10.3 直线与平面间的位置关系（第3课时）（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.3 直线与平面间的位置关系（第3课时） 题型1：正方体中的线面角 1．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面AA1D1D所成的角的大小是______. 2．在正方体中，下列四个结论中错误的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线与直线所成的角为 D．直线与直线所成的角为 题型2：由射影长求线面角 3．线段AB的长等于它在平面内的射影的长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角大小为______． 4．线段的长等于它在平面上射影的倍，则所在的直线和平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 5．若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则直线与所成的角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．120° 6．平面的一条斜线段长为4，它在上的射影长为，则该斜线段与所成角的大小为______． 题型3：最小角定理 7．平面的斜线与平面交于点A，且斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成角的范围是_________． 题型4：其他几何体中求线面角 8．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________． 9．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为________. 10．正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 11．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________. 12．如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于________． 13．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在的直线与桌面所在的平面所成的角的大小为______. 14．已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD与面ABC所成角的正切值为（ ） A． B． C．3 D． 题型5：线面角有关解答证明题 15．（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥中，平面平面，△ABC是正三角形，四边形是正方形，D是AC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线BC和平面所成角的正弦值的大小． 16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 17．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 18．如图，在正四棱锥中，点为的中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 19．如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值. 20．如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 题型6：动点问题 21．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________． 题型7：翻折问题 22．如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角. (1)证明：； (2)求与面所成角的正弦值. 一、填空题 1．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是 . 2．在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 . 3．已知、、三点位于平面内，，是平面的斜线，若，则与平面所成的角的大小为 ． 4．如图，在棱长为6的正方体中，点P在面内，，则与面所成角的正切值为，则的取值范围是 .    二、单选题 5．在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 三、解答题 8．如图1，在平面四边形ABCD中，，，，，，将沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面ABD； (2)在三棱锥中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点，设平面CEF与平面ADC的交线为l． ①证明：∥； ②若Q为l上的动点，求直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 直线与平面间的位置关系（第3课时） 题型1：正方体中的线面角 1．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面AA1D1D所成的角的大小是______. 【答案】arctan 【分析】根据正方体的几何性质，结合线面角的定义进行求解即可. 【解析】因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体， 所以平面AA1D1D，连接， 所以是BD1与平面AA1D1D所成的角， 设该正方体的棱长为，所以， 在直角中，， 所以BD1与平面AA1D1D所成的角的大小是arctan， 故答案为：arctan 2．在正方体中，下列四个结论中错误的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线与直线所成的角为 D．直线与直线所成的角为 【答案】B 【解析】连接，求出可判断选项A；连接找出点在平面的投影O，设直线与平面所成的角为θ，由可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解． 【解析】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选项A正确； 连接，∵，∴四面体是正四面体， ∴点在平面上的投影为的中心，设为点O，连接，，则， 设直线与平面所成的角为θ， 则，故选项B错误； 连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C正确； ∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D正确． 故选：B． 题型2：由射影长求线面角 3．线段AB的长等于它在平面内的射影的长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角大小为______． 【答案】/ 【分析】根据线面角的定义得到是AB所在直线与平面所成的角，然后在直角三角形中可求出结果. 【解析】依题意可得，是AB所在直线与平面所成的角， 所以，所以. 故答案为：. 4．线段的长等于它在平面上射影的倍，则所在的直线和平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所在的直线和平面所成的角为，则可得，即可求出所成角. 【解析】设所在的直线和平面所成的角为， 因为线段的长等于它在平面上射影的倍， 所以，由得. 故选：B. 【点睛】本题考查线面角的求解，属于基础题. 5．若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则直线与所成的角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．120° 【答案】A 【分析】根据题意，得到平面，推出即为与平面所成的角，再由题中条件，即可求出结果． 【解析】因为斜线段是它在平面上的射影的倍， 所以平面，，所以， 因此即为与平面所成的角， 所以，因此． 故选：A 6．平面的一条斜线段长为4，它在上的射影长为，则该斜线段与所成角的大小为______． 