第13章 轴对称章节自测综合-八年级数学上册精选易错题练习（人教版）

一．选择题（共20小题） 1．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　） A．2 B．2 C．6 D．3 2．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（　　） A．20 B．26 C．32 D．36 4．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定 5．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 6．如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（　　） A．4 B．6 C．6 D．10 7．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　） A．24 B．24 C．12 D．12 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 9．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（　　） A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 10．△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（　　） A．18+8 B．24+8 C．22+6 D．31+ 11．如图，∠AOB＝60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 12．如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线（　　） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 13．如图，已知∠AOB＝60°，点D是∠AOB的平分线上的一点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE＝DF，∠EDF＞90°．下列结论中正确的是（　　） A．∠EDF是一个定值 B．四边形DEOF的面积是一个定值 C．当DE⊥OA时，△DEF的周长最小 D．当DE∥OB时，DF也平行OA 14．等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是50°，则该等腰三角形顶角是（　　） （1）甲的结果是100°；（2）乙的结果是40°；（3）丙的结果是140°． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 15．如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰三角形，且AD＝CD，AB的垂直平分线交AB于点E，交BD于点F，若BC＝6，则EF的长为（　　） A． B． C．2 D．1.5 16．若点P在边长为2等边三角形ABC的边AC上移动，则BP的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 17．某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 18．如图所示，在平面直角坐标系中，点P（0，2）关于M（1，0）的对称点Q的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2） 19．如图，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，若a∥b，CA＝CB，∠2＝74°，则∠1的度数为（　　） A．74° B．37° C．32° D．16° 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 二．多选题（共5小题） （多选）21．如图在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，3），点C在x轴上，满足△ABC为等腰三角形的C的坐标有（　　） A．（﹣2，0） B． C． D． （多选）22．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列结论其中正确的有（　　） A．△DEF一定为等腰三角形 B．△CFG一定为等边三角形 C．△FDC可能为等腰三角形 D．BD＝2BE （多选）23．如图，△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论正确的是（　　） A．∠DFB＝∠DBF B．△EFC为等腰三角形 C．△ADE的周长等于△BFC的周长 D． （多选）24．已知AD、CE分别是等腰△ABC的高线与角平分线，且AD、CE相交于点F，若∠B＝70°，则∠CFD的度数为（　　） A．55° B．62.5° C．67.5° D．70° （多选）25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论正确的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．AE＝AF C．∠EBC＝∠C D．GF＝GE 三．填空题（共10小题） 26．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝48°，则∠B的度数为 　 　． 27．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 　 　cm． 28．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为 　 　． 29．已知点A、点B在直线l上，AB＝8．若动点P在直线l外，且到直线l的距离为3，则PA+PB的最小值为 　 　． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE度数为 　 　． 31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，若点P在边BC上，且PE∥AB，PF∥AC，则PE+PF＝　 　cm． 32．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M，N．若AB＝3，AC＝5，则△AMN的周长是 　 　． 33．如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝30°，AC＝b，CD＝a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB＝c，则下列说法正确的是 　 　．（填序号） ①△BCD是等边三角形； ②a+c＜b； ③a＝c； ④b＝2a． 34．如图，在锐角△ABC中，，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 35．若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　 　，b＝　 　． 四．解答题（共15小题） 36．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 37．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 38．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），线段AE是由线段AD绕点A逆时针旋转2α得到，连接DE．判断直线DE与BC的位置关系，并说明理由． 39．已知等腰三角形的周长为15cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 40．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B． （1）请利用直尺和圆规作出△ABC关于直线AC对称的△AGC；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE＝AD．