3.4.1 圆周角和圆心角的关系课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 3.4.1 圆周角和圆心角的关系 第一课时 温故知新 o B C A 问题1：什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC. 问题2：如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与它所处的位置 B 对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关. 当球员在B，D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC. 这三个角的大小有什么关系? 情景导入 观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点. 像这样的角，叫做圆周角. 一、圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ∠ABC，∠ADC，∠AEC都是圆周角. · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B A · C O B A 1. 下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由. 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边 AC 没有和圆相交 √ √ √ 即时练习 2. 指出图中的圆心角和圆周角 ∠AOB、∠AOC、∠BOC ∠CAB 圆心角： 圆周角： 做一做 如图，∠AOB=80°. (1)请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. (2)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流. o B A 猜测：圆周角的度数都相等， 且圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆心O在 ∠C的一条边上 圆心O在 ∠C的内部 圆心O在 ∠C的外部 思考：圆周角与圆心有几种不同的位置关系呢？ ） ） 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角. 求证：∠C= ∠AOB 证明：(1)圆心O在∠C的一条边上 ∵∠AOB是△AOC的外角 ∴∠AOB=∠A+∠C ∵OA=OC ∴∠A=∠C ∴∠AOB=2∠C 即∠C= ∠AOB D 1 2 3 4 1 2 3 4 D 二、圆周角定理及推论： 1. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ∠ACB= ∠AOB 当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC， ∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 想一想 2. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等. ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC 二、圆周角定理及推论： 即时练习 1. 如图，在 ☉O中，∠O=50°，求∠A的度数. 2. 如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角? 基础练习 1. 下列四个图中，∠x 是圆周角的是( ) 2. 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( ) A.15° B.40° C.5° D.35° 3. 如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= . 80° 125° 4. 如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ . 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 前面我们学习了一个反映圆心角、弧、弦和弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ A B O C 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 下列说法是否正确，为什么？ “在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”. D B C O E . 如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ， 所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = . 360° 180° 一条弦所对应的圆周角有两类. 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补 这两类角有什么关系吗？ 5. 如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 . C A B O 2 6. 如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. C A B O 归纳总结 一、圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ∠ABC，∠ADC，∠AEC都是圆周角. 二、圆周角定理及推论： 1. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 2. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等. ②一条弦所对应的圆周角有两类. 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补 $$