10.3 直线与平面间的位置关系（综合）（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.3 直线与平面间的位置关系（综合） 题型1：判断线面平行 1．若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 2．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 3．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）． A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 5．在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（    ） A．平面内任意一条直线都不与平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面平行 D．平面和平面的交线不与底面平行 题型2：证明线面平行 6．如图，在正方体中，点为棱的中点．    求证：平面． 7．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1平面MA1C． 8．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，为AC、BD的交点. (1)求证：平面PCD； (2)图中EO还与图中哪个平面平行？ 9．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 10．如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.    题型3：补全线面平行的条件 11．在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 12．在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 题型4：线面平行的性质 14．若直线平面，直线平面，则与（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 15．如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（    ）    A． B．6 C． D．5 16．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ）    A． B． C． D． 17．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 题型5：线段比例或点所在的位置 18．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 19．已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（    ） A． B． C． D． 题型6：由线面平行的性质求长度 20．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 21．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 22．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 题型7：判断线面垂直 23．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 24．在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型8：证明线面垂直 26．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    27．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 题型9：补全线面垂直的条件 28．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 29．在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 题型10：由线面垂直推出其他结论 30．如图，平面，平面，分别为上的点，且.求证： 31．如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    32．已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 题型11：求线面角 33．已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值． 34．如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． (1)求证：//平面； (2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 一、填空题 1．如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则 ． 2．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 3．如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ． 4．已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱，的中点，点P在平面内，点Q在线段上，若，则长度的最小值为 .    5．如图，在平面内，，PO是平面的斜线，，点Q是PO上一点，且，则线段PQ在平面上的射影长为 .    6．设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;（2）平面上不存在直线，使之与所成角小于;（3）设，平面上恰有两条直线与所成角均为;（4）若直线，则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 . 7．如图，在正四棱锥中，，是BC的中点，是的重心，则在平面PAD内经过点且与直线PM垂直的直线有 条.    8．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 9．如图，矩形中，，M为BC的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有平面； ②存在某个位置，使得； ③存在某个位置，使得； 上面说法中所有错误的序号是 ．    10．已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是 . 二、单选题 11．已知三棱柱的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 12．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 14．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 17．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 直线与平面间的位置关系（综合） 题型1：判断线面平行 1．若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【分析】 根据线线，线面的位置关系可判断结果. 【解析】 在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点， 如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 因，平面，平面，则， 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交， 所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内. 故选：D. 2．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【解析】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A错误； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B错误； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C错误； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出平面，故D正确， 故选：D. 3．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）． A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 【答案】B 【分析】 根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误.    BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 【答案】D 【分析】 根据已知条件判断各选项中线线、线面位置关系，可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，记经过直线的平面为， 若两直线、互相平行，则或，A错； 对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错； 对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错； 对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对. 故选：D. 5．在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（    ） A．平面内任意一条直线都不与平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面平行 D．平面和平面的交线不与底面平行 【答案】D 【分析】利用反证法证明A、C，只需在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，即可判断B，根据线面平行的判定定理与性质定理判断D. 【解析】因为，，所以四边形为梯形，且、不平行， 对于A：若平面内存在直线与平行，又平面， 所以平面，又平面平面，平面， 所以，与、不平行矛盾， 所以平面内任意一条直线都不与平行，故A正确； 对于B：因为平面和平面的一个交点为，故二者存在过点的一条交线， 在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，故B正确； 对于C：若平面和平面的交线与底面平行， 设平面和平面的交线为，则平面， 因为平面平面，平面，所以，同理可得， 所以，与、不平行矛盾， 所以平面和平面的交线不与底面平行，故C正确； 对于D：因为，平面，平面，所以平面 设平面和平面的交线为，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 故平面和平面的交线与底面平行，故D错误；    故选：D 题型2：证明线面平行 6．如图，在正方体中，点为棱的中点．    求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于，则为中点，连接OE，易知OE为三角形的中位线，应用线面平行的判定证结论. 【解析】正方体中，四边形是正方形， 连接交于，则为中点， 连接OE，由为中点，得：OE为三角形的中位线，    所以，又平面，平面， 所以平面． 7．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，求证：BC1平面MA1C． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理即可证明BC1平面MA1C． 【解析】连接AC1交A1C于点O，连接MO， ∵O为AC1中点，M为AB中点，∴MO为△AC1B的中位线，∴MOBC1， 又∵MO平面MCA1，BC1平面MA1C， ∴BC1平面MA1C． 8．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，为AC、BD的交点. (1)求证：平面PCD； (2)图中EO还与图中哪个平面平行？ 【答案】(1)证明见解析 (2)平面 【分析】由结合线面平行的判定定理证明即可. 【解析】（1）因为E，为PB，BD的中点，所以， 又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. （2）因为，平面，平面，所以平面. 9．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【解析】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． （2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 10．如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接，ME，首先证明四边形是平行四边形，得到，则四边形MNDE是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可证明. 【解析】连接，ME， ∵M，E分别是，BC的中点， ∴，且， ∵N为的中点，∴. ，， 所以， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴四边形MNDE是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面.    题型3：补全线面平行的条件 11．在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【分析】 根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【解析】 对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 12．在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【答案】 【分析】根据线面平行的判断，即可补全. 【解析】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即. 故答案为： 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论. 【解析】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 题型4：线面平行的性质 14．若直线平面，直线平面，则与（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 【答案】D 【分析】利用直线与平面平行的性质可知，直线与平面内的直线始终没有公共点，即可得出结果. 【解析】根据线面平行的性质可知， 当直线平面，直线平面时，有以下情况 ①如下图所示； 此时与平行； ②如下图所示： 此时与异面； 即与异面或平行，所以它们没有公共点. 故选：D 15．如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（    ）    A． B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】 由线面平行得线线平行，再由平行线分割线段成比例可得，解出即可. 【解析】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，， 所以， 根据平行线分割线段成比例可得， 又，解得， ②当为异面直线时，连接，如图    由①证明可知，， 所以， 又，解得. 故选：C. 16．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案. 【解析】连接交于点，连接，则平面即为平面，    因为，平面，平面，所以， 因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分， 所以，， 所以且，所以， 又，所以，所以. 故选：B. 17．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【解析】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面， 由于平面,平面平面,故， 又，故．在等腰梯形MDEQ中，，， 在中，，，则，故梯形的高为，故． 故选:D． 题型5：线段比例或点所在的位置 18．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 19．已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，由线面平行的性质定理可得，再借助比例式可得答案. 【解析】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN， 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得， 因平面，平面，平面平面， 因此得，于是得，所以. 故选：C.    题型6：由线面平行的性质求长度 20．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【解析】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 21．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，计算得出，计算出、，根据已知条件可求得、的值，进而可求得的值. 【解析】如图，过点作，交于点，交于点，则底面. 连接、，平面，平面，， 所以，. ，平面，平面，平面， 平面，平面，，平面平面， 又平面，平面， 平面平面，平面，. 为中点，为中点，则为中点. 在线段上，，则， ，得， 则，所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何体中线段长的最大值和最小值求参数，解题的关键在于推导出，通过的最值求出的最值，进而列方程求解. 22．