第11章 三角形章节自测综合-八年级数学上册精选易错题练习（人教版）

一．选择题（共20小题） 1．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度． A．84 B．111 C．225 D．201 2．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 3．如图，AD是△ABC的角平分线，已知∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAC的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．40° 4．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．14° D．16° 5．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③；④；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 7．三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 8．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．27° B．59° C．69° D．79° 9．一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 11．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6 12．已知△ABC的三边长分别为2、2、3，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图，直线l1和l2分别经过正五边形的一个顶点，l1∥l2，∠1＝14°，则∠2的度数为（　　） A．44° B．46° C．48° D．50° 14．一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 15．小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 16．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（　　） A．50° B．58° C．60° D．62° 17．日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 18．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（　　） A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定 19．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　　）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 20．如图，在△ABC中，直尺的边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．其中点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为2；则△ABC中BC边上的高为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二．多选题（共5小题） （多选）21．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长为x，若x为整数，则x的值可以是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 （多选）22．下列说法中正确的是（　　） A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．多边形的外角和随着边数的增加而增大 D．一个三角形中至少有两个角为锐角 （多选）23．下列说法中正确的是（　　） A．三角形的内角中可以有两个钝角 B．三角形的内角中至少有一个直角 C．在一个锐角三角形中，任意两角之和必大于90° D．三角形的内角中至少有1个锐角 （多选）24．下列说法正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．一个四边形的四个内角中最多可以有三个锐角 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 （多选）25．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD，AE分别是高和角平分线，点F在BC的延长线上，FH⊥AE交AD于G，交AB于H，下列结论中正确的是（　　） A．∠DAE＝∠F B． C． D．∠AGH＝∠CAE+∠B 三．填空题（共10小题） 26．已知，如图1，在△ABC，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示） 　 　． 27．多边形所有外角中，最多有　 　个钝角，　 　个直角． 28．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是 　 　． 29．如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝　 　度． 30．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点，则AP的长为　 　． 31．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：　 　． 32．有若干个三角形，在所有的内角中，有6个是直角，有3个是钝角，24个是锐角，则其中有　 　个锐角三角形． 33．在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD＝20°，则∠CED的度数是 　 　． 34．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　 　个． 35．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　 　度． 四．解答题（共15小题） 36．如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度数． 37．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交直线CD于点F． （1）当点E在线段AC上时，求证：∠AEF+∠DAC＝180°； （2）若点E在线段CA的延长线上，∠AEF与∠DAC之间有怎样的数量关系，并证明； （3）若点E在线段CA的反向延长线上，∠AEF＝44°，∠DAC：∠BAC＝2：3，求∠CFE的度数． 38．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠B和∠ACD的度数． 39．一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数． 40．（1）已知一个正多边形的边数为n．若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值； （2）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数． 41．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 42．已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 43．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝102°． （1）求∠B的度数； （2）若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝51°，试说明：AE∥DC． 44．已知△ABC的边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|． 45．一个多边形的外角和与它的内角和的比是2：9，求这个多边形的边数． 46．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|2b+c|． 47．