请利用直尺和圆规作出点D和点E．（不要求写作法，保留作图痕迹） 41．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．若∠B＝75°，求∠3的度数． 42．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣5，﹣1），C（0，1）． （1）点A关于y轴对称的点的坐标为 　 　； （2）把△ABC向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1． 43．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数． （2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm． ①求△MBC的周长； ②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由． 44．如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上． （1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； （2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形． 45．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG． （1）若D是AC的中点，求证：AC＝2AB； （2）若∠ACB＝30°，求证：△BGC为等边三角形． 46．如图，每一个小正方形的边长为1． （1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A'B'C'； （2）求△ABC的面积． 47．已知点P（m﹣3，2m+4），根据下列条件求出各点的坐标． （1）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，则P点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，则P关于x轴的对称点Q的坐标． 48．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BH＝BC． 49．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE＝∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 50．如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC的三个顶点A，B，C分别关于x轴对称得到△DEF，A，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）请在图中画出△DEF，并直接写出D，F的坐标，D：　 　，F：　 　； （2）三角形DEF的面积为：　 　； （3）在x轴上有一点P，使得△PAB的面积为2，求P点的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　） A．2 B．2 C．6 D．3 【答案】B 【分析】设C（m，0），则有AC+BD＝+，推出要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时PM+PN的值最小，求出NQ即可解决问题． 【解答】解：设C（m，0）， ∵CD＝2， ∴D（m+2，0）， ∵A（0，2），B（0，4）， ∴AC+BD＝+， ∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小， 如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小， ∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2） PM+PN的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2， ∴AC+BD的最小值为2． 解法二：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′， EA′＝＝2， ∴AC+BD的最小值为2． 故选：B． 2．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长． 【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZN＝a， ∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZ＝GF＝a， 同理IN＝a， ∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 3．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（　　） A．20 B．26 C．32 D．36 【答案】A 【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小． 根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH， ∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长， ∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°， ∴∠HBG＝90°， ∴GH2＝BG2+BH2＝20， ∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20， 故选：A． 4．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定 【答案】C 【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题； 【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵∠MBN＝30°， ∴∠ABM+∠CBN＝30°， ∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°， ∴∠NBM＝∠NBH， ∵BM＝BH，BN＝BN， ∴△NBM≌△NBH， ∴MN＝NH＝x， ∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m， ∴∠NCH＝120°， ∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形， 故选：C． 5．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【答案】C 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH，∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝． 故选：C． 6．如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（　　） A．4 B．6 C．6 D．10 【答案】B 【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小． 【解答】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小． 由对称的性质可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝6， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ECF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CE＝6， ∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6， 故选：B． 7．