1.4用一元二次方程解决问题（四大题型巩固练习）（暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.4用一元二次方程解决问题 （四大题型巩固练习） （暑期自学课） 【典型例题】 类型一、增长率问题 【例1】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 （ ） A.50(1+x)2=196 B.50+50(1+x)2=196 C、50+50(1+x)+50(1+x)²=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196 举一反三： 【变式1】小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则根据题意可列方程为___________． 【变式2】某商场今年1月盈利3000万，3月盈利3630万，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 　 　． 【变式3】今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． 【变式4】某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 类型二、三角形问题 【例2】已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为方程x²-6x+9=0的根，该三角形周长为（ ） A. 14 B. 19 C. 14或19 D. 不能确定 举一反三： 【变式1】等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 无法确定 【变式2】 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________． 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围． （2）若等腰三角形的其中一边为3，另两边是这个方程的两根，求m的值． 【变式4】已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0， （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 类型三、篱笆栅栏问题 【例3】一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（　　） A．x80 B．x（26﹣2x）＝80 C．x80 D．x（27﹣2x）＝80 举一反三： 【变式1】如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，设栅栏长为米．若矩形围栏面积为平方米，要求栅栏的长，则可列出方程___________． 【变式2】如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，求与墙垂直的一边的长度． 【变式3】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面有一个米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长33m． (1)若养鸡场面积为150m²，求鸡场长和宽各为多少米？． (2)养鸡场面积能达到200m²吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【变式4】如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为米的门，总共用去篱笆米； 为了使这个长方形的面积为平方米，求边为多少米？ 用这些篱笆，能使围成的长方形面积是平方米吗？说明理由． 类型四、景观小路问题 【例4】太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为 　 　米． 举一反三： 【变式1】在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　 　米． 【变式2】学校计划在一块长，宽的长方形场地的中央建一个长方形体育训练场地，场地面积为．四周为宽度相等的人行走道，如图所示，求人行走道的宽度． 【变式3】某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为. （1）求小路的宽度. （2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 【变式4】迎亚运，展风采，同学们正在参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习.以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程.请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边.小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案.项目小组设计出来的四种方案小路面积S甲，S乙，S丙，S丁的大小有何关系？ ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$