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【答案】A 【解析】分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，可证平面AMN∥平面BDEF，得P点在线段MN上．由此可判断当P在MN的中点时，AP最小；当P与M或N重合时，AP最大．然后求解直角三角形得答案． 【解析】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1， ∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1， ∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF； 连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB， 可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形， 则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF． 又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF． 又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上． 在Rt△AA1M中，AM， 同理，在Rt△AA1N中，求得AN，则△AMN为等腰三角形． 当P在MN的中点时，AP最小为， 当P与M或N重合时，AP最大为． ∴线段AP长度的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题. 题型7：判断线面垂直 23．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【解析】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 24．在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据长方体的结构特征直接判断与直线垂直的面的个数. 【解析】 如上图示，仅有平面和平面与直线垂直. 故选：B 25．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断． 【解析】对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，由线面垂直的性质定理得，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则n与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 题型8：证明线面垂直 26．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，利用平行四边形性质、平行公理证得，再利用线面垂直的性质、判定推理证明平面即可. 【解析】如图，取的中点，连接、，如图，F为的中点，则，    矩形中，点E为的中点，有，即， 于是四边形是平行四边形，有， 因为平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 则有，由，得，而平面， 因此平面，又，所以平面. 27．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理分析论证即可得证. （2）利用线面平行的判定定理分析论证即可得证. 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以，又由， 而，平面，平面， ∴平面. （2）证明： 如上图，连接交于，连接， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 题型9：补全线面垂直的条件 28．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 . 【答案】a与b相交 【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案. 【解析】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交. 故答案为：a与b相交 29．在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 【答案】2 【分析】根据线面垂直的判定定理证明． 【解析】当时，平面，证明如下： 证明，时，是中点， 因为，，所以， 又平面，所以平面． 故答案为：． 题型10：由线面垂直推出其他结论 30．如图，平面，平面，分别为上的点，且.求证： 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直性质可证得、、，由线面垂直的判定可证得平面，平面，由此可得，进而得到结论. 【解析】平面，平面，； 平面，平面，，； ，平面，平面， 又，，平面，平面， ，. 31．如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    【答案】证明见解析 【分析】由可证得，又，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明. 【解析】连接，设，则，， ，又，∴.    ∴，又， ∴，即， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 平面，∴. 32．已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证 (2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可 【解析】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点， OF为中位线，即，由，推出不平行， 平面中，平面中，平面，又平面， 所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB 是异面直线，从而得证. （2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体 的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面 正三角形的中心连接并延长交与点， ，又平面，，由，平面， .，，可得.由题意得，则， ，即EF和AB所成的角为 题型7：求线面角 33．已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）连接，由线面角的定义，结合直角三角形的边角关系求解即得. 【解析】（1）由平面平面，平面， 得平面平面，而平面， 所以平面． （2）连接，由平面平面，得， 则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角， 在中，，则， 由点是的中点，得，在中，， 所以直线与平面所成角的正切值是． 34．如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． (1)求证：//平面； (2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 （1）取中点为，证明//，即可由线线平行证明线面平行； （2）过作平面的垂线，结合几何特点求得，再求线面角的正弦值即可. 【解析】（1）取中点为，连接，如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//； 又，故//，则四边形为平行四边形，//； 又面面，故//面. （2）过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下所示： 由（1）可知，//，故平面也即平面； 因为//，则； 又面面，故； 又面，故面； 又面，则，又； 面，故面， 则即为与平面的夹角； 在△中，因为，则，； 在△中，因为，，则； 又，，即直线与平面所成角的正弦值为. 一、填空题 1．如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【分析】找出与平面所成的角，后算出正弦值即可． 【详解】 如图，取的中点，连接，． ∵是等边三角形，∴． 又平面平面，平面平面， 平面，∴平面，∴为与平面所成的角． 易知在中，，由正切函数知道，， 同理，因此, 则，即. 故答案为：． 2．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 / 【分析】取中点，连接，为直线EF与平面所成角，求解即可；取中点，连接，所以异面直线与所成角的余弦值为，利用余弦定理求值. 【详解】取中点，连接， 由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角， 在中，， 所以； 取中点，连接， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 在中，，， ， 由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 3．