已知一个多边形的边数为a． （1）若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值； （2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为108°，求a的值． 48．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1＝∠2． （1）求证：AD∥BC； （2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，求∠C的度数． 49．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是 　 　． 50．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度． A．84 B．111 C．225 D．201 【答案】D 【分析】在图①②③中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出∠O1、∠O2、∠O3的度数，再相加即可得答案． 【解答】解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°； ②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°； ③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222° 故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69° ∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201° 故选：D． 2．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【答案】B 【分析】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可． 【解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 3．如图，AD是△ABC的角平分线，已知∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAC的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC＝60°，再根据角平分线的定义求解即可． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， 故选：C． 4．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．14° D．16° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可． 【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝68°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝BAC＝32°， ∵AD是△ABC的BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝68°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°， 故选：A． 5．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③；④；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案． 【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确， ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确； ③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF， ∴2∠DCF+∠ACB＝180°， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF， ∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴，故③正确； ④∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°， ∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°， ∴∠DCF+∠ABD＝90°， ∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°， ∴，故④正确； ⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤不正确． 故选：C． 6．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知． 【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线， 则是∠BAC的角平分线， 所以AO是△ABE的角平分线，故①正确； BE是三角形ABC的中线， 则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误． 故选：A． 7．三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】由三角形的稳定性，即可得到答案． 【解答】解：利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：B． 8．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．27° B．59° C．69° D．79° 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果． 【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处， ∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ABC＝3∠3， 在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°， ∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°， 在△ABC中， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°， 即20°+2∠3+106°＝180°， ∴∠3＝27°， ∴∠C＝106°﹣27°＝79°， 故选：D． 9．一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】设第三边长为x，根据三角形三边的关系得4＜x＜16，再根据题意即可得到x可取6、8、10、12、14． 【解答】解：设第三边长为x， 根据题意得10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16， 又∵三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数，不等边三角形， ∴x为8、12、14，符合条件的三角形有3个， 故选：B． 10．如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】求出∠GED，利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵∠FEG＝90°， ∴∠GED+∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝35°， ∴∠GED＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠GHB＝∠GED＝55°． 故选：C． 11．