2.2从函数观点看一元二次方程（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

2.2 从函数观点看一元二次方程 第2章 一元二次函数、方程和不等式 复习引入 二次函数与一元二次方程是我们学习过的两个重要内容，它们之间有着怎样的关系呢？ 先观察几个具体的一元二次方程及对应的二次函数，如： (1)一元二次方程与二次函数； (2)一元二次方程与二次函数； (3)一元二次方程与二次函数. 新知探索 容易知道，一元二次方程有两个实数根，；二次函数的图象与轴有两个交点，，如图(1).这样，方程的两个实数根就是函数的图象与轴交点的横坐标. 一元二次方程有两个相等的实数根 ；二次函数的图象与轴有唯一的交点，如图(2).这样，方程的实数根就是函数的图象与轴交点的横坐标. 新知探索 一元二次方程没有实数根；二次函数的图象与轴没有交点，如图(3). 上述关系对一般的一元二次方程及对应的二次函数是否也成立呢？ 一般地，设判别式，我们有： (1)当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，，对应二次函数的图象与轴有两个交点，； (2)当时，一元二次方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与轴有唯一的交点； (3)当时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与轴没有交点. 新知探索 根据以上归纳，可得如下表格： 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实根() 有两个相等实根 没有实根 新知探索 一般地，我们把使得成立的实数叫作二次函数 的零点.例如，是二次函数的两个零点，是二次函数的唯一零点，二次函数没有零点. 这样，一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标. 一元二次函数与轴交点的横坐标 一元二次方程的解(实数根) 二次函数的零点 注：零点是一个实数，不是一个点. 例析 解 (1)观察图象可知，二次函数的图象与轴交于，两点， 故方程的两个根是，. 例 1 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. (2)若方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与直线有两个不同的交点.观察图象可知，二次函数图象的顶点纵坐标为，所以只有当时才能满足条件. 例析 解 由二次函数的图象与轴交于点知， 设二次函数的图象与轴交点的横坐标为，，则 ，是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系知 ，， 所以， 解得. 例 2 已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为，求该二次函数的表达式. 故所求二次函数的表达式为或. 一元二次方程 的根与系数的关系为： ，. 练习 题型一：函数的零点问题 例1.判断下列函数是否有零点，有的话求出其零点. (1)；(2). 解 (1)令，则，即函数有两个零点. 又∵，∴函数的零点是. (2)令，则，即函数有两个零点. 又∵，∴函数的零点是. 练习 方法技巧： 求函数零点的步骤： (1)将函数转化成方程； (2)判断方程根的个数； (3)方程的根即为函数的零点. 练习 变1.对于函数，下列说法中正确的是( ). A.当时，函数的零点为、 B.函数一定有两个零点 C.函数可能无零点 D.函数的零点个数是1或2 解 由函数的零点是时对应的值，是一个实数，而不是坐标，错； 当时，，此时函数有且仅有一个零点，错； 若，则，此时函数有两个零点，错； 故选. 练习 题型二：一元二次方程的解集及其根与系数的关系 例2.若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为______. 解 ∵方程的两个实数根分别为，， ∴ ∴ 练习 方法技巧： “二次”之间的关系 (1)“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程的形式来研究. (2)讨论一元二次方程又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 一元二次方程的根与系数的关系为： ，. 练习 变2.已知关于的一元二次方程有实数根. (1)求实数的取值范围. (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求的值. 解 (1)∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 即的取值范围是. (2)∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， 而，即，∴ 即的值是. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)函数零点的概念； (2)一元二次方程与一元二次函数的联系. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P461的练习1题； (3)课本P48的习题2.2的1、2、3、4、5题. 谢谢学习 Thank you for learning $$