如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】取线段的中点，连接，并延长，作，证明平面，找到线面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】取线段的中点，连接，并延长，作，如图， 因，，， 则由余弦定理得，即， 同理可得， ∵，D是的中点，，， 而，即，因此，， ∵，，平面， 平面，又平面， ∴，又∵，平面， ∴平面，是直线OA与平面所成的角，， ∵线面角的范围为，∴， 所以直线OA与平面所成的角的大小为． 故答案为： 4．已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱，的中点，点P在平面内，点Q在线段上，若，则长度的最小值为 .    【答案】 【分析】根据题意，由条件可得点在以为圆心，为半径的位于平面内的半圆上，点到的距离减去半径就是长度的最小值，结合图形，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接，则平面，所以，因为，正方体的棱长为2，为的中点，所以，，所以点在以为圆心，为半径的位于平面内的半圆上，单独画出平面以及相关点线，所以点到的距离减去半径就是长度的最小值，连接，做交于点，则 ，所以，解得，所以长度的最小值为. 故答案为： 5．如图，在平面内，，PO是平面的斜线，，点Q是PO上一点，且，则线段PQ在平面上的射影长为 .    【答案】 【分析】根据给定条件，作图并求出直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求解即得. 【详解】过作于，在平面内过作，，垂足分别为，连接，如图，    由，得，平面，则平面， 而平面，因此，同理，又， 于是，而分别为斜线段在内的射影，则， 从而是的平分线，即，显然，则， 因此，线段PQ在平面上的射影长为. 故答案为：. 6．设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;（2）平面上不存在直线，使之与所成角小于;（3）设，平面上恰有两条直线与所成角均为;（4）若直线，则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 . 【答案】（2）（4） 【分析】利用线面之间的位置关系的相关知识结合几何图形分析可得答案. 【详解】对于（1），直线l在平面上的投影记为m，则，平面内与m平行的直线都与直线l所成角为，故平面上有无数条直线与直线l所成角为，故（1）错误； 对于（2），如下图：为直线l与平面所成角，， 设AD是平面内任意一条直线，， 结合线面角的范围可得，故（2）正确； 对于（3），若平面上有一条直线与l所成角均为，则此平面内与该直线平行的直线都与l所成角均为，因此（3）错误； 对于（4），如下图： 若直线，则直线l与n所成角大小为，故（4）正确， 故答案为：（2）（4）. 7．如图，在正四棱锥中，，是BC的中点，是的重心，则在平面PAD内经过点且与直线PM垂直的直线有 条.    【答案】无数 【分析】取AD的中点N，G在直线PN上，设AB＝2，则PA＝，求得PM＝PN＝，MN＝2，故PM⊥PN，又可得AD⊥面PMN，则AD⊥PM，所以PM⊥面PAD，由此可得答案． 【详解】取AD的中点N，连接PN，MN，则G在直线PN上，    设AB＝2，则PA＝， ∵PN⊥AD，AN＝1，∴PN＝，∴PM＝PN＝，又MN＝2， ∴，故PM⊥PN， ∵AD⊥MN，AD⊥PN，MN∩PN＝N， MN，PN面PMN，∴AD⊥面PMN， ∵PM面PMN，∴AD⊥PM， ∵AD∩PN＝N， AD，PN面PAD，∴PM⊥面PAD， ∴PM垂直面PAD内任意一条直线， ∴在平面PAD内经过点且与直线PM垂直的直线有无数条． 故答案为：无数． 8．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 9．如图，矩形中，，M为BC的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有平面； ②存在某个位置，使得； ③存在某个位置，使得； 上面说法中所有错误的序号是 ．    【答案】②③ 【分析】 根据线面平行、线线垂直等知识对三个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，设是的中点，连接， 由于是的中点，所以， 而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以①正确. ②，在中，， 则，而，所以与不垂直，②错误. ③，设是的中点，连接， 由于四边形是矩形，，则， 若存在某个位置，使得， 由于平面， 所以平面，而平面，所以， 而，所以，这与三角形是直角三角形矛盾， 所以③错误. 故答案为：②③    10．已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】先作出辅助线，得到点的轨迹为线段，当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值，，从而得到线面角的正切值的取值范围. 【详解】因为轴截面是边长为1的等边三角形，故， 因为为的中点，所以， 在上取点，使得，过点作⊥，交底面圆周于点， 则，此时，又， 故∽，则， 故，故， 因为⊥底面圆，底面圆，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段，连接， 当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值， 则， 设与圆锥底面所成角为，则， 故答案为：. 二、单选题 11．已知三棱柱的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意作出三棱柱，取的中点，连接，得到为所求的线面角，再设三棱柱的棱长为2，求出，即可得出结果. 【详解】如图所示，取的中点，连接，则，又平面， 于是平面，为与平面所成的角， 设三棱柱的棱长为2，则， 在中，，所以. 故选：A 12．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面角定义与等角定理可得与相等，与相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得. 【详解】连接，由长方体的性质可得平面， 故与平面所成的角为与相等， 又平面，故平面，即， 又，故与所成的角与与所成角相等， 即与相等，又， 故.    故选：C. 13．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以③恒成立； 设与交于点，则为底面正方形的中心，且， 由正四棱锥，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立； 对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立. 故选：A. 14．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要先找到点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解. 【详解】 因为直线与平面ABCD所成角为， 又因为面 所以为直线与平面所形成的角，即， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆落在四边形内的部分，即四分之一圆弧. 分析可知，点为和 圆弧的交点时，最小. 此时可将面沿着翻折到面所在平面. 根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中分别为正方体上下底面的中心， 当三点共线时，最小.因为，所以最小值为 故选：B. 三、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】 （1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 16．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 17．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可 （2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算， 把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可. ②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题. 【详解】（1）由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得：. （2）①如图，分别取的中点，连接，显然有， 所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，    因为平面，平面，所以，，，， 因为，，所以平面，又因为平面，所以， 由点处的离散曲率为可得， 所以，，，而，， 所以，故异面直线与的夹角的余弦值为. ②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，设， 在中， 因为，所以，所以， 故， 当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$