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6 【答案】C 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、2+1＝3，长度是1，2，3的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、2+3＝5＜7，长度是2，3，7的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、2+6＞7，长度是2，6，7的线段能组成三角形，故C符合题意； D、3+3＝6，长度是3，3，6的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 12．已知△ABC的三边长分别为2、2、3，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】AB＝AC＝2，BC＝3，分以下四种情况进行讨论：①以点B为圆心，以AB为半径画弧交BC于D，作直线AD即可；②以点C为圆心，以AC为半径画弧交BC于E，作直线AE即可；③作线段AB的垂直平分线GF交BC于点F，作直线AF即可；④作线段AC的垂直平分线交BC于点H，作直线AH即可，综上所述即可得出答案． 【解答】解：设AB＝AC＝2，BC＝3， ∵BC＞AB， ∴有以下四种情况， ①以点B为圆心，以AB为半径画弧交BC于D，作直线AD，如图1所示： 则AB＝BD＝2， ∴直线AD将△ABC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ②以点C为圆心，以AC为半径画弧交BC于E，作直线AE，如图2所示： 则AC＝CE＝2， ∴直线AE将△ABC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ③作线段AB的垂直平分线GF交BC于点F，作直线AF，如图3所示： 则AF＝BF， ∴直线AF将△ABC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ④作线段AC的垂直平分线交BC于点H，作直线AH，如图4所示： 则AF＝BF， ∴直线AH将△ABC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形． 综上所述：这样的直线最多可以画4条， 故选：B． 13．如图，直线l1和l2分别经过正五边形的一个顶点，l1∥l2，∠1＝14°，则∠2的度数为（　　） A．44° B．46° C．48° D．50° 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出五边形每个内角的度数，再根据已知条件求出∠3，∠4和∠5，最后根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：如图所示： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠D＝（5﹣2）×180°÷5＝108°， ∵∠1＝14°， ∴∠3＝108°﹣14°＝94°， ∵l1∥l2， ∴∠3+∠4＝180°， ∴∠4＝180°﹣94°＝86°， ∴∠5＝108°﹣86°＝22°， ∵∠2+∠5+∠D＝180°， ∴∠2＝180°﹣22°﹣108°＝50°， 故选：D． 14．一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】1．根据多边形的内角和与外角和的性质，列出相应的数学表达式；2．由题可知，内角和与外角和的和为1800°，将该条件转化为数学表达式；3．将上述两个数学表达式联立，解得n的值；4．根据n的值，得出多边形的边数． 【解答】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和与外角和的性质，有： 内角和＝（n﹣2）×180°外角和＝360°，由题可知，内角和与外角和的和为1800°， 即：（n﹣2）×180°+360°＝1800°， 解得：n＝10， 因此，这个多边形的边数为10． 答案：10 应选：B． 15．小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 【答案】C 【分析】由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性质和三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，BC∥AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD， ∵∠A＝44°， ∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°， 故选：C． 16．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（　　） A．50° B．58° C．60° D．62° 【答案】B 【分析】因为BD是∠ABC的角平分线，所以，由AD⊥BD，得∠ADB＝90°，则，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，即可作答． 【解答】解：因为BD是∠ABC的角平分线， ∴， 由AD⊥BD，得∠ADB＝90°， 在△ABD中，， 因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°， 把∠DAC＝20°，∠C＝38°代入， 得， 那么∠ABC＝64°， 所以， 故选：B． 17．日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【解答】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识． 故选：C． 18．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（　　） A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和为360°，可得这个多边形的内角和也为360°，即可进行解答． 【解答】解：∵多边形的外角和为360°， ∴这个多边形的内角和也为360°， 设这个多边形为n边形， 180°×（n﹣2）＝360°， 解得：n＝4， ∴它是四边形， 故选：B． 19．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　　）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 【答案】B 【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论． 【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠DGF＝∠DCE+∠E， ∴∠DGF＝70°+30°＝100°． ∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D， ∴∠D＝10°． 而图中∠D＝20°， ∴∠D应减少10°． 故选：B． 20．如图，在△ABC中，直尺的边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．其中点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为2；则△ABC中BC边上的高为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】过A作AH⊥BC于H，交DE于F，根据已知条件得到BC＝16﹣8＝8，DE＝14.5﹣10.5＝4，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，交DE于F， ∵点B，C，D，E处的读数分别为8、16、10.5、14.5， ∴BC＝16﹣8＝8，DE＝14.5﹣10.5＝4， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵直尺宽为3， ∴FH＝2， ∴＝， ∴AH＝4， ∴△ABC中BC边上的高为4， 故选：C． 二．多选题（共5小题） （多选）21．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长为x，若x为整数，则x的值可以是（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】ABC 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 【解答】解：设第三边长为x，由题意得： 7﹣3＜x＜7+3， 则4＜x＜10， ∵x为整数， ∴x＝5或6或7或8或9， 故选：ABC． （多选）22．