【答案】30°/ 【分析】结合斜线段的长和射影长求得斜线段与所成角的大小. 【解析】设斜线段与所成角为，， 依题意. 故答案为： 题型3：最小角定理 7．平面的斜线与平面交于点A，且斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成角的范围是_________． 【答案】 【分析】根据线面角中最小角定理求解即可. 【解析】斜线与平面所成角是，则直线与平面内所有直线所成角中最小角为，显然最大角为，所以范围为. 故答案为：. 题型4：其他几何体中求线面角 8．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________． 【答案】45° 【解析】由PA⊥平面ABC可知∠PBA为PB与平面ABC所成的角，由等腰直角三角形可得出所求角. 【解析】PA⊥平面ABC， ∠PBA为PB与平面ABC所成的角， PA＝AB， ∠PBA＝45°. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的定义，知道怎样找到直线与平面所成的角，是一道基础题. 9．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为________. 【答案】 【分析】作出直线和平面所成角，由此求得所成角的正切值. 【解析】是的中点，所以， 在直三棱柱中，， 由于，所以平面. 过作，垂足为， 则， 由于，所以平面， 所以是直线和平面所成角， . 所以直线和平面所成角的正切值为. 故答案为： 10．正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面正三角形的中心为，则即为与底面所成的角，设棱长为，则根据正三棱锥的几何性质，可求得的长，即可得答案. 【解析】设正三棱锥的底面正三角形的中心为，连接，棱长为， 如图所示： 因为正三棱锥，即底面， 则即为侧棱与底面所成的角， 因为正三角形， 所以， 在中， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查正三棱锥的几何性质，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题. 11．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________. 【答案】/ 【分析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值. 【解析】 复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为， 连接，则平面， 故为AD与平面ABC所成角，而， 故为AD与平面ABC所成角的正弦值为. 故答案为：. 12．如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于________． 【答案】 【分析】根据题意作出示意图即可得到答案. 【解析】如图所示，母线与水平面所成角为. 故答案为：. 13．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在的直线与桌面所在的平面所成的角的大小为______. 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理可得直线与桌面所在的平面垂直，从而可得所求的角. 【解析】因为，而平面，平面， ，故平面， 所以直线与桌面所在的平面所成的角的大小为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，注意根据判定定理判断即可，本题属于容易题. 14．已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD与面ABC所成角的正切值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先找出SD与面ABC所成角为∠SDA，再求角的正切值. 【解析】连接AD． ∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点， ∴ ． 又SA⊥平面ABC， ∴∠SDA为SD与平面ABC所成的角， ∴tan∠SDA＝． 故选：A 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 题型5：线面角有关解答证明题 15．（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥中，平面平面，△ABC是正三角形，四边形是正方形，D是AC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线BC和平面所成角的正弦值的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由中位线的性质，可知，再由线面平行的判定定理，得证； （2）过点作于点，连接，可证平面，从而知即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解． 【解析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，因为是的中点，所以， 又平面，平面，所以∥平面． （2）过点作于点，连接，因为四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，因为是正三角形，且是的中点，所以， 又，平面，所以平面，因为平面，所以， 又，平面，所以平面，所以就是直线和平面所成角， 设，在中，，所以，在中，. 16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，再根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直； （3）根据（2）的结论，求线面角，再根据几何关系求解正弦值. 【解析】（1）在中，，分别是，的中点， ， 又平面， 平面， 平面． （2）四边形是正方形， ， 又平面，平面，     ， 又，且平面， 平面． （3）由（2）知，平面， 为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成角． 由题意，在中，，， ， ， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行； （2）首先证明平面，并说明为线面角，根据几何关系，即可求解. 【解析】（1）因为点分别是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）因为是等边三角形，点是中点，所以， 又，，且平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为，. 所以直线与平面所成角的正切值为. 18．如图，在正四棱锥中，点为的中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形是梯形，即可得解； （2）依题意可得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，求出棱锥的高与，再由锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）由、分别为侧棱、的中点， 所以且， 又且，故且， 所以四边形是梯形，因此直线与相交. （2）由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半， 设，连接，则平面， 由正四棱锥的各棱长均为，所以， 则 即正四面体的高为， 所以点到平面的距离为，又， 设直线与底面所成角为，则， 故直线与底面所成角的大小为. 19．如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）证明为直线与平面所成角，利用直角三角形求解. 【解析】（1）取的中点，连接，， 是的中点，，， 和都垂直于平面， ，，， 四边形为平行四边形，从而， 平面，平面， 平面. （2）为正三角形，为中点， . 平面，平面，则， 又，，平面，平面. 又，则平面， 得为在面上的射影， 为直线与平面所成角. 在中，，，， 得， 直线与平面所成角的正弦值为. 20．如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线面垂直判定定理； （2）先根据面面垂直的判定定理的平面平面，从而得到平面，在利用线面夹角的定义找到夹角，计算得出夹角正弦值的取值范围. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，，则 所以四边形是平行四边形． 因为，，，AD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 作于E，平面平面，平面， 则平面， 连接CE，则为直线与平面所成的角，    由，，，知， 又由（1）知平面ABC， 所以，， ． 则， 由于，所以，所以． 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 题型6：动点问题 21．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________． 【答案】 【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果. 【解析】长方体中，因为，， 所以，，， 因为底面，平面，所以， 所以与平面所成的角为， ， 由条件可得，解得， 因此， 因为， 所以，与平面所成的角为， 故答案为： 题型7：翻折问题 22．如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角. (1)证明：； (2)求与面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）在折叠前的正方形ABCD中，作出对角线AC，BD，由正方形性质知，又//，则于点H，则由直二面角可知面，故.又，则面，故命题得证； （2）作出线面角，在直角三角形中求解该角的正弦值. 【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，连结AC交EF于H. 因为，故可得， 即 又旋转不改变上述垂直关系， 且平面， ∴面， 又∵面，所以 （2）因为为直二面角，故平面平面， 又其交线为EF，且，平面， 故可得底面ABF， 连结DH，则即为与面所成角，连结BD交AH于O， 在Rt△ODH中， 在Rt△PHD中 所以与面所成角的正弦值为. 一、填空题 1．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是 . 【答案】 【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出. 解得，即可求出的取值范围 【解析】作于D. 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角，. 设，，则. 在直角三角形中，由正弦的定义：. 在直角三角形中，由等面积可得：， 所以，所以. 在直三棱柱中，. 因为平面，所以. 因为平面，平面，， 所以平面，故，从而，即. 于是，解得：. 又，解得：. 故答案为：. 2．在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 . 【答案】 【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为. 【解析】 如图，连接，取中点，中点，中点， 因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上. 可求得，所以，所以. 又知，所以. 又，直线和直线都在平面内， 所以平面，从而点在线段上. 易得，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设为，则. 设的最小值为点到的距离为，取得最小时， 易得与相似，可知，所以，又， 所以的最大值为. 故答案为： 3．已知、、三点位于平面内，，是平面的斜线，若，则与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】交于，于，与，连接，，确定，，，计算，，得到答案. 【解析】交于，于，与，连接，， ，，故，，， 平面，故平面，平面，故， 同理可得：， 设，故，根据对称性知，故， 与平面所成的角为， 故答案为：. 4．如图，在棱长为6的正方体中，点P在面内，，则与面所成角的正切值为，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】先求出点到平面的距离，求得的轨迹方程，再作一个正方体，作出线面角，再求出两条直角边，最后求出线面角的正切值即可. 【解析】如图所示，    作平面于， 由可得， 解得， 要使得，则， 即点在以为圆心为半径的圆上，该圆恰好与相切. 作同样一个正方体与原正方体面， 则//，//，所以四边形为平行四边形， 所以四点共面， 过作平面，连接， 则为与面所成角的平面角，易得， 所以， 即，而， 所以，即， 故答案为： 二、单选题 5．在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为中点，由题意可得，可证平面平面，作，垂足为，则与平面所成角为，勾股定理求各边的边长，证得，由，求值即可. 【解析】中，， 由余弦定理，有， 为中点，连接， 由，有， ，平面，则有平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，作，垂足为， 平面，得平面，则与平面所成角为， ，，则有，得， 则. 故选：A. 【点睛】方法点睛： 利用已知条件证得平面平面，结合面面垂直的性质由得平面，则与平面所成角为，证明为直角三角形，可求. 6．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【解析】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以 . 故选：B. 7．如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，作平面,垂足为，点作平面，垂足为，则可求，进而可求解. 【解析】取中点，连接，    当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大， 此时，因为平面，平面， 所以平面平面， 过作平面，垂足为， 则为正三角形的重心， 设正四面体的边长为1，则, 因为直线BC与平面所成角为即,且， 所以, 所以点到平面的距离等于， 过点作平面，垂足为， 则， ∴在中，，即直线与平面所成角的正弦值等于. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是分析出当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大. 三、解答题 8．如图1，在平面四边形ABCD中，，，，，，将沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面ABD； (2)在三棱锥中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点，设平面CEF与平面ADC的交线为l． ①证明：∥； ②若Q为l上的动点，求直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解； 【分析】（1）根据勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）①根据题意可证∥平面CEF，结合线面平行的性质分析证明；②过点作平面∥平面，直线CF与平面QGE所成角即为直线CF与平面所成角，利用等体积法求点到平面的距离为，进而求线面夹角的正弦值，结合二次函数分析求解. 【解析】（1）在中，可得， 在中，由余弦定理，即， 因为，则， 可得， 且，平面ABD， 所以平面ABD. （2）①因为点E，F分别为线段AB，BD的中点，则∥，且， 由平面CEF，平面CEF，可得∥平面CEF， 又因为平面ADC，且平面CEF与平面ADC的交线为l， 所以∥； ②因为∥，且平面CEF，平面ADC， 可知，则平面ADC， 规定点为起点，方向为正方向，设， 过点作平面∥平面，如图所示： 可知：直线CF与平面QGE所成角即为直线CF与平面所成角，设为， 则， 可得， 在中，， 且，则， 设点到平面的距离为， 因为，则， 解得， 则， 设，则，可得， 若，则； 若，则， 可知，即时，取到最小值，取到最大值； 综上所述：直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】关键点点睛：1.对于直线与平面的交点不特殊时，可以通过平行移动来确定； 2.对于Q为l上的动点，可以借助于坐标的特点设长度进行计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$