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　） A．24 B．24 C．12 D．12 【答案】C 【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT， AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长， 可得AK＝AE•sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6， ∴AR＝2+6+4＝12， ∵AD＝24， ∴sin∠ADR＝＝， ∴∠ADR＝30°， ∵∠PFD＝60°， ∴∠ADT＝90°， ∴AT＝＝＝12， 故答案为：C． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM．，推出∠DCN+∠DCM＝180°，可得M、C、N共线，由DF+DE+EF＝DM+DE+EN，DM+DE+EN≥MN，可知F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，求出CD的值即可解决问题． 【解答】解：如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM． ∵∠MCA＝∠DCA，∠BCD＝∠BCN，∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠DCN+∠DCM＝180°， ∴M、C、N共线， ∵DF+DE+EF＝FM+EF+EN， ∵FM+EF+EN≥MN， ∴当F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD， ∵CD⊥AB， ∴AB•CD＝BC•AC， ∴CD＝＝2.4 ∴DE+EF+FD的最小值为4.8． 故选：C． 9．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（　　） A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误； D、如图，正五边形中，直线l即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 10．△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（　　） A．18+8 B．24+8 C．22+6 D．31+ 【答案】C 【分析】如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H． 【解答】解：如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H． ∴PH2＝PB2﹣BH2＝PQ2﹣HQ2， ∴22﹣BH2＝（）2﹣（3﹣BH）2， 解得BH＝， ∴PH2＝4﹣2＝2， ∴PH＝， ∴PH＝BH＝， ∴∠PBQ＝45°， ∵∠ABP＝∠ABP′，∠CBQ＝∠CBQ′， ∴∠P′BQ′＝2（∠ABC﹣∠PBQ）+∠PBQ＝2∠ABC﹣∠PBQ＝150°， 作Q′K⊥P′B于K． 在Rt△BKQ′中，∠KBQ′＝30°，BQ′＝BQ＝3， ∴KQ′＝，BK＝， 在Rt△P′Q′K中，KP′＝2+，KQ′＝， ∴P′Q′2＝（2+）2+（）2＝22+6， ∴（MP+MN+NQ）2＝P′Q′2＝22+6． 故选：C． 11．如图，∠AOB＝60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N则MP＝MP'，NP＝NP''，OP＝OP'＝OP''，∠BOP＝∠BOP''，∠AOP＝∠AOP''，则PN+PM+MN＝NP''+MN+MP'＝DC，∠P'OP''＝2∠AOB＝120°，此时△PMN周长最小，为P'P''，据此解答即可． 【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N， 则MP＝MP'，NP＝NP''，OP＝OP'＝OP''，∠BOP＝∠BOP''，∠AOP＝∠AOP'， ∴PN+PM+MN＝NP''+MN+MP'＝P'P''， ∠P'OP''＝2∠AOB＝120°， ∴此时△PMN周长最小值为P'P''， 延长P'P，交OB与D． ∵∠AOB＝60°， ∴∠P'PP''＝120°， ∴∠EPD＝60°， ∴∠D＝30°， ∵PE＝3， ∴PD＝2PE＝6， ∴CD＝CP+PD＝2+6＝8， ∴OC＝CD＝， ∴OP＝＝＝， ∴P'P''＝OP＝＝2， 即△PMN周长的最小值是2． 故选：A． 12．如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线（　　） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】D 【分析】根据光线的反射，即可确定． 【解答】解：有4条：分别是：由S发出的线SP； 由S发出，经过AD反射直接通过P的光线； 由S发出，经过CD反射直接通过P的光线； 由S发出，经过CD反射再经过AD反射通过P的光线． 故选：D． 13．如图，已知∠AOB＝60°，点D是∠AOB的平分线上的一点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE＝DF，∠EDF＞90°．下列结论中正确的是（　　） A．∠EDF是一个定值 B．四边形DEOF的面积是一个定值 C．当DE⊥OA时，△DEF的周长最小 D．当DE∥OB时，DF也平行OA 【答案】C 【分析】过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，证明Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），得出∠EDM＝∠FDN，S△DEM＝S△DFN，求出∠EDF＝120°，得出∠EDF是一个定值；根据S△DEM+S四边形DEON＝S四边形DEON+S△DFN，得出S四边形DEOF＝S四边形DMON，说明四边形DEOF的面积是一个定值；根据，得出当DE最小时，△DEF的周长最小，根据垂线段最短，得出当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小；根据DE∥OB时，∠DEO＝180°﹣∠ABC＝120°，得出∠DFO＝360°﹣∠EDF﹣∠DEO﹣∠AOB＝60°，求出∠AOB+∠DFO＝60°+60°＝120°≠180°，求出DF一定与OA不平行． 【解答】解：过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，如图所示： ∵点D是∠AOB的平分线上的一点， ∴DM＝DN， ∵DE＝DF， ∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL）， ∴∠EDM＝∠FDN，S△DEM＝S△DFN， ∴∠EDM+∠EDN＝∠EDN+∠FDN， ∴∠MDN＝∠EDF， ∵∠DMO＝∠DNO＝90°，∠AOB＝60°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ∴∠EDF＝120°， 即∠EDF是一个定值；当E、F关于OD对称时，DE＝DF，∠EDF不固定， 故A错误，不符合题意； ∵S△DEM＝S△DFN， ∴S△DEM+S四边形DEON＝S四边形DEON+S△DFN， 即S四边形DEOF＝S四边形DMON， ∵四边形DMON的面积是一个定值， ∴四边形DEOF的面积是一个定值，当E、F关于OD对称时，DE＝DF，∠EDF不固定， 四边形DEOF的面积不固定， 故B错误，不符合题意； ∵DG⊥EF，DE＝DF， ∴EG＝FG，， ∴， ∴， ∴， ∴当DE最小时，△DEF的周长最小， ∵垂线段最短， ∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故C正确，符合题意； ∵DE∥OB时，∠DEO＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠DFO＝360°﹣∠EDF﹣∠DEO﹣∠AOB＝60°， ∴∠AOB+∠DFO＝60°+60°＝120°≠180°， ∴DF一定与OA不平行，故D错误，不符合题意． 故选：C． 14．