下列说法中正确的是（　　） A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．多边形的外角和随着边数的增加而增大 D．一个三角形中至少有两个角为锐角 【答案】AD 【分析】A．求出∠C的度数，即可判断； B．根据三角形的外角的性质，即可判断； C．根据多边形的外角和定理，即可判断； D．根据三角形的分类，即可判断． 【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠C＝90° ∴△ABC为直角三角形，故本选项符合题意； B．三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和，故本选项不符合题意； C．多边形的外角和＝360°，故本选项不符合题意； D．一个三角形中至少有两个角为锐角，故本选项不符合题意； 故选：AD． （多选）23．下列说法中正确的是（　　） A．三角形的内角中可以有两个钝角 B．三角形的内角中至少有一个直角 C．在一个锐角三角形中，任意两角之和必大于90° D．三角形的内角中至少有1个锐角 【答案】CD 【分析】根据三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【解答】解：因为钝角是大于90°而小于180°的角，又三角形的内角和为180°，因此三角形的内角中不可以有两个钝角，因此选项A不符合题意； 锐角三角形的三个内角都是锐角，因此选项B不符合题意； 锐角三角形的三个内角都是锐角，而三角形的内角和为180°，因此任意两角之和必大于90°，故选项C符合题意； 三角形的内角和为180°，三角形的内角中至少有1个锐角，因此选项④符合题意； 故选：CD． （多选）24．下列说法正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．一个四边形的四个内角中最多可以有三个锐角 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 【答案】BD 【分析】根据对顶角的定义判断A；根据四边形的内角和判断B；根据内错角的定义判断C；根据垂直的定义判断D；即可得解． 【解答】解：相等的角不一定是对顶角，故A说法错误，不符合题意； 在四边形的四个内角中，最多能有3个锐角，如果有4个，那么内角和就小于360°，故B说法正确，符合题意； 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C说法错误，不符合题意； 两直线相交形成的四个角相等，则这四个角都是90°，即这两条直线互相垂直，故D说法正确，符合题意； 故选：BD． （多选）25．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD，AE分别是高和角平分线，点F在BC的延长线上，FH⊥AE交AD于G，交AB于H，下列结论中正确的是（　　） A．∠DAE＝∠F B． C． D．∠AGH＝∠CAE+∠B 【答案】ABD 【分析】根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质判断即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，FH⊥AE， ∴∠AMG＝∠FDG＝90°， ∵∠AGH＝∠FGD， ∴∠GAM＝∠GFD，故A正确； ∵AE分别是高和角平分线， ∴， ∵∠AEF＝∠BAE+∠B，∠ACF＝∠BAC+∠B＝2∠BAE+∠B， ∴， ∴+∠B， ∴；故B正确； ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB， ∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝∠CAE﹣90°+∠ACB＝∠BAD﹣∠DAE﹣90°+∠ACB， ∵∠BAD＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠ACB﹣∠B﹣∠DAE， 由①得，∠EAD＝∠F， ∴∠F＝∠ACB﹣∠B﹣∠DAE，故C错误； ∵∠AGH+∠GAE＝∠AEC+∠DAE＝90°， ∴∠AGH＝∠AED， ∴∠AGH＝∠B+∠BAE， ∵∠BAE＝∠CAE， ∴∠AGH＝∠CAE+∠B，故D正确， 故选：ABD． 三．填空题（共10小题） 26．已知，如图1，在△ABC，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示） 　∠BO1C＝×180°+∠A，∠BOn﹣1C＝×180°+∠A．　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论． 【解答】解：根据题中所给的信息，总结可得：∠BO1C＝×180°+∠A， ∠BOn﹣1C＝×180°+∠A． 故答案为：∠BO1C＝×180°+∠A，∠BOn﹣1C＝×180°+∠A． 27．多边形所有外角中，最多有　3　个钝角，　4　个直角． 【答案】见试题解答内容 【分析】一个多边形的外角和360度，多边形的内角与外角互为邻补角，在这些外角中如果钝角的个数超过三个，外角和就超过360度，但如果有3个钝角，再有一个或几个锐角，外角和可以是360度．因而一个多边形中，它的外角最多可以有3个钝角．则内角最多可以有3个锐角．当有4个直角时，四角的和是360度，当超过四个直角时，外角和就超过360度，即可求得直角的个数． 【解答】解：∵多边形的外角和360度， ∴外角最多可以有3个钝角； 又∵当有4个直角时，四角的和是360度， ∴多边形所有外角中，最多有4个直角． 28．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是 　①②③④　． 【答案】①②③④． 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：设BE交FH于点J． ①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90° ∵FH⊥BE， ∴∠BGJ+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGJ， ∴∠DBE＝∠F， ①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， ②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）； ③正确； ④∵∠AEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB， ∴∠BGH＝∠ABE+∠C， ④正确， 故答案为：①②③④． 29．如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝　180　度． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案． 【解答】解：∵∠1+∠2+（360°﹣∠3）+∠4+∠5+（360°﹣∠6）+∠7+∠8+（360°﹣∠9）＝180°•（9﹣2）＝1260度， ∴（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝1260﹣360×3＝180°． 30．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点，则AP的长为　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】作PD⊥AC于D，PH⊥AB于H，PE⊥CB于E，如图，先计算出AB＝5，设AD＝x，BE＝y，利用角平分线的性质得PD＝PH，PE＝PH，所以PD＝PE，则可判定四边形PECD为正方形，利用CD＝CE得到y＝x﹣1，接着利用易得AD＝AH＝x，BH＝BE＝y得到x+y＝5，然后求出x后利用勾股定理计算PA的长． 【解答】解：作PD⊥AC于D，PH⊥AB于H，PE⊥CB于E，如图， 在Rt△ABC中，AB＝＝5， 设AD＝x，BE＝y， ∵P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点， ∴PD＝PH，PE＝PH， ∴PD＝PE， ∴四边形PECD为正方形， ∴CD＝CE，即3+x＝4+y， ∴y＝x﹣1， 易得AD＝AH＝x，BH＝BE＝y， ∴x+y＝5， ∴x+x﹣1＝5，解得x＝3， ∴DP＝DC＝3+3＝6， 在Rt△PAD中，PA＝＝3． 故答案为3． 31．