公式计算概率. 【详解】(1)百米成绩在内的频率为，，所以估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数为人. (2)设图中从左到右前个组的频率分别为.依题意，得， 所以. 设调查中随机抽取了名学生的百米成绩，则，得，所以调查中随机抽取了名学生的 百米成绩. (3)百米成绩在第一组的学生数有，记他们的成绩为；百米成绩在第五组的学生 数有，记他们的成绩为，则从第一、第五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有，共21个.其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有，所以两个成绩的差的绝对值大于秒的概率为. 18. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案； （2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值. 【小问1详解】 ， ， 则， ，， 又，； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得， 即，， 所以,（当且仅当时取“＝”）， 故，， 的最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面角的定义找出直线与平面所成角，即可求解. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，如图所示. 因为，易得，所以， 又，，所以， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接交于点，连接， 则，且，所以四边形是平行四边形， 为中点，.因为平面， 所以直线是直线在平面内的射影， 所以是直线与平面所成的角， 即为直线与平面所成角的平面角. 如图所示，过点作，垂足为，连接， 因为，所以,易得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以，所以， 在直角中，由平面平面，则，解得， 所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$