等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是50°，则该等腰三角形顶角是（　　） （1）甲的结果是100°；（2）乙的结果是40°；（3）丙的结果是140°． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 【答案】C 【分析】分情况先画出图形，再解答即可． 【解答】解：当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为50°时， 当等腰三角形为锐角三角形时如图1， AB＝AC，BD⊥AC于点D，∠ABD＝50°， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°； 当为钝角三角形时如图2， AB＝AC，BD⊥AC于点D，∠ABD＝50°， ∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°＝100°． 当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为50°时，如图3： AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝100°， ∴甲、乙、丙的结果合起来才对； 故选：C． 15．如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰三角形，且AD＝CD，AB的垂直平分线交AB于点E，交BD于点F，若BC＝6，则EF的长为（　　） A． B． C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】设AC、BD交于点G．根据等腰三角形的特点和垂直平分线的性质，证明BD是AC的垂直平分线，再证明Rt△BEF∽Rt△BGA，根据对应边成比例求出EF的长即可． 【解答】解：如图，设AC、BD交于点G． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， ∴B在AC的垂直平分线上， ∵△ACD是等腰三角形，且AD＝CD， ∴D在AC的垂直平分线上， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴∠BGA＝90°，AG＝AC＝BC＝3， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴∠BEF＝90°，BE＝AB＝BC＝3， ∴∠BEF＝∠BGA， 又∵∠EBF＝∠GBA， ∴Rt△BEF∽Rt△BGA， ∴＝， ∵BG＝AB•sin∠BAG＝6sin60°＝3， ∴＝， ∴EF＝． 故选：B． 16．若点P在边长为2等边三角形ABC的边AC上移动，则BP的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】作BD⊥AC，由等边三角形的性质，得到AB＝BC＝AC＝2，结合BD⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质，得到DC的长度，在Rt△DBC中，应用勾股定理，求出BD的长，根据垂线段最短，即可求解， 【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝BC＝AC＝2， ∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△DBC中，， ∵BD⊥AC，点边AC上移动， ∴， 当点P与点D重合时，BP取得最小值， 故选：D． 17．某厂家生产填色手工风筝，如图，其布面是一等腰三角形，若它的两边长分别是4和9，则该等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 【答案】B 【分析】分三边为9，9，4与三边为9，4，4时两种情况讨论，看看是否符合构成三角形三边关系的条件，然后求解． 【解答】解：分为两种情况： ①当等腰三角形的三边为9，9，4时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：9+9+4＝22， ②当等腰三角形的三边为9，4，4时， ∵4+4＜9， ∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在， 故选：B． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，点P（0，2）关于M（1，0）的对称点Q的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2） 【答案】C 【分析】根据点P和点Q关于点M对称，得出它们横纵坐标之间的关系，结合点P和点M的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵点P和点Q关于点M对称， ∴． 又∵点P坐标为（0，2），点M坐标为（1，0）， ∴xQ＝2×1﹣0＝2，yQ＝2×0﹣2＝﹣2， 则点Q的坐标诶（2，﹣2）． 故选：C． 19．如图，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，若a∥b，CA＝CB，∠2＝74°，则∠1的度数为（　　） A．74° B．37° C．32° D．16° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出∠CBA＝74°，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵a∥b，∠2＝74°， ∴∠CBA＝∠2＝74°， ∵CA＝CB， ∴∠1＝180°﹣74°﹣74°＝32°， 故选：C． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用线段的垂直平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC， ∴EC＝ED＝2， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE 中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝4． ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6， 故选：D． 二．多选题（共5小题） （多选）21．如图在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，3），点C在x轴上，满足△ABC为等腰三角形的C的坐标有（　　） A．（﹣2，0） B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分为三种情况：①当BC1＝BA时，②当AC4＝BA，③当AC2＝BA，④当AC3＝BC3，画出图形，即可得出答案． 【解答】解：如图， ∵A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， 由勾股定理得：， ①当BC1＝BA时，OC1＝OA＝2，此时点C1（﹣2，0）； ②当，此时点； ③当，此时点； ④当AC3＝BC3，设OC3＝x，则BC3＝2+x， 在Rt△OBC3中，由勾股定理得：，即x2+32＝（x+2）2， 解得：，此时点， 故选：ABC． （多选）22．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列结论其中正确的有（　　） A．△DEF一定为等腰三角形 B．△CFG一定为等边三角形 C．△FDC可能为等腰三角形 D．BD＝2BE 【答案】ABD 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可判断A选项，由FG⊥DE及DE⊥AB可判定B选项，由B选项的情况可判定C选项，由含30°角直角三角形的性质可判定D选项． 【解答】解：∵FG是线段DE的垂直平分线， ∴FE＝FD， ∴△DEF一定为等腰三角形； 故A正确； ∵FG⊥DE，DE⊥AB， ∴FG∥AB， ∴∠FGC＝∠GFC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△CFG是等边三角形， 故B选项正确； 若△FDC可能是等腰三角形， ∵∠C＝60°， ∴△FDC一定是等边三角形； ∵△FCG是等边三角形， ∴D、G必重合； 由题意知，D、G不可能重合，则△FDC不可能是等腰三角形， 故C选项错误； ∵DE⊥AB，∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BD＝2BE， 故选项D正确； 故选：ABD． （多选）23．