3.3幂函数 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数教学设计 一、教材分析 本节课是人教A版新教材必修一第三章第3节 《幂函数》.幂函数是基本初等函数之一,是学生在系统学习了函数的概念与性质之后,进入高中以来遇到的第一种特殊函数,能培养学生应用性质(定义域,值域,图象,单调性,奇偶性)研究函数的意识,让学生体会到通过“定义、表示—图像与性质—应用研究”研究一般函数的思路和方法,为后续研究指数、对数函数做了一个很好的示范,起到了承上启下的作用. 因此本节课体现了函数概念和性质在具体函数中的应用和融合,明确了研究函数的一种模式,是我们学习研究函数的一个范例,在整个函数的研究和学习中具有较重要的地位和作用. 二、学情分析 从学生的知识上看,学生在初中已经学过正比例函数、二次函数、反比例函数等简单函数的图象,在上一节又学习了函数的单调性与奇偶性,已经初步积累了研究函数的初步经验,为学习幂函数做了知识的储备; 从学生现有的学习能力看,已经具备了一定的分析问题和解决问题能力,逻辑思维能力也初步形成,但缺乏冷静、深刻,不严谨;从学生的思维特点看,学生要理解研究一类函数的内容、基本思路(定义、表示-图象与性质-应用),对学生是一个思维的突破. 三、教学目标 1.能从具体情境中抽象出幂函数概念,会利用定义识别出函数是否为幂函数,在这个过程中提升学生的数学抽象素养. 2.能正确画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的图象,观察、总结幂函数的性质,通过对幂函数的研究,体会研究一类函数的基本内容与方法,进一步渗透数形结合、分类讨论的数学思想,提升学生的直观想象和数学抽象素养. 3.能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性,能利用幂函数的单调性比较大小,提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 四、教学重难点分析 1.教学重点: 幂函数的概念,图象及性质. 2.教学难点 概括出幂函数性质,并应用性质解决相关问题. 五、教法学法分析 1.教法分析 本节课整体上以教师为主导,采用启发式、探究式、互动式的教学方法.通过问题搭桥与活动探究的方式,启发诱导学生分析、归纳、总结出幂函数的性质,让学生主动思考、积极参与,真正成为课堂主人.利用数学软件GeoGebra辅助教学,动态演示幂函数的图象变化过程,帮助学生了解知识产生的过程. 2.学法分析 自主探究、合作学习、互动交流等学习方法.在幂函数的概念和作图部分,将以导学案的方式让学生课前完成,以自主探究为主,课堂上教师进行适当点评和补充,在研究函数性质部分以小组分工,合作交流为主,进一步培养学生的观察分析问题的能力. 六、教学媒体 GeoGebra、PowerPoint. 七、教学过程 (一)情景引入,温故知新 前面学习了函数的概念,利用函数概念和对图象的观察,研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识、方法研究一类新的函数.一起看看几个实例. 1. 几个蕴含哲理的数学等式: 如果你原地踏步,一年之后你还是那个 如果你每天进步一点点,一年之后你的进步远远大于 可是如果你每天退步哪怕一丢丢,一年之后你将退步到近乎为 【设计意图】通过这几个数学等式,不仅能让同学们体会到每天学习的重要性,还可以拉进师生距离,鼓励学生积极向上,同时引导学生抽象出幂函数. 2.张红买菜过程中遇到的函数 (1)张红去菜市场买蔬菜,购买了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要付的钱数元. (2)她将买的蔬菜放入一个边长为的正方体塑料箱中,则正方体的底面面积正方体的体积 (3)她买菜的摊位恰好是一个占地面积为的正方形,那么正方形的边长 (4)她把菜放入自行车,准备骑回家,如果她s内骑车行进了1 km,那么她骑车的平均速度 【设计意图】通过买菜问题,将课本89页的5个实例用现实生活情境全部穿插起来,拉近数学与生活的距离感,使得课堂引入更加贴近生活实际,更加生动. 