精品解析：甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

甘肃省华池县第一中学2023—2024学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义及模长公式计算即可 【详解】由题意可知，故. 故选：C 2. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理即可列式求解. 【详解】中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：A 3. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品 D. 至少两件正品 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品．故B正确． 考点：对立事件． 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是（   ） A. ，，且 B. ， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】对于A项，由，可得，又，则，故A项正确； 对于B项，由，可得或，故B项错误； 对于C项，由，可得，因，故得，即C项正确； 对于D项，由线面垂直的性质易得结论正确. 5. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数,使得是素数.素数对称为孪生素数从10以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】10以内的素数中任取两个, 其中能构成孪生素数的个数有2个,再算出在10以内的素数中，随机选取两个不同的素数，能选的个数为，然后即可求出所求概率. 【详解】在10以内的素数中，所有的素数有：2，3，5，7；随机选取两个不同的数，其中能组成孪生素数的个数有2个，即和；则在10以内的素数中，随机选取两个不同的素数，能选的个数为，所以，孪生素数从10以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为. 答案选A. 【点睛】本题考查排列组合的运算，属于简单题. 6. 已知向量满足，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量积的运算律求出的夹角，再利用投影数量的计算公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影数量为， 故选：B 7. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 8. 将棱长为的正方体的六个面的中心的连线所围成的八面体挖空，其中放置一个玻璃球体，要求玻璃球与这个八面体的八个面都相切，则该玻璃球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的棱长得到八面体的棱长，利用八面体的八个面都与玻璃球相切求得玻璃球的半径，进而求解玻璃球的表面积． 【详解】由题知， 该八面体是如图所示的正八面体， 根据正八面体与正方体的位置关系， 可得该正方体的面对角线长为， 从而可知正八面体的棱长为，即， 连接，交于点， 过点作的垂线，垂足为，连接， 则平面平面， 易知四边形与四边形都是边长为2的正方形， ， 在中，由勾股定理可得， 设点到的距离为， 由，即，解得， 从而可知该正八面体的内切球的半径为， 所以所求玻璃球的表面积是． 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查球和正八面体的相关知识，综合性强，充分考查考生的空间想象能力和运算求解能力，以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力．与球有关的立体几何问题主要有：外接和内切。常涉及方法有： （1）根据空间几何体的几何特征，判断球心的位置； （2）通过作辅助线或辅助面，确定几何元素的关系； （3）数形结合思想. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 10. 欧拉公式其中（，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中欧拉公式结合复数，诱导公式，三角恒等变换化简整理可判断. 【详解】A选项：， 故A正确； B选项：可得， 因为，则， 可得，所以，B正确； C选项：因为， ，故C错误； D选项：因为， ， 则 ， 所以，D正确 故选：ABD 11. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件 “第一次摸出球的标号为2”，事件 “第二次摸出球的标号为3”，事件 “两次摸出球的标号之和为4”，事件 “两次摸出球的标号之和为5”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与相互独立 C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 【答案】CD 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球， 全部的基本事件有：，，，，，，，，， ，，，共个， 事件发生包含的基本事件有：，，有个， 事件发生包含的基本事件有：，，有个， 事件发生包含的基本事件：，有个， 事件发生包含的基本事件：，，，有个， 显然当出现时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误； 事件与不可能同时发生，即事件与互斥，故C正确； 又，，， 事件与不可能同时发生，即事件与互斥，则， 故事件与不独立，故B错误； 事件发生包含的基本事件：有个，所以， 因为，所以与相互独立，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再根据数量积的坐标运算公式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得. 【详解】由 故答案为： 14. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 【答案】38.3 【解析】 【分析】设，则，在中利用正弦定理求解即可. 【详解】设，在中，，则， 在中，由正弦定理得，所以， 结合，，解得.所以泉标的高度约为38.3米. 故答案为：38.3 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积， （2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积 【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线． ∴该圆锥的表面积． （2）在中，， ∵是PO的中点，∴． ∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径， ∴截得的圆台的体积． 16. 某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派乙参赛赢得比赛的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可； （2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可. 【小问1详解】 记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 所以表示“甲赢得比赛”，， 表示“乙赢得比赛”，， 因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大； 【小问2详解】 记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛” 由（1）知，， 所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 所以， 所以两人至少一人赢得比赛的概率为. 17. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． 【小问2详解】 因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直； （3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可. 【小问1详解】 证明：如图取的中点，连接、.为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 证明：为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. 【小问3详解】 如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P． （1）设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）． （2）若，且集合具有性质P，求x的值； （3）若X具有性质P，且，q为常数且，求证：． 【答案】（1），具有性质； （2）； （3） 取，设且满足， 由得，从而s，t异号， ∵－1是x中唯一的负数， ∴s，t中一个为－1，另一个为1，故． 因为，所以， X具有性质P，取，， 设，因为，且c，d中的正数大于等于1， 所以只能， 所以，． 又X中只有个大于1的正数， 即， 且，这个大于1的正整数都属于集合X， 所以只能，，…， 即， 即． 【解析】 【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合的元素，直接写出，再判断是否满足性质即可； （2）根据性质的定义，任取，，讨论的取值，结合的范围，即可求得的取值； （3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证. 【小问1详解】 根据向量集的定义可得： ， 若，则存在，使得， 同理亦可证明对任意，也满足性质， 故具有性质P． 【小问2详解】 对任意a，，都存在c，，使得， 即对于，都存在，使得，其中a，b，c，， 因为集合具有性质P， 选取，，则有， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，满足，故； 经检验，集合具有性质P． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省华池县第一中学2023—2024学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品 D. 至少两件正品 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是（   ） A. ，，且 B. ， C. ，， D. ， 5. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数,使得是素数.素数对称为孪生素数从10以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将棱长为的正方体的六个面的中心的连线所围成的八面体挖空，其中放置一个玻璃球体，要求玻璃球与这个八面体的八个面都相切，则该玻璃球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ） A. B. C. D. 10. 欧拉公式其中（，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件 “第一次摸出球的标号为2”，事件 “第二次摸出球的标号为3”，事件 “两次摸出球的标号之和为4”，事件 “两次摸出球的标号之和为5”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与相互独立 C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______. 13. ______． 14. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 16. 某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 17. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P． （1）设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）． （2）若，且集合具有性质P，求x的值； （3）若X具有性质P，且，q为常数且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $