2.1.1两条直线的位置关系　课件　2023—2024学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 2.1两条直线的位置关系 第一课时 情景导入 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 练习：右图直线m和n的关系是 ，记作： ；a和b是 ，记作： ； a和m是 m n a b 平行 平行 相交 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线. 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 议一议 如图，直线AB、CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？ 1 有公共顶点； 2 角的两边互为反向延长线. 探究一 A B C D 2 1 3 4 o ∠1与∠2在边和顶点上有什么联系和区别？ 像∠1与∠2一样，两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角。 图中还有其他的角也构成对顶角吗？ ∠3与∠4是一组对顶角 A B C D 2 1 3 4 o ∠1和∠2的大小有什么关系？为什么？ ∠1=∠2 对顶角的性质： 对顶角相等 A B C D 2 1 3 4 o 已知：两直线相交于点O. 求证：∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=180° ∠2＋∠3＝180° ∴ ∠1＝∠2 有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你能说出用它测量角的度数的原理吗？ 对顶角相等 想一想 典例精析 例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） D 总结：判断两个角是否互为对顶角的方法：一看它们有没有公共顶点；二看这两个角的两边是否互为反向延长线 探究二 1 2 一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？ 3 4 ∠1与∠2有什么数量关系？ ∠3与∠4又有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 1、余角的定义 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角. 90° ∵∠1+∠2=90°(或∠1=90°-∠2)， ∴∠1与∠2互为余角 . 几何语言： 1 2 2、补角的定义 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角，简称互补，即其中的一个角是另外一个角的补角. 180° 2 1 ∵∠1+∠2=180°(或∠1=180°-∠2)， ∴∠1与∠2互为补角 . 几何语言： ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90) 27°37′ 117°37′ 58° 148° 45° 135° 103° 13° 90° － x° 观察可得结论： 同一个锐角的补角比它的余角大_____. 90° 180° －x° 典例精析 例2. 要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ A B O C D 你能想到几种方法？ 方法一：测∠BOC度数，则知∠AOB度数.理由补角的性质. 方法二：测∠AOD度数，则知∠AOB度数.理由补角的性质. 方法三：测∠COD度数，则知∠AOB度数.理由对顶角相等. 例3. 判断以下说法是否正确： (1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．( ) (2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．( ) (3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．( ) (4)互补的两个角不可能相等．( ) (5)钝角没有余角，但一定有补角．( ) (6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余．( ) (7)如果∠A＝25°，∠B＝75°，那么∠A与∠B互为余角．( ) (8)如果∠A＝x°，∠B＝(90－x)°，那么∠A与∠B互余．( ) × × × × × × √ √ 思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 同角或等角的补角相等. 结论： 3 ∠2=180°－∠1 ∠3=180°－∠1 类似地，可以得到： = 2 1 余角、补角的性质 同角或等角的余角相等. 探究三 如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2. 将图1简化成图2，抽象成数学问题：ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 图1 典例精析 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等. （1）哪些角互为补角？哪些角互为余角？ （2）∠3与∠4有什么关系？为什么？ （3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 做一做 (1) 例1. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°， ∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 C 1.如图，三条直线AB，CD，EF相交于一点O，则∠AOE＋∠DOB＋∠COF等于(　　) A．150° B．180° C．210° D．120° B 基础练习 2.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,回答下列问题： （1）∠AOE的余角是 和 ；补角是 ； （2）∠AOC的余角是 ；补角是 和 ； 对顶角是 ； C A B D O E ∠AOC ∠BOE ∠AOE ∠BOC ∠BOD ∠BOD ∠AOD 3. 如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠4的度数。 （1） 把∠1＝40°变为∠1＝50° （2） 把∠1＝40°变为∠2是∠1的2倍 4.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2=∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系?并说明理由? O 证明：∵∠COD=∠EOD=90°（已知） ∴∠1+∠2=900，∠3+∠4=900.（等量代换） 又∵∠2=∠4（已知） ∴∠1=∠3（等角的余角相等） 拓展提高 1.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为x度.则它的补角为（180-x)度，它的余角为（90-x)度. 根据题意得：180-x=4(90-x) 解得：x=60 答：这个角为60度. 归纳小结 1.两条直线的位置关系:相交（有交点）、平行（无交点） 2.对顶角： (1)概念：有公共顶点，角的两边互为反向延长线 (2)性质：对顶角相等 3.补角、余角： (1)概念：两角和为180°，则这两角互为补角 两角和为90°，则这两角互为余角 (2)性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等 归纳小结 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 几何语言 性质 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 典例精析 2 1 3 A B C D E 例1. 如图所示，将两块三角板的直角顶点A重合，求∠1和∠3的关系 ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 (同角的余角相等) 2 1 3 A B C D E 变式：1. 如图所示，将两块三角板的直角顶点A重合 (1) 已知∠1=30°，求∠2和∠3的度数 (2) 已知∠2=65°，求∠1和∠3的度数 (3) 已知∠BAE=130°，求∠1、∠2、∠3的度数 例2. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°. (1) 图中有哪几对互余的角？ 解：∠1+∠2=90° ∠A+∠B=90° ∠1+∠A=90° ∠2+∠B=90° 解：∠A=∠2 ∠B=∠1 ( 同角的余角相等 ) ( 同角的余角相等 ) (2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么？ 如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC 互余的角有________________. ∠BOC和 ∠AOD 典例精析 C A B D 1 2 双角平分线模型 如图，已知ON平分∠COB, OM平分∠AOC， 则∠MON= ∠AOB 特点： 1. 2个角平分线 2.角平分线所平分的两个角共用一条线段 A M C N B O 记忆口诀：一半一半又一半 双角平分线模型 如图，已知ON平分∠COB, OM平分∠AOC， 则∠MON= ∠AOB A M C N B O 记忆口诀：一半一半又一半 解：∵ ON平分∠COB, OM平分∠AOC 1 2 ∴∠1= ∠BOC,∠2= ∠AOC ∴∠1+∠2= ∠BOC + ∠AOC = (∠BOC+∠AOC) = ∠AOB ∴∠MON= ∠AOB 例2： 如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数？图中哪些角互为余角？ 解：∵点A，O，B在同一直线上 ∴∠AOC+∠BOC=180° ∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC ∴∠DOE=∠COD+∠COE = ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC) =90° ∴∠COD和∠COE互为余角 同理：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠COE， ∠AOD和∠BOE也互为余角. 典例精析 ∴∠COD= ∠AOC，∠COE= ∠BOC B C D A 变式：折叠问题 M O N C' B' 1. 如图所示，将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B落至点B'处，点C落至点C'处，并且点O、B'、C'在同一条直线上，请判断∠MON的大小，并说明理由 解：∵ 长方形ABCD ∴∠BOB'+∠COC'=180° ∴ ∠MON=∠MOB'+∠C'ON = 90° 由折叠可知： OM平分∠B'OB，ON平分∠C'OC ∴∠MOB'= ∠BOB'，∠C'ON= ∠C'OC $$