问题1:如果去掉这些变量的实际意义,将自变量用 x 表示,因变量用 y 表示,上面的实际问题得到哪些函数解析式? 问题2:观察这五个函数的解析式,它们有什么共同特征? (1) 幂的形式 (2) 幂的底数 为自变量 (3) 幂的指数为常数 特征 抽象 【师生活动】为了方便观察共性,教师可以引导学生按照习惯的书写方式表示五个解析式,学生思考并回答,教师点评并归纳共性:(1)底数都是自变量;(2)指数都是常数.最后指明:这几个函数解析式都是指数幂的形式,指数幂的底数是自变量,指数为定值.教师给出幂函数的定义,并进行板书. 【设计意图】通过具体实例,将实际问题转化为数学问题,让学生观察函数具有的共同特征,抽象出幂函数的形式,进而引出新知识的定义和形式. (二)新知探究 1.幂函数概念:形如的函数,叫做幂函数,其中为常数.指数为常数 系数为1 幂的形式 底数为自变量 【知识点诠释】 幂函数必须是形如的函数,幂函数底数为单一的自变量,系数为1,指数为常数,解析式只能是一项.例如:等都不是幂函数. 【即时小测】下面几个函数中,哪几个函数是幂函数? (1);(2);(3);(4);(5);(6) 【答案】(1)、(5). 【设计意图】通过练习,进一步巩固幂函数的概念,提高学生解决问题的能力. 【数学史小知识】 1.自乘之数曰幂.——徐光启《几何原本》 第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者.徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时,给幂字下注解:“自乘之数曰幂”. 2.数学史上很早就借用“幂”字,起先用于表示面积,后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811~1882)译成《代微积拾级》一书,创设了不少数学专有名词,如函数、极限、微分、积分等,并把“Power”这个词译为“幂”.这样“幂”就转译为若干个相同数之积. 【设计意图】穿插“幂”这一数学名词的历史背景,传播数学文化,增强民族自信 问题3:对于幂函数,我们只研究的图象与性质.结合以往学习函数的经验,你认为应该如何研究这些函数? 【师生活动】学生思考,回顾前面学习的函数性质,列举定义域、值域、单调性、奇偶性、图象等内容. 【设计意图】引导学生回顾所学知识,找到研究幂函数的路径 【课堂活动一】对于幂函数,我们只讨论时的情况,请在同一个坐标系中画出五个幂函数,的图象. 【师生活动】学生通过导学案课前独立完成,学生在导学案上用描点法(列表一描点一连线),把图象依次画到同一个坐标系中,教师通过数学软件GeoGebra软件标准展示幂函数的图象使学生更直观感受到幂函数的性质特征. 【设计意图】在画的过程中体会图象的变化趋势,掌握幂函数的特征.通过软件验证画图,体现了数学的严谨性,让学生感受现代信息技术的便捷.引导学生体会研究一类函数性质的方法,让学生体会高中阶段研究函数性质的新特点. 【课堂活动二】观察函数图象并结合函数解析式,将你发现的结论写在下表内. 函 数 图 象 定义域 值 域 奇偶性 单调性 【师生活动】课前让学生在导学案上完成至活动二部分,课堂上给1分钟时间让小组同学交流讨论各自的答案,1-5组的同学分别选派一名代表发言,教师进行恰当点评,尤其注意学生单调性的书写规范等. 【设计意图】通过具体的函数图象观察、分析、归纳概括得出这五个幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性,为进一步得出幂函数的共性和个性作铺垫.实现师生互动,加强对话、沟通、交流,构建民主和谐的教学氛围. 2.