空间直角坐标系的构建策略 专题训练-2025届高三数学一轮复习

教考衔接7 空间直角坐标系的构建策略【原卷版】 类型1 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系 【例1】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150 时,求B2P. 类型2 利用线面垂直关系构建空间直角坐标系 【例2】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM. (1)求BC; (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 类型3 利用面面垂直关系构建空间直角坐标系 【例3】如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若 OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45 ,求三棱锥A-BCD的体积. 类型4 利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系 【例4】 已知正四棱锥V-ABCD中,E为VC的中点,正四棱锥的底面边长为2a,高为h,若BE⊥VC,则∠DEB的余弦值为 . 类型5 利用底面正三角形构建空间直角坐标系 【例5】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点. (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值; (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值. 类型6 不规则图形的建系 【例6】 如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60 ,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值. 1.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90 ,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45 ,求二面角M-AB-D的余弦值. 2.如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60 ,二面角F-DC-B的平面角为60 .设M,N分别为AE,BC的中点. (1)证明:FN⊥AD; (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 教考衔接7 空间直角坐标系的构建策略【解析版】 类型1 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系 【例1】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150 时,求B2P. 以C为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 类型2 利用线面垂直关系构建空间直角坐标系 【例2】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM. (1)求BC; (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC.在矩形ABCD中,AD⊥DC,故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系. 类型3 利用面面垂直关系构建空间直角坐标系 【例3】如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若 OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45 ,求三棱锥A-BCD的体积. 由题意知AO⊥平面BCD,显然AO⊥OB.以O为坐标原点,OB,OA所在直线分别为x,z轴,在平面BCD内,以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系. 类型4 利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系 【例4】 已知正四棱锥V-ABCD中,E为VC的中点,正四棱锥的底面边长为2a,高为h,若BE⊥VC,则∠DEB的余弦值为 . 如图所示,以V在底面ABCD内的投影O为坐标原点建立空间直角坐标系,其中Ox∥BC,Oy∥AB. 类型5 利用底面正三角形构建空间直角坐标系 【例5】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点. (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值; (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,连接OB,OO1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{,,}为基底,建立空间直角坐标系. 类型6 不规则图形的建系 【例6】 如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60 ,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值. 由于题目中没有明确给出建系所需的垂直条件,而是给出了其他可证明三线共点且两两垂直的条件,在此情况下就必须先证明再建系.本题在第(1)问证明BC⊥DA时,已证得BC⊥平面ADE,又因DA=DB=DC,设DA=DB=DC=2,由∠ADB=∠ADC=60 ,知 ABD与 ACD为等边三角形,所以AB=AC=2.又BD⊥CD,所以BC=2.因为AB2+AC2=BC2,所以 ABC为直角三角形,且∠BAC=90 ,所以AE=.因为BD⊥CD,所以DE=BC=.因为AE2+DE2=AD2,所以AE⊥DE.又AE⊥BC,BC⊂平面BCD,DE⊂平面BCD,BC∩DE=E,所以AE⊥平面BCD,所以可分别以ED,EB,EA所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标. 1.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90 ,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45 ,求二面角M-AB-D的余弦值. 解:(1)证明:如图,取PA的中点F,连接EF,BF. 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD. 由∠BAD=∠ABC=90 得BC∥AD,又BC=AD,所以EF BC, 所以四边形BCEF是平行四边形,所以CE∥BF. 又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB. (2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,分别以,的方向为x轴、y轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1, ), 所以=(1,0,-),=(1,0,0). 设M(x,y,z)(0<x<1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-). 因为BM与底面ABCD所成的角为45 ,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量, 所以|cos<,n>|==sin 45 ,即=, 整理得(x-1)2+y2-z2=0, ① 又M在棱PC上,设= ,即(x,y-1,z-)= (1,0,-), 则x= ,y=1,z=- . ② 由①②解得(舍去)或 所以M,从而=. 设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则 即 所以可取m=(0,-,2). 于是cos<m,n>==. 因此二面角M-AB-D的余弦值为. 2.如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60 ,二面角F-DC-B的平面角为60 .设M,N分别为AE,BC的中点. (1)证明:FN⊥AD; (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 解:(1)证明:因为ABCD是直角梯形,∠BAD=60 , 所以∠ABC=90 ,即AB⊥BC. 因为CDEF是直角梯形,∠CDE=60 , 所以∠DCF=90 ,即DC⊥FC. 如图,在AB边上取AH=2,连接DH,易得DH⊥AB,在Rt DAH中,因为∠DAH=60 ,所以AD=2AH=4,DH=2=BC. 在DC边上取DG=2,连接EG,易得GE⊥DC,在Rt EGD中,因为∠EDG=60 ,所以DE=2DG=4,EG=2=FC. 易知二面角F-DC-B的平面角为∠FCB=60 ,又FC=BC=2,故 FBC为等边三角形. 又N为BC的中点,所以FN⊥BC. 因为DC⊥FC,DC⊥BC,FC∩BC=C,所以DC⊥平面BCF. 又FN⊂平面BCF,所以DC⊥FN. 因为BC⊥FN,BC∩DC=C,故FN⊥平面ABCD, 又AD⊂平面ABCD,故FN⊥AD. (2)如图,取AD的中点K,连接NK,以N为坐标原点, 以NK,NB,NF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则B(0,,0),A(5,,0),D(3,-,0),E(1,0,3),M. 设平面ADE的法向量为n=(x,y,z), 则 即 取x=,则y=-1,z=,即n=(,-1,)是平面ADE的一个法向量. 设直线BM与平面ADE所成角为 , 因为=, 所以sin =|cos<,n>|==. 所以直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 学科网(北京)股份有限公司 $$