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形外角的性质可表示出：∠BFC＝∠PAC+∠P，∠AFP＝∠PBC+∠C，根据对顶角相等的性质，可得到∠BFC＝∠AFP，从而可以用含有a、b、c、d的式子表示∠P，从而不难求解． 【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C， ∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C． ∵∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d． ∴a+∠P＝b+c ①． 同理：b+∠P＝a+d ②．①式+②式，得.2∠P＝c+d，∴∠P＝． 故答案为：． 32．有若干个三角形，在所有的内角中，有6个是直角，有3个是钝角，24个是锐角，则其中有　2　个锐角三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形内角和为180°，一个三角形中只能有一个直角或钝角，则这些三角形中有6个直角三角形，3个钝角三角形，还有6个锐角，就只能组成2个锐角三角形． 【解答】解：因为一个三角形中只能有一个直角或钝角， 所以由题可知，在原题中有6个直角三角形、3个钝角三角形， 这9个三角形将用去18个锐角，还有6个锐角，正好组成两个锐角三角形． 33．在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD＝20°，则∠CED的度数是 　10°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意和邻补角的性质分别求出∠DBA和∠PBA的度数，即可证明BA是△CBD的外角平分线；再作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线的性质证明DE平分∠BDA，最后依据三角形外角性质即可得到∠CED的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝100°，∠CBD＝20°， ∴∠DBA＝80°， ∴∠PBA＝80°， ∴∠DBA＝∠PBA， ∴BA是△CBD的外角平分线， 如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H， ∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB， ∴EF＝EH， 同理，EG＝EH， ∴EF＝EG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BD， ∴DE平分∠BDA， ∵∠ACB＝20°，∠CBD＝20°，CE平分∠ACB， ∴∠ADB＝40°，∠DCE＝10°， ∴∠ADE＝∠ADB＝20°， ∴∠CED＝∠ADE﹣∠DCE＝10°． 故答案为：10°． 34．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　12　个． 【答案】见试题解答内容 【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口． 【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c． ∵a+b+c＝30，a+b＞c ∴10＜c＜15 ∵c为整数 ∴c为11，12，13，14 ∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7； ②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8； ③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8； ④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； 故答案为：12个． 35．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　1080　度． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了180×5度， 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°． 四．解答题（共15小题） 36．如图，点D是△ABC边BC延长线上一点，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度数． 【答案】100°． 【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ACD＝∠B+∠A，再代入∠ACD＝120°，∠B＝20°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵点D是△ABC边BC延长线上一点， ∴∠ACD＝∠B+∠A， 即120°＝20°+∠A， ∴∠A＝100°． 37．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交直线CD于点F． （1）当点E在线段AC上时，求证：∠AEF+∠DAC＝180°； （2）若点E在线段CA的延长线上，∠AEF与∠DAC之间有怎样的数量关系，并证明； （3）若点E在线段CA的反向延长线上，∠AEF＝44°，∠DAC：∠BAC＝2：3，求∠CFE的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠AEF＝∠DAC，理由见解析； （3）∠CFE＝∠ADC＝70°． 【分析】（1）由平行线的性质与判定即可求证； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）根据平行线的性质与判定即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ADC＝180°， ∴AD∥BC， ∵EF∥BC， ∴AD∥EF， ∴∠AEF+∠DAC＝180°； （2）解：∠AEF＝∠DAC，理由如下，如图， 由（1）得AD∥EF， ∴∠AEF＝∠DAC； （3）解：如图， 由（1）得AD∥EF， ∴∠AEF＝∠DAC＝44°， ∵∠DAC：∠BAC＝2：3， ∴∠BAC＝66°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝44°+66°＝110°， ∵AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠CFE＝∠ADC＝70°． 38．如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠B和∠ACD的度数． 【答案】∠B＝48°，∠ACD＝83°． 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：∵DF⊥AB（已知）， ∴∠DFB＝90°（垂直的意义）， ∵∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形内角和是180°）， 又∵∠D＝42°， ∴∠B＝48°（等式性质）， ∵∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， 又∠A＝35°，∠B＝48°， ∴∠ACD＝83°（等式性质）． 39．一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数． 【答案】7． 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可列出方程，解方程即可． 【解答】解：设多边形的边数是n，由题意得， （n﹣2）×180°+360°＝1260°， 解得：n＝7． 答：多边形的边数为7． 40．（1）已知一个正多边形的边数为n．若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值； （2）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数． 【答案】（1）10； （2）∠A＝15°，∠B＝75°，∠C＝90°． 【分析】（1）根据多边形内角和定理、外角和定理解答即可； （2）根据三角形内角和定理及已知条件求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，（n﹣2）×180°＝4×360°， 解得n＝10； （2）在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝5∠A， ∴∠A+5∠A+∠C＝180°， 即6∠A+∠C＝180°①， ∵∠C﹣∠B＝15°， ∴∠C﹣5∠A＝15°②， ①﹣②得，11∠A＝165°， 解得∠A＝15°， ∴∠B＝5∠A＝75°，∠C＝15°+75°＝90°． 