第7章 平行线的证明章节自测综合-八年级数学上册精选易错题练习（北师大版）

1．如图，AB∥CD，AE交CD于点F，连接DE，若∠D＝28°，∠E＝112°，则∠A的度数为（　　） A．48° B．46° C．42° D．40° 2．实验中学八年级举办了“精彩思辨”大赛．真真，灵灵，颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法正确的是（　　） 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 最后得分 真真 c a 25 灵灵 c c 12 颖颖 b b 13 A．真真可能有一轮比赛获得第二名 B．灵灵有四轮比赛获得第三名 C．颖颖可能有一轮比赛获得第一名 D．每轮比赛第一名得分a为6 3．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2018，则∠A2018的度数是（　　） A． B． C． D．90°+ 4．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 5．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．某足球比赛小组赛的比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等），且丙与其他球队均打平，则四个球队的得分之和可能为（　　） A．13分或14分 B．14分或15分 C．15分或16分 D．16分或17分 7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 8．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则丙答对的题数是（　　） A．1题或2题 B．0题或1题 C．1题或5题 D．1题或3题 10．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题： ①若SQ∥EF，则SQ＝EF； ②若SQ＝EF，则SQ∥EF； ③若PR⊥EF，则PR＝EF； ④若PR＝EF，则PR⊥EF．其中真命题有（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 11．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，点D在△ABC外，连接AD，BD，CD， 若∠DBA＝20°，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 13．李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序：①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中，李编辑可能回复的邮件顺序是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 14．如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论： ①EG⊥FG； ②∠P+∠PHB＝∠PGD； ③∠P＝2∠E； ④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 16．如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An，点E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC的平分线与∠ACE的平分线交于点M，设∠BAC＝α．下列结论正确的是（　　） A． B． C．∠M+∠A1的值为定值 D．∠M﹣∠A1的值为定值 17．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 19．如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1＝60°，则∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 20．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是（　　） ①最后剩下的小球可能是A型小球； ②最后剩下的小球一定是B型小球； ③最后剩下的小球一定不是C型小球． A．① B．②③ C．③ D．①③ 二．多选题（共5小题） （多选）21．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列命题中是正确的有（　　） A．若a+b+c＝0，则x＝1是方程的一个根 B．若方程两个根为﹣1和3，则3a+2c＝0 C．若b＝0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数 D．若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 （多选）22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G，则下列结论正确的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠AEB＝∠CAD C．∠BAE＝∠BEA D．∠B＝2∠AEF （多选）23．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论正确的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2 C．∠BOC＝90°+∠2 D．∠BOC＝90°+∠1 （多选）24．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　） A．AH是△ABE的角平分线 B．CH是△ACD边AD上的高 C．∠ACH＝∠FBC+∠FCB D．△ABG与△BGD的面积相等 （多选）25．有下列四个命题中，其中是真命题的是（　　） A．弧分为优弧和劣弧 B．经过圆心的弦是直径 C．若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补 D．三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 三．填空题（共15小题） 26．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上． （1）∠1、∠2、∠3之间的关系为 　 　； （2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 　 　； （3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为 　 　． 27．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　 　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　 　． 28．如图，在△ABC中，∠B＝50°，三角形的外角∠EAC和∠ACD的平分线交于点P，则∠APC＝　 　． 29．2020年中考在即，为了同学们更好地适应中考，重庆某中学初2020级举行了最后一次模拟适应性考试．几周前Z、W、J、L四名老师接到本次模拟考试某学科的命题任务．该学科试卷总的试题数大于20且不超过30．Z老师与J老师命题的数目之和乘以Z老师与L老师的命题数目之和其结果为132．W老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与L老师的命题数目之和其结果为210．已知W老师与J老师命题的数目之和为偶数．Z老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与J老师的命题数目之和其结果为　 　． 30．如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝　 　度． 31．A，B，C，D，E五省统计学家奔赴地震灾区进行灾情统计，每省派2人．到达时要进行介绍，10人中互相认识的握一下手，且本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手．介绍结束后，A省统计学家A1分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同．问A1自己握手次数是 　 　次． 32．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， …， 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． 若∠En＝1度，那∠BEC等于　 　度． 33．“并字横”想必大家都应该玩过，两名玩家在3×3的横盘上轮流落子，先将自己的3枚棋子连成一线的玩家获胜，在棋盘摆放确定之后，一共有8种可能的胜利方法，如图： 考虑两名玩家在4×4×4的立方体上轮流落子的“立体并字俱”，先将自己4枚棋子连成一线的玩家获胜，那么在立方体摆放确定之后，“立体并字填”一共有　 　种胜利方法． 34．如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝48°，∠B＝64°，则∠ACP＝　 　． 35．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　 　（用含a和n的代数式表示） 36．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：　 　． 37．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城　 　公里． 38．已知，如图1，在△ABC，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示） 　 　． 39．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有　 　种． 40．如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝　 　度． 四．解答题（共15小题） 41．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD、直线EF上，P为两平行线间一点． 猜想 （1）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么数量关系？并说明理由． 应用 （2）利用（1）的结论解答： ①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系，不需要说明理由； ②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝α，求∠AP2B的大小（用含α的代数式表示）． 42．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP． （1）探究发现：（填空） 填空：如图1，过P作PQ∥AB， ∴∠A+∠1＝　 　°（　 　） ∵AB∥CD（已知） ∴PQ∥CD（　 　） ∴∠C+∠2＝180° 结论：∠A+∠C+∠APC＝　 　°； （2）解决问题： ①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由； ②如图3，若∠APC＝100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为　 　（直接写出结果）． 43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°： （1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　 　； ②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由． 44．AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）如图1，求证：∠EPG＝∠BEP+∠PGD； （2）如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE＝110°，∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°．求∠BEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由． 45．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数； （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角． 46．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：　 　；图②中：　 　，图③中：　 　．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC＝100°，∠BPC的度数是　 　．（直接写出结果，不用写计算过程） 47．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数． （2）当点P在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示） 48．如图①，将两把三角尺的两顶点重叠放在直线MN上，三角尺ABC中的点B落在另一把的AD边上，已知∠CAB＝∠AED＝90，∠C＝45°，∠EAD＝30°，三角尺ABC绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒5°，三角尺ADE绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒n°．当其中一个三角尺旋转满一周后，两把三角尺同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝3，n＝10时，求∠CAE的度数． （2）当n＝10时， ①将图①中的两把三角尺绕点A旋转至图③，若AM平分∠CAE，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． （3）将图①中三角尺ABC沿AB边翻转180°后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒5°，在旋转过程中的某一时刻，三角尺ADE的两条边AE，AD．第一次将∠BAC分割成三个相等的角，再经过10秒，三角尺ADE的这两条边再次将∠BAC分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 49．如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A＝50°时，求∠BPC的度数． b、当∠A＝n°时，求∠BPC的度数． 50．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 51．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，BD与∠ACB的外角平分线相交于点E． ①若∠A＝80°，求∠BDC的度数； ②写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，直接写出∠A2022的度数 　 　（用含x的代数式表示）． 52．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数． 53．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE＝∠G． （1）求证：AD∥EG； （2）设∠B＝x，∠G＝y，若x﹣y＝30°，∠ADC＝110°，求∠B的度数． 54．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD． （1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数． （2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数． 55．已知AB∥CD （1）如图，∠A＝40°，∠C＝78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数； （2）如果∠A＝α，∠P＝β，其它条件不变，则∠C＝　 　． 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．如图，AB∥CD，AE交CD于点F，连接DE，若∠D＝28°，∠E＝112°，则∠A的度数为（　　） A．48° B．46° C．42° D．40° 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠DFE的度数，再根据平行线的性质，可得∠A＝∠DFE，即可得∠A的度数． 【解答】解：∵△DEF中，∠D＝28°，∠E＝112°， ∴∠DFE＝180°﹣∠D﹣∠E ＝180°﹣28°﹣112° ＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DFE＝40°， 故选：D． 2．实验中学八年级举办了“精彩思辨”大赛．真真，灵灵，颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为五轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（无并列），对应名次的分数分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法正确的是（　　） 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 最后得分 真真 c a 25 灵灵 c c 12 颖颖 b b 13 A．真真可能有一轮比赛获得第二名 B．灵灵有四轮比赛获得第三名 C．颖颖可能有一轮比赛获得第一名 D．每轮比赛第一名得分a为6 【答案】D 【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于aC的等量关系式，然后结合b＞c且a，b，c均为正整数确定a，6，c的值，从而确定颖颖同学第三轮的得分． 【解答】由题意可得（a+b+c）×5＝25+12+13＝50， ∴a+b+c＝10， ∵a、b、c均为正整数． 若每轮比赛第一名得分a为6，则最后得分最高的为5×6＝30＞25， ∴a必小于7， 又∵a＞b＞c ∴b+c最小取3， ∴5＜a＜7， .a＝6，b＝3，c＝1， 真真同学最后得分25分，他4轮第一，1轮第三； 颖颖同学最后得分13分，他1轮第三，4轮第二； 灵灵同学最后得分12分，他1轮第一，1轮第二，3轮第三； 真真同学最后得分25分，他4轮第一，1轮第三； 第一轮比赛中，真真第一，颖颖第二，灵灵第三， 第二轮比赛中，灵灵第一，颖颖第二，真真第三， 第三轮比赛中，真真第一，灵灵第二，颖颖第三， 第四轮比赛中，真真第一，颖颖第二，灵灵第三， 第五轮比赛中，真真第一，灵灵第二，颖颖第三， 故答案选：D． 3．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2018，则∠A2018的度数是（　　） A． B． C． D．90°+ 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1， ∴∠A1＝∠A， ∵∠A＝α， ∴∠A1＝； 同理可得∠A2＝∠A1＝•α＝， ∴∠An＝， ∴∠A2018＝． 故选：B． 4．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠AEF，再由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′，根据平角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠1＝∠AEF， 由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′， ∵∠1＝2∠2， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2， ∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°， ∴2∠2+2∠2+∠2＝180°， 解得∠2＝36°． ∴∠AEF＝72°． 故选：C． 5．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 6．某足球比赛小组赛的比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等），且丙与其他球队均打平，则四个球队的得分之和可能为（　　） A．13分或14分 B．14分或15分 C．15分或16分 D．16分或17分 【答案】B 【分析】利用已知得出丙3平得分为3分，∵根据甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等），可得丁1平2负或2平1负得1分或2分，当丁1平2负时，甲2胜1平得7分，乙1胜1平1负得4分满足条件；当丁2平1负时，甲1胜2平得5分，乙1胜1平1负得4分满足条件；进而得出答案． 【解答】解：∵丙与其他球队均打平， ∴丙得分为3分， ∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等）， ∴丁1平2负或2平1负得1分或2分， ∴当丁1平2负时，甲2胜1平得7分，乙1胜1平1负得4分满足条件，四个球队的得分之和为7+4+3+1＝15（分）； 当丁2平1负时，甲1胜2平得5分，乙1胜1平1负得4分满足条件，四个球队的得分之和为5+4+3+2＝14（分）． 则四个球队的得分之和可能为14分或15分． 故选：B． 7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【答案】D 【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 8．