3.3 垂径定理课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 3.3 垂径定理 探索新知 如图,AB是⊙O的一条弦, 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系? 说一说你的理由. O A B C D M 解:(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线 (2) AM=BM, ③AM=BM ① CD是直径 ② CD⊥AB ④AC=BC ⑤AD=BD 条件 结论 证明:连接OA,OB,则OA=OB. ∵∠AOD=180 -∠AOC,∠BOD=180 -∠BOC ∴ AD=BD ∴ AM=BM,∠AOC=∠BOC. ∴ AC=BC 已知:如图,AB是 O的一条弦,CD是 O的一条直径, 并且CD⊥AB,垂足为M. 求证:AM=BM,AC=BC, AD=BD O A B C D M 在Rt OAM和Rt OBM中, ∠AMO=∠BMO=90 OA=OB OM=OM ∴ Rt OAM≌Rt OBM(HL) 归纳小结 ∴ AM=BM, AD=BD. 几何语言: ∵ CD是直径,CD⊥AB AC=BC, 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 一、垂径定理: O A B C D M 下列图形是否具备垂径定理的条件? 是 不是 是 不是 O E D C A B CD是直径 CD⊥AB CE过圆心 CE⊥AB 归纳小结 垂径定理的几个基本图形: ③AE=BE ① CD过圆心 ② CD⊥AB ④AC=BC ⑤AD=BD 条件 结论 垂径定理 定理中的径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段 归纳小结 ∴ AM=BM, AD=BD. 几何语言: ∵ CD是直径(过圆心),CD⊥AB AC=BC, 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 一、垂径定理: O A B C D M 过圆心的直线或线段 1. 如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON的长为( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 A A B N O 即时练习 如图,AB是⊙O 的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由. 想一想 O A B C D M 解:(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线 (2) AM=BM, ②AM=BM ①CD是直径 ③ CD⊥AB ④AC=BC ⑤AD=BD 条件 结论 由垂径定理可得AC = BC, AD = BD. ∴ CD⊥AB 已知:如图,AB是 O的一条弦(不是直径),CD是 O的一条直径, 并且CD平分AB. 求证:CD⊥AB,AC=BC, AD=BD O A B C D M ∴ CD⊥AB, AD=BD. 几何语言: ∵ CD是直径(过圆心),AM=BM AC=BC, 二、垂径定理的逆定理: 归纳小结 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 过圆心的直线或线段 O A B C D M 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立? 想一想 O A B C D 一个圆的任意两条直径总是互相平分,但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径,结论不一定成立. 典例精析 例1 一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点 O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F, EF=90m,求这条弯路的半径. ( ( ( E O D C F 解:连接OC 设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m ∵ OE⊥CD ∴ CF = CD = 600=300(m) 在Rt OCF中,由勾股定理得 解得 R=545 ∴这段弯路的半径为545m. R2 = 3002 + (R-90)2 垂径定理一般常作的辅助线:连半径 1. 下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形,每条直径都是它的对称轴 基础练习 2. 如图,⊙O的弦AB垂直于半径OC,垂足为D,则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC 3. 如图,CD为⊙O 的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸, AB=10寸,求直径 CD的长. 垂径定理一般常作的辅助线:连半径 4. 如图,已知 ⊙O的半径为30 mm,弦AB=36 mm,求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值. 垂径定理一般常作的辅助线:作弦心距 5. 如图,两个圆都以点O为圆心,小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一直线上. 你认为AC与BD的大小有什么关系?为什么? 垂径定理一般常作的辅助线:作弦心距 能力提升 1. ⊙O的半径为13cm,AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD, AB=24cm,CD=10cm,求AB和CD之间的距离. 分类讨论思想 ∴EM=OM - OE=7cm. 解:①当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(1),过点O作OM⊥CD,垂足为M,交AB于点E. ∵AB∥CD ∴OE⊥AB. 连接OB、OD. 在Rt ODM和Rt OBE中,由勾股定理得: OM=12cm,OE=5cm 1. ⊙O的半径为13cm,AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD, AB=24cm,CD=10cm,求AB和CD之间的距离. ②当AB、CD在圆心O的异侧时, 如图(2),同理可得: OE=5cm,OM=12cm. ∴ EM = OM+OE=17cm. ∴ AB和CD之间的距离为7cm或17cm. 归纳总结 ∴ AM=BM, AD=BD. 几何语言: ∵ CD是直径(过圆心),CD⊥AB AC=BC, 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 一、垂径定理: O A B C D M 过圆心的直线或线段 归纳总结 ∴ CD⊥AB, AD=BD. 几何语言: ∵ CD是直径(过圆心),AM=BM AC=BC, 二、垂径定理的逆定理: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 过圆心的直线或线段 注意:垂径定理一般常作的辅助线:连半径、作弦心距 O A B C D M $$