常见的幂函数图象及性质: 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减,在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 【课堂活动三】小组合作探究 从这些函数的图象可以看出幂函数随着幂指数的取值不同,它们的性质和图象也存在着差异,这些差异之间存在着哪些共性和个性呢?同学们根据表格和图象,小组交流讨论下列问题. (1) 幂函数都过哪一个点? (2) 幂函数的奇偶性与指数有怎样的关系? (3) 在第一象限内,幂函数的单调性与指数有怎样的关系? 【师生活动】小组合作探究3分钟,然后余下的小组选派代表进行发言,教师进行点评和补充. 【设计意图】在问题导向下学生通过活动探究,进行集体讨论,得出函数共性过后,教师再通过GeoGebra画图动态演示验证,加深学生对知识的理解.如果得不出,教师就直接动态演示,引导学生观察发现,从而达到突破难点的目的.让学生体会数学中数形结合以及由特殊到一般的数学思想方法. 【教师追问】时,幂函数在上单调递增,那么增长趋势又有什么区别呢? 时,幂函数的图象变化趋势又是怎样的?时呢? 【归纳新知】 (1)过定点,原因: (2)函数的奇偶性: 函数是奇函数,函数是偶函数. 进一步归纳出:为奇数时,幂函数为奇函数,为偶数时,幂函数为偶函数. (3)函数的单调性: 在区间上,函数单调递增,函数单调递减. 进一步归纳出:第一象限内,当时,幂函数为增函数,当时,幂函数为减函数. (4)图象的变化趋势: 在第一象限内,当时,幂函数的图象是下凹的,当时,幂函数的图象是上凸的.当时,幂函数的图象向上与轴无限接近,向右与轴无限接近.时,幂函数的图象是平行于轴的一条直线,无研究意义。 【课堂活动四】带领同学们做函数操,活跃课堂气氛. 【师生活动】教师示范带领学生做一遍函数操,然后播放音乐让同学们跟着做,让课堂动起来,活起来! 【设计意图】在学生进行了活动一至三过后,学生可能有点倦意.设计活动四,通过函数操的方式,让同学们以更加形象生动的方式进一步熟悉幂函数的图象,巩固之前所学的图象变换,活跃课堂氛围,增进师生情谊. (三)新知应用 1.(多选)若幂函数的图象经过,则( ) A.的定义域为 B.的值域为 C.为奇函数 D.在单调递减 【答案】BD 【解析】设幂函数,其图象过点, 则,结合幂函数的性质可知,答案为BD 【设计意图】进一步巩固幂函数的概念及性质,了解同学们对知识点的掌握情况. 2.证明幂函数在上是增函数. 证明:任取,且,则 ,且 所以幂函数在上是增函数. 【师生活动】教师提出问题,学生独立完成,并请一位学生板书证明过程,教师对学生的证明过程进行纠错和评价. 【设计意图】引导学生对观察得到的性质进行理性思考,利用解析式对结论进行严格证明,提高学生思维的严谨性.同时巩固利用定义证明单调性的方法,提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 3.比较下列各式的大小 (1)与 (2)与 【设计意图】进一步巩固幂函数的单调性的应用,渗透数形结合思想,为后续学习指数式、对数式比较大小做铺垫. (四)课堂小结 1.本节课我们学习了哪些知识点? 2.研究一类新函数的一般方法和步骤是什么? (五)作业布置 1.(个人书面独立完成)课本页练习题1,2,3,共3题. 2.(以小组为单位完成)小组合作探究页函数的图象和性质. (六)板书设计 3.3幂函数 1、 定义:形如的函数,叫做幂函数 2、 性质 1. 过定点 2. 奇偶性:为奇数时,幂函数为奇函数,为偶数时,幂函数为偶函数; 3. 单调性:第一象限内, ,增函数;,减函数 4.图象的变化趋势:第一象限内 时,下凹 时,上凸 时,图象向上与轴无限接近, 向右与轴无限接近. 三、新知应用 1.…………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… 2.…………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… 3………………………………………… ………………………………………… 第 1 页 共 10 页 学科网(北京)股份有限公司 $$