如图，△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论正确的是（　　） A．∠DFB＝∠DBF B．△EFC为等腰三角形 C．△ADE的周长等于△BFC的周长 D． 【答案】ABD 【分析】A．根据角平分线定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB； B．同理可得∠ECF＝∠EFC，则△EFC为等腰三角形； C．用特殊值法，当△ABC为等边三角形时，连接AF，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF＝AF＝CF，进而得BF+CF＞AC，便可得出△ADE的周长不等于△BFC的周长； D．利用两次三角形的内角和，以及角平分线定义的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式． 【解答】解：A．∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， 又∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DFB＝∠DBF， 故本选项符合题意； B．同理∠ECF＝∠EFC， ∴EF＝EC， ∴△EFC为等腰三角形， 故本选项符合题意； C．假设△ABC为等边三角形，则AB＝AB＝BC，如图，连接AF， ∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴BD＝DF，EF＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC， ∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点， 即AF平分∠BAC， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°， ∴FA＝FB＝FC， ∵FA+FC＞AC， ∴FB+FC＞AC， ∴FB+FC+BC＞BC+AC， ∴FB+FC+BC＞AB+AC， 即△BFC的周长＞△ADE的周长， 故本选项不符合题意； D．在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°①， 在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB＝180°， 即∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°②， ②×2﹣①得，∠BFC＝90°+∠BAC， 故本选项符合题意； 故选：ABD． （多选）24．已知AD、CE分别是等腰△ABC的高线与角平分线，且AD、CE相交于点F，若∠B＝70°，则∠CFD的度数为（　　） A．55° B．62.5° C．67.5° D．70° 【答案】ABD 【分析】分三种情况：分AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，高线的定义可解答． 【解答】解：分三种情况： ①当AB＝AC时，如图1， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠B＝70°， ∴∠ACB＝70°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠DCF＝∠ACB＝×70°＝35°， ∴∠CFD＝90°﹣35°＝55°； ②当AB＝BC时，如图2， ∴∠BAC＝∠ACB， ∵∠B＝70°， ∴∠ACB＝＝55°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠DCF＝∠ACB＝×55°＝27.5°， ∴∠CFD＝90°﹣27.5°＝62.5°； ③当AC＝BC时，如图3， ∴∠B＝∠BAC＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠DCF＝20°， ∴∠CFD＝90°﹣20°＝70°， 综上，∠CFD＝55°或62.5°或70°． 故选：ABD． （多选）25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论正确的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．AE＝AF C．∠EBC＝∠C D．GF＝GE 【答案】ABD 【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE，即可得出AE＝AF；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF，根据垂直平分线的性质即可得出GF＝GE． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∠BAD+∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝∠C，故A符合题意； ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°， ∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD （对顶角相等）， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，故B符合题意； ∵∠ABE＝∠CBE， ∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故C不符合题意； ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，即△AFE为等腰三角形， ∵AG平分∠DAC， ∴AG⊥EF， ∴AG是EF的垂直平分线， ∴GF＝GE，故D符合题意； 综上所述，正确的结论是ABD． 故选：ABD． 三．填空题（共10小题） 26．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝48°，则∠B的度数为 　33°　． 【答案】33°． 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得∠B＝∠BCE，再根据三角形外角的性质可求解． 【解答】解：∵CE＝AC， ∴∠A＝∠AEC， ∵∠A+∠AEC+∠ACE＝180°，∠ACE＝48°， ∴∠AEC＝66°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠B＝∠BCE， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE， ∴∠B＝33°， 故答案为：33°． 27．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 　30　cm． 【答案】30． 【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论． 【解答】解：如图，连接BD， ∵∠BCE＝2∠BCD，且∠BCD+BCE＝180°， ∴∠BCD＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝30cm， 此时B，D两点之间的距离为30cm， 故答案为：30． 28．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】先确定DE和FG的长为确定的值，得到四边形DEFG的周长最小时，即为DG+EF最小时，过点F作FP∥DG得平行四边形DGFP，知FP＝DG，DP＝FG＝1，作点E关于AB对称点Q，连接QF，则QF＝EF，连接QP，当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，得到DG+EF最小为QP，在Rt△PCQ中由勾股定理可得QP，从而可求出结论． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB∥CD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∵BE＝1，BC＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2， 在Rt△DCE中，DC＝4，CE＝2， ∴， ∵FG＝1， ∴四边形DEFG的周长为＝， 要使四边形DEFG的周长最小，只要DG+EF最小即可， 过点F作FP∥DC交DC于点P，则四边形DGFP是平行四边形， ∴FP＝DG，DP＝FG＝1， ∵DC＝4， ∴CP＝DC﹣DP＝4﹣1＝3 延长CB到点Q，使BQ＝BE＝1，连接QF，则QF＝EF， ∴CQ＝BC+BQ＝3+1＝4， ∴DG+EF＝PF+QF， 当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP， ∴DG+EF的最小值为QP， 在Rt△PCQ中，， ∴四边形DEFG的周长为＝， 故答案为：． 29．已知点A、点B在直线l上，AB＝8．若动点P在直线l外，且到直线l的距离为3，则PA+PB的最小值为 　10　． 【答案】10． 【分析】先推出点P在平行于直线l，且到直线l的距离为3的直线m上，作点A关于直线m的对称点A'，连接PA'，A'B，推出PA+PB的最小值为A'B，再利用勾股定理求出A'B即可解决问题． 【解答】解：∵点P在直线l外，且到直线l的距离为3， ∴点P在平行于直线l，且到直线l的距离为3的直线m上，如图， 作点A关于直线m的对称点A'，连接PA'，A'B， 则AA'＝6，PA'＝PA， ∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B， ∴PA+PB的最小值为A'B， 在Rt△A'BA中， ∵AB＝8，A'A＝6， ∴由勾股定理，得A'B＝＝＝10， ∴PA+PB的最小值为10． 故答案为：10． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE度数为 　17.5°　． 【答案】17.5°． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝35°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝110°， ∴∠B＝∠C＝35°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝72.5°， ∴∠ADE＝17.5°， 故答案为：17.5°． 31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，若点P在边BC上，且PE∥AB，PF∥AC，则PE+PF＝　10　cm． 【答案】10． 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形AFPE是平行四边形，求得AF＝PE，根据等腰三角形 到现在和平行线的性质得到PF＝BF，于是得到结论． 【解答】解：∵PE∥AB，PF∥AC， ∴四边形AFPE是平行四边形， ∴AF＝PE， ∵AB＝AC＝10cm， ∴∠B＝∠C， ∵PF∥AC， ∴∠PBF＝∠C， ∴∠B＝∠FPB， ∴PF＝BF， ∴PE+PF＝AF+BF＝AB＝10cm， 故答案为：10． 32．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M，N．若AB＝3，AC＝5，则△AMN的周长是 　8　． 【答案】8． 【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质可推出∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，则有MO＝MB，NO＝NC，从而得到△AMN的周长． 【解答】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠ABO＝∠MOB， ∴MO＝MB， 同理可得：NO＝NC， ∴MN＝OM+ON＝BM+NC ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+BM+NC＝AB+AC＝3+5＝8， 故答案为：8． 33．如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝30°，AC＝b，CD＝a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB＝c，则下列说法正确的是 　①③　．（填序号） ①△BCD是等边三角形； ②a+c＜b； ③a＝c； ④b＝2a． 【答案】①③． 【分析】求出∠D＝90°﹣30°＝60°，而BC＝CD，推出△BCD是等边三角形，得到BD＝CD＝a，由垂线段最短得到AC＜AD，因此b＜a+c，由含30角的直角三角形的性质推出AD＝2CD＝2a，得到a＝c，由AD＝2a，AC＜AD，推出b＜2a． 【解答】解：∵ACD＝90°，∠A＝30°， ∴∠D＝90°﹣30°＝60°， 由题意知：BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形， 故①符合题意； ∵△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝a， ∴AD＝a+c， ∵AC⊥CD， ∴AC＜AD， ∴b＜a+c， 故②不符合题意； ∵ACD＝90°，∠A＝30°， ∴AD＝2CD＝2a， ∴c+BD＝2a， ∵BD＝a， ∴a＝c， 故③符合题意； ∵AD＝2a，AC＜AD， ∴b＜2a， 故④不符合题意． ∴说法正确的是①③． 故答案为：①③． 34．如图，在锐角△ABC中，，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是 　3　． 【答案】3． 【分析】在AC上取一点N'，使AN'＝AN，连接MN'，BN'，过点B作BH⊥AC于点H，推出BM+MN的最小值是BH，再求出BH的长即可． 【解答】解：在AC上取一点N'，使AN'＝AN，连接MN'，BN'，过点B作BH⊥AC于点H，如图， ∵AD平分∠BAC， ∴AD是∠BAC的对称轴， ∴MN＝MN'， ∴BM+MN＝BM+MN'≥BN'≥BH， ∴BM+MN的最小值是BH， 在Rt△ABH中， ∵∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵AB＝3， ∴由勾股定理，得BH2+AH2＝AB2， 即BH2+BH2＝（3）2， ∴BH＝3（负值已舍）， ∴BM+MN的最小值是3． 35．若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　1　，b＝　　． 【答案】1，． 【分析】根据点M和点N关于点P对称，可知点P为MN的中点，据此可解决问题． 【解答】解：因为点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称， 所以点P为线段MN的中点， 所以． 故答案为：1，． 四．解答题（共15小题） 36．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50°； （2）∠B+∠ACD＝90°，理由见解答过程． 【分析】（1）连接BD并延长，交AC于H，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，DC＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，根据三角形的外角性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）的结论解答即可． 【解答】解：（1）连接BD并延长，交AC于H， ∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB，DC＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC， ∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC， ∴∠ADC＝2∠ABC＝80°， ∵DA＝DB，DC＝DB， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠CAD＝（180°﹣80°）＝50°； （2）∠B+∠ACD＝90°， 理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴2∠ACD+2∠ABC＝180°， ∴∠ACD+∠ABC＝90°． 37．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 【答案】（1）∠CPD＝100°； （2）CP＝5． 【分析】（1）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°，可得∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°，则∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°，根据∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF，求解作答即可； （2）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P，可得CE＝CP＝DP，DP＝DF，即CE＝DF，由CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13，可求CE＝5，进而可得CP的长． 【解答】解：（1）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°， ∴∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°， ∴∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°， ∴∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF＝100°， ∴∠CPD＝100°； （2）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P， ∴CE＝CP＝DP，DP＝DF， ∴CE＝DF， ∴CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13， 解得CE＝5， ∴CP＝5． 38．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），线段AE是由线段AD绕点A逆时针旋转2α得到，连接DE．判断直线DE与BC的位置关系，并说明理由． 【答案】DE⊥BC，理由见解析． 【分析】延长ED交BC于点F，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：DE⊥BC， 理由：如图，延长ED交BC于点F， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E， ∵∠DAE＝2α， ∴∠ADE＝90°﹣α， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠CDF＝90°﹣α， ∵∠C＝α， ∴∠CDF+∠C＝90°﹣α+α＝90°， ∴∠CFD＝90°， 即DE⊥BC， 39．已知等腰三角形的周长为15cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【答案】4cm或6cm． 【分析】设腰长为x cm，底边长为y cm．根据一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3cm，可得两种情况，①x﹣y＝3；②y﹣x＝3，分别与2x+y＝15组成方程组，求解即可． 【解答】解：设腰长为x cm，底边长为y cm． ①若腰比底边长，根据题意得，解得； ②若底边比腰长，根据题意得，解得． 故这个三角形的腰长是4cm或6cm． 40．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B． （1）请利用直尺和圆规作出△ABC关于直线AC对称的△AGC；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE＝AD．请利用直尺和圆规作出点D和点E．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解答． 【分析】（1）延长BC到G，使CG＝BG，然后连接AG即可； （2）作AC的垂直平分线，交AC于F，连接BF并延长交AG于点D，再作BD的垂直平分线交BD于点E，连接CE，根据三角形的中位线定理，CE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，然后利用“角角边”可以证明△ADF和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可知CE＝AD． 【解答】解：（1）所画△AGC见图． （2）所画图形见图． 作图简要步骤如下： ①作AC的垂直平分线，交AC于F点； ②连接BF并延长，交AG于D点； ③作BD的垂直平分线，交BD于E点，连接CE． 则D点和E点为所求． 41．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．若∠B＝75°，求∠3的度数． 【答案】30°． 【分析】先证明∠DCE＝∠ACB，再利用SAS证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质得到∠DEC＝∠B＝75°，利用等边对等角得到∠CEB＝∠B＝75°，由此利用平角的定义求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠DCE＝∠ACB， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS） ∴∠DEC＝∠B＝75°， ∵CE＝CB， ∴∠CEB＝∠B＝75°， ∴∠3＝180°﹣∠DEC﹣∠CEB＝30°． 42．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣5，﹣1），C（0，1）． （1）点A关于y轴对称的点的坐标为 　（2，4）　； （2）把△ABC向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1． 【答案】（1）（2，4）； （2）见解析． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得出结果； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，4）， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为（2，4）， 故答案为：（2，4）； （2）△A1B1C1 如图所示， ． 43．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数． （2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm． ①求△MBC的周长； ②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）40°； （2）①20cm； ②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是12cm． 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案； ②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝ACB＝65°， ∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∵MN⊥AB， ∴∠ANM＝90°， ∴∠AMN＝180°﹣∠A﹣∠ANM＝40°； （2）如图：连接BM， ①∵MN垂直平分AB． ∴MB＝MA， ∴△MBC＝MB+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝20（cm）； ②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是12cm． 