3.3 幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 瓮安黄粑是贵州省黔南州瓮安县的特产。瓮安黄粑是贵州的民间传统食品,有1000多年的制作历史。因此,瓮安也享有“中国黄粑之乡”的美誉。 (1)游客需要对黄粑进行包装,已知包装纸箱1元/个,购买 个需要支付金额y= (元),这里y是 的函数. (2)纸箱是边长为a的正方体,则纸箱占地面积S= ,纸箱体积V= , 这里S和V都是a的函数; a2 a3 (3)游客购买黄粑的摊位刚好是一个面积为S的正方形,那么摊位的边长c= ,这里c是S的函数; (4)游客骑自行车把购买好的黄粑送到1km外的车站,用时t秒,那么他的平均速度 = km/s,既 ,这里 是t的函数. 问题1;观察这五个函数的解析式,从解析式的结构特征看,它们有什么共同特征? (1); (2); (3); (4), (5). (1)解析式具有幂的形式; (2)以幂的底数为自变量,指数是常数. 自变量 常数 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数. 概念生成 请举出一些函数的解析式并判断是不是幂函数. 幂函数的特征: (1) 的系数为1; (2) 的底数是自变量; (3) 指数为常数. 问题2:结合初中学习一次函数、二次函数和反比例函数的经验及前面所学习的函数知识,思考研究一类函数的一般路径是什么? 背景 概念 图象 性质 应用 描点 对于幂函数,我们只研究 的图象与性质. 问题3:如何画出 的图象? 追问:观察这两个函数的解析式,你能说出它们的一些性质吗? 非奇非偶函数 奇函数 问题4:请同学们在同一个坐标系中画出 的图象.并结合图象和解析式观察它们有哪些性质. 问题5:观察这五个函数图象, 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R R R R [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶 在R上单调递增 (-∞,0]单调递减 [0,+∞)单调递增 在R上单调递增 (-∞,0), (0,+∞)单调递减 在[0,+∞)单调递增 公共点为(1,1) 它们有哪些共同性质?哪些不同性质? 完成表格. 证明:函数的定义域是[0,+∞). 即幂函数 是增函数. 在进行无理式的变形时,不仅可以将分母有理化,也可以将分子有理化. 归纳小结 通过这节课的学习,你能说说我们是怎么研究幂函数的吗? 数学抽象 逻辑推理 直观想象 数形结合 特殊到一般 分类讨论 转化与化归 背景 概念 图象 性质 应用 知识体系 思想方法 核心素养 课后作业 必做题 选做题 教科书练习1,2题 教科书习题3.3第3题 达标检测 探究与发现 通过图3.3-1与表3.3-1,我们得到 (1)函数 的图象都通过点(1,1); (2)函数 是奇函数;函数 是偶函数; (3)在区间(0,+∞),函数 单调递增;函数 单调递减; (4)在第一象限内,函数 的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近. (1)单调性: 当 >0时, 在(0,+∞)(即第一象限)上单调递增; ①当0< <1,图象上凸(低着头递增); ②当 >1,图象上凸(抬着头递增) 当 <0时, 在(0,+∞)(即第一象限)上单调递减; (2)奇偶性:与 的取值有关,具体判断方法如右图所示: Lavf58.46.101 $$