41．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】由三角形外角性质得，∠AGH＝∠B+∠C，∠FHG＝∠D+∠E，从而求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和，变为∠A+∠F+∠AGH+∠FHG的度数和，因∠A，∠F，∠AGH，∠FHG是四边形AGHF的四个内角，利用多边形的内角和定理：多边形的内角和＝180°（n﹣2）即可求出它们的和． 【解答】解：∵由三角形外角性质得，∠AGH＝∠B+∠C，∠FHG＝∠D+∠E， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠F+∠AGH+∠FHG＝180°×（4﹣2）＝360°． 故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°． 42．已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 【答案】（1）c＝4或6； （2）2a+2b﹣2c． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据绝对值的定义和三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c﹣c+a+b ＝2a+2b﹣2c． 43．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝102°． （1）求∠B的度数； （2）若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝51°，试说明：AE∥DC． 【答案】（1）78°； （2）见解答． 【分析】（1）根据平行线的性质即可求得答案； （2）根据角平分线定义及平行线性质可证得∠AEB＝∠BCD，从而证得结论． 【解答】（1）解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠BAD＝102°， ∴∠B＝78°； （2）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAD＝51°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝51°， ∵∠BCD＝51°， ∴∠AEB＝∠BCD， ∴AE∥DC． 44．已知△ABC的边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，再合并同类项化简即可． 【解答】解：∵三角形三边的长是a、b、c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c| ＝a+b﹣c+（b﹣a﹣c） ＝a+b﹣c+b﹣a﹣c ＝2b﹣2c． 45．一个多边形的外角和与它的内角和的比是2：9，求这个多边形的边数． 【答案】11． 【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和360°，列式计算即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， ∴多边形的内角和是180°（n﹣2）， 又∴多边形的外角和是360°， ∴， 解得n＝11， 经检验n＝11符合题意， ∴这个多边形的边数是11． 46．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|2b+c|． 【答案】2a+2b+c． 【分析】由三角形三边关系定理得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，由绝对值的意义，即可化简原式． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b＜c+a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣b+c+a+2b+c＝2a+2b+c． 47．已知一个多边形的边数为a． （1）若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值； （2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为108°，求a的值． 【答案】（1）12； （2）5． 【分析】（1）根据多边形的内角和与外角和列方程求得a的值即可； （2）根据正多边形的性质及多边形的内角和列得方程解得a的值即可． 【解答】解：（1）由题意可得（a﹣2）•180°﹣360°＝90°， 解得：a＝12； （2）由题意可得108°a＝（a﹣2）•180°， 解得：a＝5． 48．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1＝∠2． （1）求证：AD∥BC； （2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，求∠C的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由BD⊥CD，EF⊥CD可得BD∥EF，所以∠2＝∠3，结合∠1＝∠2得∠1＝∠3，据此即可得证； （2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义知∠3＝25°，由直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【解答】解：（1）证明：如图， ∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知）， ∴BD∥EF（垂直于同一直线的两条直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3（等量代换）． ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． （2）∵AD∥BC（已知）， ∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A＝130°（已知）， ∴∠ABC＝50°． ∵DB平分∠ABC（已知）， ∴∠3＝∠ABC＝25°． ∴∠C＝90°﹣∠3＝65°． 49．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是 　120°　． 【答案】（1）6；（2）120°． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解方程即可； （2）根据正多边形的性质列式计算即可． 【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得：（n﹣2）×180°＝2×360°， ∴n﹣2＝4， ∴n＝6， 即这个多边形的边数是6； （2）（6﹣2）×180°÷6＝120°， 即它每一个内角的度数是120°， 故答案为：120°． 50．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）130°． 【分析】（1）AD∥BC，得到∠1＝∠3，证明BD∥EF，得到∠2＝∠3，进而得到∠1＝∠2即可； （2）先求出∠ABC的度数，角平分线求出∠3的度数，进而得到∠1的度数，再利用角的和差关系即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∵BD⊥CD，EF⊥CD， ∴BD∥EF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； （2）解：∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°，∠1＝∠DBC， ∴∠ABC＝80°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠1＝40°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠1+∠BDC＝130°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$