44．如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上． （1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； （2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形． 【答案】见解答． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可； （2）当BP＝BA＝5时可确定P点位置；当AP′＝AB＝5时，可确定点P′的位置． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C′为所作； （2）如图，点P和点P′为所作． 45．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG． （1）若D是AC的中点，求证：AC＝2AB； （2）若∠ACB＝30°，求证：△BGC为等边三角形． 【答案】证明见解析． 【分析】（1）连接BD，证出△ABD是等边三角形，得出AB＝AD，则可得出结论； （2）证出∠CBF＝60°，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵DE是边BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵D为AC的中点， ∴DA＝DC， ∴DB＝DA， ∵BF⊥AC，F为AD的中点， ∴AB＝BD， ∴AB＝BD＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD， ∴AC＝2AB； （2）证明：∵DB＝DC，∠ACB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵AB＝BD， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠DBF＝30°， ∴∠CBF＝60°， ∵BC的垂直平分线为DE， ∴BG＝CG， ∴△BCG为等边三角形． 46．如图，每一个小正方形的边长为1． （1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A'B'C'； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）见解答． （2）． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． （2）△ABC的面积为（1+5）×3﹣﹣＝9﹣1﹣＝． 47．已知点P（m﹣3，2m+4），根据下列条件求出各点的坐标． （1）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，则P点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，则P关于x轴的对称点Q的坐标． 【答案】（1）（﹣4，2）； （2）点Q的坐标为（（﹣10，10）或（﹣，﹣）． 【分析】（1）根据第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可； （2）先求出点P的坐标，再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可． 【解答】解：（1）∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2， ∴2m+4＝2， ∴2m+4＝2， 解得m＝﹣1， ∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4， ∴P（﹣4，2）； （2）∵点到两坐标轴的距离相等， ∴|m﹣3|＝|2m+4|， 即m﹣3＝2m+4或m﹣3＝﹣2m﹣4， 解得m＝﹣7或m＝﹣， ∴P（﹣10，﹣10）或（﹣，）， ∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为（（﹣10，10）或（﹣，﹣）． 48．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BH＝BC． 【答案】（1）45°+； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠ACB＝90°﹣α，再根据角的和差求解即可； （2）延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E，结合邻补角定义求出∠BAC＝∠ABF＝α，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠DAB＝α，∠BAE＝α，BE＝BC，再根据角平分线的性质即可得证． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α， ∵∠ACD+∠BAC＝45°， ∴∠ACD＝45°﹣α， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（45°﹣α）＝45°+； （2）证明：如图2，延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ABD+∠BAC＝180°，∠ABD+∠ABF＝180°， ∴∠BAC＝∠ABF＝α， ∵AB＝BD， ∴∠D＝∠DAB， ∵∠D+∠DAB＝∠ABF， ∴∠D+∠DAB＝∠ABF＝α， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴∠BAE＝∠BAC＝α，BE＝BC， ∴∠DAB＝∠BAE， ∵BH⊥AD，AE⊥BC， ∴BH＝BE， ∴BH＝BC． 49．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE＝∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 【答案】（1）答案见解析； （2）40°． 【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论； （2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90° ∴∠BCD＝∠BDE． ∴； （2）解：∵∠ADE＝160° ∴∠BDE＝20°， ∵DE⊥BC，EF⊥AC， ∴∠DEB＝∠AFE＝90°， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝70°， ∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°． 50．如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC的三个顶点A，B，C分别关于x轴对称得到△DEF，A，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）请在图中画出△DEF，并直接写出D，F的坐标，D：　（0，﹣2）　，F：　（﹣1，1）　； （2）三角形DEF的面积为：　7　； （3）在x轴上有一点P，使得△PAB的面积为2，求P点的坐标． 【答案】（1）画图见解答；（0，﹣2）；（﹣1，1）． （2）7． （3）（6，0）或（2，0）． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设P点的坐标为（m，0），则可列方程为＝2，求出m的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． 由图可得，D（0，﹣2），F（﹣1，1）． 故答案为：（0，﹣2）；（﹣1，1）． （2）三角形DEF的面积为＝﹣﹣4＝7． 故答案为：7． （3）设P点的坐标为（m，0）， 则＝2， 解得m＝6或2， ∴P点的坐标为（6，0）或（2，0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$