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解． 【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α， ∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°， 而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD， ∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°， ∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β， 在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180° 故β﹣α＝40°， 而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°， 故选：B． 9．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则丙答对的题数是（　　） A．1题或2题 B．0题或1题 C．1题或5题 D．1题或3题 【答案】A 【分析】设甲、乙、丙答对的题数分别是x、y、z，由题意列方程得，6x+5y+4z+1＝x+y+z+16，求方程的非负整数解即可． 【解答】解：设甲、乙、丙答对的题数分别是x、y、z， 根据题意列方程得， 6x+5y+4z+1＝x+y+z+16， 整理得，5x+4y+3z＝15， ∵x、y、z为非负整数， ∴x＝1，y＝1，z＝2，或x＝0，y＝3，z＝1， ∴丙答对的题数是2题或1题， 故选：A． 10．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题： ①若SQ∥EF，则SQ＝EF； ②若SQ＝EF，则SQ∥EF； ③若PR⊥EF，则PR＝EF； ④若PR＝EF，则PR⊥EF．其中真命题有（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①是真命题，利用平行四边形的判定和性质证明即可． ②是假命题，画出图形举例说明即可． ③是真命题，构造全等三角形证明即可． ④是假命题，画出图形举例说明即可． 【解答】解：①若SQ∥EF，则SQ＝EF，是真命题． 理由：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴SE∥QF， ∵SQ∥EF， ∴四边形EFQS是平行四边形， ∴SQ＝EF． ②若SQ＝EF，则SQ∥EF，是假命题． 理由：如图1中，S′Q′＝EF，但是四边形EFQ′S′是等腰梯形，EF与S′Q′不平行． ③若PR⊥EF，则PR＝EF，是真命题． 理由：如图2中，过点R作RM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝CD， ∵RM⊥AB， ∴∠RMB＝90°， ∴四边形BCRM是矩形， ∴RM＝BC， 同法可证EN＝CD， ∴RM＝EN， ∵EF⊥PR，∠B＝90°， ∴∠RPM+∠EFB＝180°， ∵∠EFB+∠EFN＝180°， ∴∠RPM＝∠EFN， 在△RMP和△ENF中， ， ∴△RMP≌△ENF（AAS）， ∴RP＝EF． ④若PR＝EF，则PR⊥EF，是假命题． 理由：如图2中，R′P′＝EF，显然R′P′与EF不垂直． 故选：C． 11．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，点D在△ABC外，连接AD，BD，CD， 若∠DBA＝20°，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【分析】以BC为边，在△ABC内作∠CBE＝∠ABD＝20°，连接DE．先利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质求出∠BEC说明BE＝BC，再说明△BDE是等边三角形、△AEB是等腰三角形，最后通过说明△ADE是等腰三角形得结论． 【解答】解：如图，以BC为边，在△ABC内作∠CBE＝∠ABD＝20°，连接DE． ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°． 在△EBC中， ∵∠CBE＝20°，∠ACB＝80°， ∴∠BEC＝80°． ∴BC＝BE． ∵∠ACB＝80°，∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝50°． ∵∠ABC＝60°，∠ABD＝20°， ∴∠DBC＝80°． ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝50°． ∴∠BDC＝∠BCD． ∴BD＝BC． ∴BD＝BE． ∵∠DBE＝∠DBC﹣∠EBC＝60°， ∴△DBE是等边三角形． ∴∠DEB＝60°，DE＝BE． ∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAC＝40°． ∵∠ABE＝∠BAC＝40°． ∴BE＝AE＝DE． ∴∠EAD＝∠ADE． ∵∠AED＝180°﹣∠DEB﹣∠BEC＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∴∠DAE＝＝70°． ∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAC＝70°﹣40°＝30°． 故选：C． 13．李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序：①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中，李编辑可能回复的邮件顺序是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】B 【分析】此题抓住“每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件“，展开讨论推理即可得出答案． 【解答】解：如果是①，说明收到邮件AB开始回邮件，根据题目是先回B再回A，回A时同时收到CDE，那回邮件顺序应该是EDC，不可能是ECD． 如果是②，说明收到ABC开始回邮件，先回C同时收到了DE，然后回新到的E，D，B，A邮件所以成立． 如果是③，说明收到A回邮件，同时收到了BC，回邮件CB，同时收到DE，回邮件ED，所以成立． 如果是④，说明收到ABCD开始回邮件，回复完又收到E，最后回复E，那么回复的顺序应该是：DCBAE，而不能是DCABE； 故选：B． 14．如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论： ①EG⊥FG； ②∠P+∠PHB＝∠PGD； ③∠P＝2∠E； ④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可求解∠EGF＝90°，即可判定①；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，由平行线的性质可得∠PMB＝∠PGD，结合三角形外角的性质可性质②；由角平分线的定义可得∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，结合平行线的性质可得∠PMB＝2∠ENB，再利用三角形外角的性质可证明③；由三角形外角的性质可得∠P＝∠F，根据直角三角形的性质及③的结论可求解∠F的度数，即可判定④． 【解答】解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD， ∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD， ∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝， 即EG⊥FG，故①正确； 设PG与AB交于M，GE于AB交于N， ∵AB∥CD， ∴∠PMB＝∠PGD， ∵∠PMB＝∠P+∠PHM， ∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确； ∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD， ∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD， ∵AB∥CD， ∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD， ∴∠PMB＝2∠ENB， ∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB， ∴∠P＝2∠E，故③正确； ∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC， ∠AHP﹣∠PGC＝∠F， ∴∠P＝∠F， ∵∠FGE＝90°， ∴∠E+∠F＝90°， ∴∠E+∠P＝90°， ∵∠P＝2∠E， ∴3∠E＝90， 解得∠E＝30°， ∴∠F＝∠P＝60°，故④正确． 综上，正确答案有4个， 故选：D． 15．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质得到AP⊥BC，进而得到∠PAD＝90°；设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，用x的代数式表示出∠PAC的度数，设∠BDP＝∠CDP＝y，在等腰三角形ADC中用x，y的代数式表示出∠DAC，利用∠PAD＝90°列出等式，求得x+y的值，则∠ADP＝45°，在Rt△APD中，结论可求． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∴AB＝AD． 同理：AC＝AD． ∴AB＝AC． ∵AP平分∠BAC， ∴AP⊥BC． ∵AD∥BC， ∴AP⊥AD． ∴∠PAD＝90°． 设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x， ∴∠ABC＝2x． ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝2x． ∴∠PAC＝90°﹣2x． ∵DP平分∠BDC， ∴设∠BDP＝∠CDP＝y， ∴∠BDC＝2y． ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y． ∵AC＝DA， ∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y． ∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）． ∵∠PAD＝90°， ∴∠PAC+∠DAC＝90°． ∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°． 整理得：x+y＝45°， ∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y， ∴∠ADP＝45°． ∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°． 故选：C． 16．如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An，点E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC的平分线与∠ACE的平分线交于点M，设∠BAC＝α．下列结论正确的是（　　） A． B． C．∠M+∠A1的值为定值 D．∠M﹣∠A1的值为定值 【答案】C 【分析】A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，再结合角平分线的性质可得∠A1BC与∠ABC，∠A1CD与∠ACD的关系；结合三角形外角的性质可得∠A1与∠A的关系，同理可得出∠An的度数；根据EM平分∠AEC，CM平分∠ACE，得∠M＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），故∠M＝180°﹣∠BAC，从而可得∠M+∠A1的值为定值，其值是180°． 【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1， ∴∠A1＝∠BAC， 又∵∠BAC＝α， ∴∠A1＝； 同理可得∠A2＝∠A1＝×＝， ∠A3＝∠A2＝×＝， …… ∴∠An＝，故A、B错误； ∵EM平分∠AEC，CM平分∠ACE， ∴∠MEC＝∠AEC，∠MCE＝∠ACE， ∵∠M＝180°﹣（∠MEC+∠MCE）， ∴∠M＝180°﹣（∠AEC+∠ACE）， ∵∠BAC＝∠AEC+∠ACE， ∴∠M＝180°﹣∠BAC， 而∠A1＝∠BAC， ∴∠M+∠A1＝180°﹣∠BAC+∠BAC＝180°， ∴∠M+∠A1的值为定值，其值是180°，故C正确，D错误， 故选：C． 17．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数． 【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°， ∴∠EFC+∠EFC'＝200°， ∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°， 故选：A． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可． 【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD为高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF，故②正确； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF， 即∠FAG＝2∠ACF，故③正确； 根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误； 故选：B． 19．如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1＝60°，则∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝60°， ∴∠3＝∠1＝60°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°． 故选：A． 20．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是（　　） ①最后剩下的小球可能是A型小球； ②最后剩下的小球一定是B型小球； ③最后剩下的小球一定不是C型小球． A．① B．②③ C．③ D．①③ 【答案】D 【分析】①和②可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的A、B数量的奇偶性来判断③的正确与否． 【解答】解：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，由此可知①正确，②错误． 事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）． （AA）→C，A与B一奇一偶； （BB）→C，A与B一奇一偶； （CC）→C，A与B一奇一偶； （AB）→C，A与B一奇一偶； （AC）→B，A与B一奇一偶； （BC）→A，A与B一奇一偶． 由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③正确． 故选：D． 二．多选题（共5小题） （多选）21．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列命题中是正确的有（　　） A．若a+b+c＝0，则x＝1是方程的一个根 B．若方程两个根为﹣1和3，则3a+2c＝0 C．若b＝0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数 D．若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根 【答案】AD 【分析】根据方程根的定义，根与系数的关系求解即可． 【解答】解：A．若a+b+c＝0，则x＝1是方程的一个根，正确． B．若方程两个根为﹣1和3，则，∴c＝﹣3a，∴3a+2c＝﹣c+2c＝c，c不一定是0，故结论错误． C．若b＝0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数．错误，当a，c同号时，方程没有实数根． D．若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0，∴方程ax2+bx+c＝0，Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程必有两个不相等的实数根，正确． 故选：AD． （多选）22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G，则下列结论正确的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠AEB＝∠CAD C．∠BAE＝∠BEA D．∠B＝2∠AEF 【答案】ACD 【分析】由直角三角形的性质得到∠ACB+∠CAD＝90°，因此∠BAD+∠CAD＝90°，得到∠BAC＝90°，∠C和∠CAE不一定相等，因此∠AEB和∠CAD不一定相等，由∠CAE＝∠DAE，∠C＝∠BAD，推出∠AEB＝∠BAE，由余角的性质推出∠B＝∠CAD，由角平分线定义得到∠CAD＝2∠CAE，由平行线的性质推出∠AEF＝∠CAE，得到∠CAD＝2∠AEF． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACB+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝∠BAD， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝90°， 故A符合题意； ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠CAE， ∵∠AEB＝∠CAE+∠C， ∵∠C和∠CAE不一定相等， ∴∠AEB和∠CAD不一定相等， 故B不符合题意； ∵∠AEB＝∠CAE+∠C，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CAE＝∠DAE，∠C＝∠BAD， ∴∠AEB＝∠BAE， 故C符合题意； ∵∠B+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠CAE， ∵EF∥AC， ∴∠AEF＝∠CAE， ∴∠CAD＝2∠AEF， 故D符合题意． 故选：ACD． （多选）23．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论正确的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2 C．∠BOC＝90°+∠2 D．∠BOC＝90°+∠1 【答案】AC 【分析】由角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2，即可得出答案． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1， ∴∠1＝2∠2，故选项A符合题意； ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故选项B、D不符合题意； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故选项C符合题意； 故选：AC． （多选）24．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　） A．AH是△ABE的角平分线 B．CH是△ACD边AD上的高 C．∠ACH＝∠FBC+∠FCB D．△ABG与△BGD的面积相等 【答案】BCD 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高的概念进行判断． 【解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，AH是△AFC的角平分线，故此说法错误； B、根据三角形的高的概念，CH是△ACD边AD上的高，故此说法正确； C、∵∠1＝∠2，F为AB上一点，CF⊥AD于H， ∴∠ACH＝∠AFC＝∠FBC+∠FCB，故此说法正确； D、∵G为AD的中点，∴△ABG与△BGD的面积相等，故此说法正确． 故选：BCD． （多选）25．有下列四个命题中，其中是真命题的是（　　） A．弧分为优弧和劣弧 B．经过圆心的弦是直径 C．若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补 D．三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 【答案】BC 【分析】根据弧的分类，直径的定义，两边平行的角的性质，三角形的外角的性质一一判断即可． 【解答】解：A．弧分为优弧和劣弧，是假命题，弧分为优弧和劣弧，半圆． B．经过圆心的弦是直径，是真命题． C．若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，是真命题． D．三角形的一个外角大于三角形的每一个内角，是假命题．三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻内角． 故选：BC． 三．填空题（共15小题） 26．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上． （1）∠1、∠2、∠3之间的关系为 　∠3＝∠1+∠2　； （2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 　∠3＝∠1+∠2　； （3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为 　∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作PE∥AC，如图1，由于l1∥l2，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1＝∠EPC，∠2＝∠EPD，所以∠1+∠2＝∠3； （2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化； （3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系． 【解答】证明：（1）如图1，过点P作PQ∥l1， ∵PQ∥l1， ∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∵PQ∥l1，l1∥l2（已知）， ∴PQ∥l2（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3＝∠4+∠5， ∴∠3＝∠1+∠2（等量代换）； 故答案为：∠3＝∠1+∠2； （2）∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化； 故答案为：∠3＝∠1+∠2； （3）∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3． 故答案为：∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3． 27．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数． 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝． 故答案为：17.5°，． 28．如图，在△ABC中，∠B＝50°，三角形的外角∠EAC和∠ACD的平分线交于点P，则∠APC＝　65°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠EAC+∠ACD＝（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△APC中利用三角形内角和定理可以求得∠APC的度数 【解答】解：∵三角形的外角∠EAC和∠ACD的平分线交于点E， ∴∠PAC＝∠EAC，∠PCA＝∠ACD； 又∵∠B＝50°，∠B+∠1+∠2＝180°， ∴∠EAC+∠ACD＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝＝115°（外角定理）， ∴∠APC＝180°﹣（∠EAC+∠ACD）＝180°﹣115°＝65°； 故答案为：65°． 29．2020年中考在即，为了同学们更好地适应中考，重庆某中学初2020级举行了最后一次模拟适应性考试．几周前Z、W、J、L四名老师接到本次模拟考试某学科的命题任务．该学科试卷总的试题数大于20且不超过30．Z老师与J老师命题的数目之和乘以Z老师与L老师的命题数目之和其结果为132．W老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与L老师的命题数目之和其结果为210．已知W老师与J老师命题的数目之和为偶数．Z老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与J老师的命题数目之和其结果为　154　． 【答案】154． 【分析】根据题意，可以得到这样三个关系式：①20＜Z+W+J+L≤30，②（Z+J）（Z+L）＝132，③（W+J）（W+L）＝210，分别对132和210进行因数分解，结合整体范围，可以得到W+J＝14或10，进行分类讨论即可． 【解答】解：分别以Z，W，J，L表示四位老师命题数量， 根据题意，可以得到以下关系式： ①20＜Z+W+J+L≤30， ②（Z+J）（Z+L）＝132， ③（W+J）（W+L）＝210， ∵试题总数不超过30， ∴②中132可以拆成11×12或者22×6， 又∵W+J为偶数， ∴③中210可以拆成10×21或者14×15， 则W+J＝14或者w+J＝10， 对W+J的值进行分类讨论： 第一种情况： 若W+J＝10， 则W+L＝21， 则L﹣J＝11， 若每个老师都命题，则J≥1， L＝11+J≥12， 同理Z≥1， 则Z+L≥13， 则Z+L＝22， 此时则有W+J＝10， W+L＝21， Z+L＝22， Z+J＝6， 此时无解， 所以只能满足：W+J＝14， 则W+L＝15， Z+J＝11， Z+L＝12， 则所求（Z+J）（W+J）＝11×14＝154． 故答案为：154． 30．如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝　2nα　度． 【答案】2nα． 【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，进而得到∠BED＝∠ABE+∠CDE；先根据∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1＝∠ABE+∠CDE＝∠BED；同理可得∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2＝∠ABE1+∠CDE1＝∠DE1B＝∠BED；根据∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3D＝∠BED；…据此得到规律∠En＝∠BED，最后求得∠BED的度数． 【解答】解：如图，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2， ∵∠BED＝∠1+∠2， ∴∠BED＝∠ABE+∠CDE； ∵∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1 ∴∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1＝∠ABE+∠CDE＝∠BED． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2＝∠ABE1+∠CDE1＝∠DE1B＝∠BED； ∵∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3D＝∠ABE3+∠CDE3＝∠ABE2+∠CDE2＝∠DE2B＝∠BED； … 以此类推，∠En＝∠BED． ∴当∠En＝α度时，∠BED等于（2nα）度． 故答案为：2nα． 31．A，B，C，D，E五省统计学家奔赴地震灾区进行灾情统计，每省派2人．到达时要进行介绍，10人中互相认识的握一下手，且本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手．介绍结束后，A省统计学家A1分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同．问A1自己握手次数是 　4　次． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于本省的2人没有握手，那么这10个人中握手次数最多的应是和外省的那8个人都握过手，为8次，又因为A省统计学家A1分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同，故可推断出除A1外其他9人握手分别是0﹣8次，从而进行推断即可得出答案． 【解答】解：∵本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手， ∴这10个人中握手最多的应是和外省的那8个人都握过手，为8次， ∵除A1外其他9人握手次数各不相同， ∴除A1外其他9人握手分别是0﹣8次， 设A，B，C，D，E五省的统计学家分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，E1，E2， 不妨设E2的握手次数为0次，则E2不认识外省的那8个人，外省的那8个人也都不认识E2， ∴A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2的握手次数都将小于8， ∴握手次数为8次的人为E1， ∴与E1握手的人为A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2， 再假设D2的握手次数为1次，则与D2握手的人只有E1，也就是说A1，A2，B1，B2，C1，C2都不认识D2， ∴A1，A2，B1，B2，C1，C2的握手次数都将小于7， ∴握手次数为7次的人为D1， ∴与D1握手的人为A1，A2，B1，B2，C1，C2，E1， 再假设C2的握手次数为2次，则与C2握手的人只有D1，E1，也就是说A1，A2，B1，B2都不认识C2， ∴A1，A2，B1，B2的握手次数都将小于6， ∴握手次数为6次的人为C1， ∴与C1握手的人为A1，A2，B1，B2，D1，E1， 再假设B2的握手次数为3次，则与B2握手的人只有C1，D1，E1，也就是说A1，A2都不认识B2， ∴A1，A2的握手次数都将小于5， ∴握手次数为5次的人为B1， ∴与B1握手的人为A1，A2，C1，D1，E1， ∴与A1和A2握手的人为B1，C1，D1，E1，也就是说与A1和A2握手的人为握手次数分别是5，6，7，8次的人， 故答案为：4． 32．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， …， 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． 若∠En＝1度，那∠BEC等于　2n　度． 【答案】见试题解答内容 【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；同理可得∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C＝∠BEC；…据此得到规律∠En＝∠BEC，最后求得∠BEC的度数． 【解答】解：如图①，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠1，∠C＝∠2， ∵∠BEC＝∠1+∠2， ∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE； 如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC； 如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC； … 以此类推，∠En＝∠BEC． ∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度． 故答案为：2n． 33．“并字横”想必大家都应该玩过，两名玩家在3×3的横盘上轮流落子，先将自己的3枚棋子连成一线的玩家获胜，在棋盘摆放确定之后，一共有8种可能的胜利方法，如图： 考虑两名玩家在4×4×4的立方体上轮流落子的“立体并字俱”，先将自己4枚棋子连成一线的玩家获胜，那么在立方体摆放确定之后，“立体并字填”一共有　76　种胜利方法． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，分三种情形画出图形，统计符合条件的情形即可解决问题． 【解答】解：分三种情形：①如图1中，4棵同颜色的棋在同一个桩柱上时，有16种情形． ②如图2中，4棵同颜色的棋在同一个层面上，有16+16+8＝40种情形． ③如图3中，4棵同颜色的棋在不同的桩柱上（即对角线），有20种情形． 综上所述，共有16+40+20＝76（种） 34．如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝48°，∠B＝64°，则∠ACP＝　112°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用三角形外角与内角的关系解答即可． 【解答】解：∵∠A＝48°，∠B＝64°， ∵∠ACP＝∠A+∠B＝48°+64°＝112°， 故答案为：112° 35．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　180°﹣　（用含a和n的代数式表示） 【答案】180°﹣． 【分析】由折叠的性质折叠n次可得∠Rn﹣1RnB，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【解答】解：由折叠的性质折叠n次可得∠RnBnRn+1＝＝ 在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BRnN＝360＝180 ∴∠ARnN＝∠BRnN﹣∠Rn﹣1RnB＝180°﹣﹣＝180°﹣． 故答案为：180°﹣． 36．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形外角的性质可表示出：∠BFC＝∠PAC+∠P，∠AFP＝∠PBC+∠C，根据对顶角相等的性质，可得到∠BFC＝∠AFP，从而可以用含有a、b、c、d的式子表示∠P，从而不难求解． 【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C， ∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C． ∵∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d． ∴a+∠P＝b+c ①． 同理：b+∠P＝a+d ②．①式+②式，得.2∠P＝c+d，∴∠P＝． 故答案为：． 37．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城　72　公里． 【答案】见试题解答内容 【分析】可在一条线段上简单的作出图形，考虑两车第二次相遇的情形，即甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，又其速度不变，所以设法求出其速度之间的关系即此题解题的关键． 【解答】解：设两车首次相遇于C处，第二次相遇于D处，第三次相遇于E处，考虑两车第二次相遇的情形，如图1， 甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲， 这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇， 则两车首次相遇时合开的路程记为S＝AB， 第一、三次相遇之间，甲开行距离为CE，乙开行距离为CA+AB+BE，两车合开的路程为2S， 由于速度不变，甲应开行了2×36＝72公里，即CE＝72公里， 而题设EB＝36公里， 所以S＝AC+CE+EB＝36+72+36＝144公里，BC＝S﹣AC＝144﹣36＝108公里，甲、乙速度之比＝36：108＝1：3， 于是易算得两车第一次相遇于C后，乙到达A站时，甲到达F处，CF＝12公里，如图2， 从而甲在回程图中追赶乙，需从A起，追赶48+48÷（3﹣1）＝72公里，即AD＝72公里，从而知DB＝S﹣AD＝144﹣72＝72公里． 故答案为：72． 38．已知，如图1，在△ABC，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示） 　∠BO1C＝×180°+∠A，∠BOn﹣1C＝×180°+∠A．　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论． 【解答】解：根据题中所给的信息，总结可得：∠BO1C＝×180°+∠A， ∠BOn﹣1C＝×180°+∠A． 故答案为：∠BO1C＝×180°+∠A，∠BOn﹣1C＝×180°+∠A． 39．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有　42　种． 【答案】见试题解答内容 【分析】第一块田有3种选择方法，第二、三、四、五块田均有2种选择方法，因此共有3×2×2×2×2＝48种种植方法，而这48种方法中，包含了只种两种作物的可能，因此要将其除去，只种两种作物时，不同的种法有2×3＝6种，因此本题的种植方法共有48﹣6＝42种． 【解答】解：第一块田有3种种植方法，第二、三、四、五块田均有2种种植方法， 因此共有3×2×2×2×2＝48种种植方法； 其中，有2×3＝6种是只种两种作物的种植方法， 因此所求的种植方法有48﹣6＝42种． 故答案为：42． 40．如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝　53　度． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的内角和定理，得∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°﹣106°＝254°；再根据角平分线的定义，得∠OCB+∠OBC＝127°；最后根据三角形的内角和定理，得∠O＝53°． 【解答】解：∵∠A＝74°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°， ∴∠BOC＝180°﹣（360°﹣106°）＝180°﹣127°＝53°． 四．解答题（共15小题） 41．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD、直线EF上，P为两平行线间一点． 猜想 （1）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么数量关系？并说明理由． 应用 （2）利用（1）的结论解答： ①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系，不需要说明理由； ②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝α，求∠AP2B的大小（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）∠APB＝∠DAP+∠FBP，见解答过程； （2）①∠P＝2∠P1，见解答过程； ②180°﹣α． 【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证； （2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解． 【解答】解：（1）∠APB＝∠DAP+∠FBP，理由如下： 过P作PM∥CD，如图， ∴∠APM＝∠DAP， ∵CD∥EF， ∴PM∥CD， ∴∠MPB＝∠FBP， ∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP． 即∠APB＝∠DAP+∠FBP； （2）①结论：∠P＝2∠P1； 理由：由（1）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1， ∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1， ∴∠P＝2∠P1． 故答案为：∠P＝2∠P1； ②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2， ∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP， ∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP， ∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP ＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP） ＝180°﹣（∠DAP+∠FBP） ＝180°﹣∠APB ＝180°﹣α． 42．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP． （1）探究发现：（填空） 填空：如图1，过P作PQ∥AB， ∴∠A+∠1＝　180　°（　两直线平行，同旁内角互补　） ∵AB∥CD（已知） ∴PQ∥CD（　平行公理的推论　） ∴∠C+∠2＝180° 结论：∠A+∠C+∠APC＝　360　°； （2）解决问题： ①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由； ②如图3，若∠APC＝100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为　140°　（直接写出结果）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，进而得到结论：∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）先根据AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，得出∠BAF＝∠BAP，∠DCF＝∠DCE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠F＝（∠BAP+∠DCP﹣180°）再根据∠BAP+∠DCP＝360°﹣∠P，即可得出∠F＝（360°﹣∠P﹣180°）＝90°﹣∠P； （3）延长线段CD，延长BA交CP的延长线于G，设∠BAP＝α，∠G＝∠GCF＝∠CDN＝β，由（1）可得，∠M+∠BAM+∠EDM＝360°，即可得到∠M＝360°﹣∠BAM﹣∠EDM＝100°+（α﹣β），再根据∠BAP是△APG的外角，∠APC＝100°，即可得出α﹣β＝80°，代入后可得∠M＝100°+（α﹣β）＝100°+×80°＝140°． 【解答】解：（1）探究发现： 如图1，过P作PQ∥AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB∥CD（已知） ∴PQ∥CD（平行公理的推论） ∴∠C+∠2＝180° 结论：∠A+∠C+∠APC＝360°； 故答案为：180，两直线平行，同旁内角互补，平行公理的推论，360； （2）2∠F+∠P＝180°． 理由：如图2，∵AF平分∠BAP，CF平分∠DCE， ∴∠BAF＝∠BAP，∠DCF＝∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DQF， ∵∠DQF是△CFQ的外角， ∴∠F＝∠DQF﹣∠DCF ＝∠BAF﹣∠DCF ＝∠BAP﹣∠DCE ＝（∠BAP﹣∠DCE） ＝[∠BAP﹣（180°﹣∠DCP）] ＝（∠BAP+∠DCP﹣180°） 由（1）可得，∠P+∠BAP+∠DCP＝360°， ∴∠BAP+∠DCP＝360°﹣∠P， ∴∠F＝（360°﹣∠P﹣180°）＝90°﹣∠P， 即2∠F+∠P＝180°； （3）如图3，延长线段CD，延长BA交CP的延长线于G， ∵BN∥AP，DN∥PC，AB∥CD， ∴可设∠BAP＝α，∠G＝∠GCF＝∠CDN＝β， ∵AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN， ∴∠BAM＝∠BAP＝α，∠MDN＝∠CDN＝β， 由（1）可得，∠APC+∠BAP+∠DCP＝360°， ∴∠PCD＝360°﹣∠APC﹣∠BAP＝260°﹣α， ∴∠NDE＝260°﹣α， 由（1）可得，∠M+∠BAM+∠EDM＝360°， ∴∠M＝360°﹣∠BAM﹣∠EDM ＝360°﹣α﹣（β+260°﹣α） ＝100°+（α﹣β）， 又∵∠BAP是△APG的外角，∠APC＝100°， ∴∠BAP﹣∠G＝∠APG＝80°， ∴α﹣β＝80°， ∴∠M＝100°+（α﹣β）＝100°+×80°＝140°． 故答案为：140°． 43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°： （1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　135°　； ②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数； （2）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，当CE∥AD时，当EB∥CD时，当BE∥AD时，分别求得∠ACE角度． 【解答】（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90° ∴∠ACE＝45° ∵∠BCE＝90° ∴∠ACB＝90°+45°＝135° 故答案为：135°； ②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90° ∴∠ACE＝140°﹣90°＝50° ∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°； （2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180° 理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE 又∵∠ACB＝∠ACE+90° ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE 即∠ACB+∠DCE＝180°； （3）30°、45°、120°、135°、165°． 理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°； 当EB∥AC时，∠ACE＝45°； 当CE∥AD时，∠ACE＝120°； 当EB∥CD时，∠ACE＝135°； 当BE∥AD时，∠ACE＝165°． 44．AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）如图1，求证：∠EPG＝∠BEP+∠PGD； （2）如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE＝110°，∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°．求∠BEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）40°； （3）∠EPG+2∠EHG＝180°． 【分析】（1）延长EP交CD于M，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠EPG＝∠PMG+∠PGD＝∠BEP+∠PGD； （2）连接EG，由已知条件可得∠PGE＝110°﹣∠BEP，结合（1）的结论可得∠EPG＝∠BEP+30°，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠PEG＝60°﹣∠BEP，再利用三角形的内角和定理可求解∠BEP的度数； （3）根据EF平分∠PEA，可设∠AEF＝∠PEF＝α，根据四边形内角和可得∠PGD＝180°﹣（360°﹣∠EPG﹣2α）＝∠EPG+2α﹣180°，依据∠EFG是△FGH的外角，可得∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，最后依据∠PGD＝2∠FGH，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系． 【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M， ∵AB∥CD， ∴∠BEP＝∠GMP， ∵∠EPG是△PGM的外角， ∴∠EPG＝∠PMG+∠PGD＝∠BEP+∠PGD； （2）如图1，连接EG， ∵∠BEP+∠PGE＝110°， ∴∠PGE＝110°﹣∠BEP， 由（1）知：∠EPG＝∠BEP+∠PGD， ∵∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°． ∴∠EFD＝60°，∠EPG＝∠BEP+30°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝120°， ∵EG平分∠PEF， ∴∠PEG＝∠PEF＝（120°﹣∠BEP）＝60°﹣∠BEP， ∵∠PEG+∠EPG+∠PGE＝180°， ∴60°﹣∠BEP+∠BEP+30°+110°﹣∠BEP＝180°， 解得∠BEP＝40°； （3）∵EF平分∠PEA， ∴设∠AEF＝∠PEF＝α， ∵AB∥CD， ∴∠GFE＝∠AEF＝α， 在四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠EPG﹣2α， ∴∠PGD＝180°﹣（360°﹣∠EPG﹣2α）＝∠EPG+2α﹣180°， ∵∠EFG是△FGH的外角， ∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG， 又∵GN平分∠PGD， ∴∠PGD＝2NGD＝2∠FGH， 即∠EPG+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG）， 整理可得，∠EPG+2∠EHG＝180°． 45．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数； （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角． 【答案】（1）∠BED＝90°； （2）∠BFD＝68°； （3）∠BFD的补角＝﹣． 【分析】（1）过点E作EG∥AB，根据a∥b，可得EG∥CD，得∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，即可求∠BFD的度数； （3）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，即可用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角． 【解答】解：（1）过点E作EG∥AB， ∵a∥b， ∴EG∥CD， ∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED， ∵AD⊥BC， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°， ∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°； （3）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FQ∥CD， ∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ， ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β， ∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+， ∴∠BFD的补角＝﹣． 46．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：　∠B+∠C＝∠BEC　；图②中：　∠B+∠C+∠BEC＝360°　，图③中：　∠C﹣∠B＝∠BEC　．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC＝100°，∠BPC的度数是　130°　．（直接写出结果，不用写计算过程） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据图①、图②和图③所示的位置，直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系即可；（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠B和∠C、∠BEC的数量关系；（3）由图②的结论可得，∠ABE+∠DCE＝360°﹣∠E＝360°﹣100°＝260°，再根据BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE＝130°，利用四边形PCEB内角和进行计算即可． 【解答】解：（1）图①：∠B+∠C＝∠BEC；图②：∠B+∠C+∠BEC＝360°；图③：∠C﹣∠B＝∠BEC． （2）选图①证明： 证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一条直线的两直线互相平行）， ∴∠C＝∠CEF（ 两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF（ 两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF（等式的性质）， 即∠B+∠C＝∠BEC． 选图②证明： 证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一条直线的两直线互相平行）， ∴∠C+∠CEF＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补） ∵EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B+∠C+∠CEF+∠BEF＝180°+180°＝360°， 即∠B+∠C+∠BEC＝360°． 选图③证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一条直线的两直线互相平行）， ∴∠C＝∠CEF（ 两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF（ 两直线平行，内错角相等）， ∴∠B﹣∠C＝∠CEF﹣∠BEF（等式的性质）， 即∠B﹣∠C＝∠BEC． （3）∠BPC的度数是130°． 由图②的结论可得，∠ABE+∠DCE＝360°﹣∠E＝360°﹣100°＝260°， 又∵BP平分∠ABE，CP平分∠DCE， ∴∠PBE+∠PCE＝130°， ∴四边形PCEB中，∠BPC＝360°﹣130°﹣100°＝130°， 故答案为：130°． 47．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数． （2）当点P在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠B＝35°，∠ACB＝85°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC的度数，由PE⊥AD，可得∠DPE的度数，从而求得∠E的度数． （2）根据第一问的推导，可以用含α、β的代数式表示∠E． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∠B+∠ACB+∠BAC＝180°． ∴∠BAC＝60°． ∵AD平分∠BAC． ∴∠DAC＝30°． ∵∠ACB＝85°，∠ACB+∠DAC+∠PDE＝180°． ∴∠PDE＝65°． 又∵PE⊥AD． ∴∠DPE＝90°． ∵∠PDE+∠DPE+∠E＝180°． ∴∠E＝25°． （2））∵∠B＝α，∠ACB＝β，∠B+∠ACB+∠BAC＝180°． ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AD平分∠BAC． ∴∠DAC＝（180°﹣α﹣β）． ∵∠ACB＝β，∠ACB+∠DAC+∠PDE＝180°． ∴∠PDE＝180°﹣β﹣（180°﹣α﹣β）＝90°． 又∵PE⊥AD． ∴∠DPE＝90°． ∵∠PDE+∠DPE+∠E＝180°． ∴∠E＝180°﹣90°﹣（90°）＝． 48．如图①，将两把三角尺的两顶点重叠放在直线MN上，三角尺ABC中的点B落在另一把的AD边上，已知∠CAB＝∠AED＝90，∠C＝45°，∠EAD＝30°，三角尺ABC绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒5°，三角尺ADE绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒n°．当其中一个三角尺旋转满一周后，两把三角尺同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝3，n＝10时，求∠CAE的度数． （2）当n＝10时， ①将图①中的两把三角尺绕点A旋转至图③，若AM平分∠CAE，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． （3）将图①中三角尺ABC沿AB边翻转180°后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒5°，在旋转过程中的某一时刻，三角尺ADE的两条边AE，AD．第一次将∠BAC分割成三个相等的角，再经过10秒，三角尺ADE的这两条边再次将∠BAC分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 【答案】（1）165°； （2）①t＝12； ②t＝4或t＝16或t＝28； （3）31． 【分析】（1）由题可知，∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠NAD+∠DAE，当t＝3，n＝10时，代入求出∠BAN和∠DAN的角度，代入即可得出结论； （2）①由题意可知，∠CAM＝90°﹣5°t，∠MAE＝150°﹣10°t，由角平分线的定义建立方程，求解即可； ②根据题意可知，分两种情况：a．由①可得，∠CAM＝90°﹣5°t，∠MAE＝150°﹣10°t，根据题意，三点共线，则∠CAE＝180°或∠CAE＝0°，由此建立方程，求解即可； b．如图，∠CAN＝270°﹣5°t，∠NAE＝330°﹣10°t，建立方程，解之即可． （3）由三等分线可知，∠DAB＝30°，所以第一次分割∠DAB＝t•n°+t•5°＝30°，第二次分割∠DAB＝（t+10）•5°+（t+10）n°＝390°，求解即可． 【解答】解：（1）由题可知， ∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠NAD+∠DAE， 当t＝3，n＝10时， ∠BAN＝3×5°＝15°，∠DAN＝3×10°＝30°， ∵∠CAB＝90°，∠EAD＝30°， ∴∠CAE＝90°+15°+30°+30°＝165°． （2）①由题意知，∠BAN＝5°t， 则∠CAM＝90°﹣5°t， 同理，∠MAE＝150°﹣10°t， ∵AM平分∠CAE， ∴∠CAM＝∠MAE，即90°﹣5°t＝150°﹣10°t， 解得t＝12． ②a．由①可得，∠CAM＝90°﹣5°t，∠MAE＝150°﹣10°t， 根据题意，三点共线，则∠CAE＝180°或∠CAE＝0°， 当∠CAE＝∠CAM+∠MAE＝180°时， 解得t＝4， 当∠CAE＝0°时，5°t+90°+10°t+30°＝360°， 解得t＝16． b．∠NAE＝330°﹣10°t，∠CAN＝270°﹣5°t， ∴∠NAE+∠NAC＝180°， ∴330°﹣10°t+270°﹣5°t＝180°， 解得t＝28； 综上所述，满足条件t＝4或t＝16或t＝28； （3）由题意可知，∠DAB＝30°， 第一次分割∠DAB＝t•n°+t•5°＝30° 则第二次分割∠DAB＝（t+10）•5°+（t+10）n°＝390°， 解方程，可得t＝，n＝31， ∴n的值为31． 49．如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A＝50°时，求∠BPC的度数． b、当∠A＝n°时，求∠BPC的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】延长CP交AB于点E，延长BP交AC于点D．在△ABC中，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，先求得∠ABD+∠ACE的值，从而求得∠CBD+∠ECB的值；然后在△BPC中利用三角形内角和定理求得∠BPC度数． 【解答】解：a：延长CP交AB于点E，延长BP交AC于点D． ∵BP、CP分别是△ABC的角平分线 ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠ECB； ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠CBD+2∠ECB＝180°； ∵∠A＝50°， ∴∠CBD+∠ECB＝65°； 在△BPC中， 又∵∠BPC+∠CBP+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝115°． b：同理∵∠A＝n°， ∴∠CBD+∠ECB＝°； 在△BPC中， 又∵∠BPC+∠CBP+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝（180﹣）°＝（90+）°． 50．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数，只要求出∠D+∠1+∠2的度数，利用三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠C；在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°． 【解答】解：∵∠1是△AEF的外角， ∴∠1＝∠A+∠E． ∵∠2是△BOC的外角， ∴∠2＝∠B+∠C． 在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°． 51．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，BD与∠ACB的外角平分线相交于点E． ①若∠A＝80°，求∠BDC的度数； ②写出∠A与∠E之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，直接写出∠A2022的度数 　　（用含x的代数式表示）． 【答案】（1）①130°；②证明过程见解答； （2）． 【分析】（1）①利用∠A求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的性质求出∠CBD+∠BCD，即可求解； ②利用三角形的外角性质得出∠A+∠ABC＝∠ACF，∠E+∠CBE＝∠ECF，从而可得∠A＝∠ACF﹣∠ABC，∠E＝∠ECF﹣∠CBE，再利用角平分线的性质，即可证明； （2）先求出∠A1，再求出∠A2，观察规律，即可求解． 【解答】（1）①解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝130°； ②证明：∵∠A+∠ABC＝∠ACF，∠E+∠CBE＝∠ECF， ∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC，∠E＝∠ECF﹣∠CBE， ∵CE平分∠ACF，BE平分∠ABC， ∴∠ECF＝∠ACF，∠CBE＝∠ABC， ∴∠E＝∠ECF﹣∠CBE＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC）， ∴∠E＝∠A； （2）解：由（1）②可知： ∠A1＝∠A， ∠A2＝∠A1＝∠A， …， ∠A2022＝∠A， ∵∠A＝x°， ∴∠A2022＝， 故答案为：． 52．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝30°，∠C＝50°，可求得∠BAC＝100°，根据△ABC的角平分线的定义得到∠EAC＝∠BAC＝50°，而AD为高线，则∠ADC＝90°，而∠C＝50°，于是∠DAC＝40°，然后利用∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC计算即可． 【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， 而∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝50° 又∵AD为高线， ∴∠ADC＝90°， 而∠C＝50°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣40°＝10°． 53．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE＝∠G． （1）求证：AD∥EG； （2）设∠B＝x，∠G＝y，若x﹣y＝30°，∠ADC＝110°，求∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由角平分线得∠BAC＝2∠2，由∠3＝∠G＝∠4知∠BAC＝2∠4，即可得∠2＝∠4，从而得证； （2）由外角性质得∠ADC＝∠B+∠1＝110°，即x+y＝110°，结合已知条件解方程组即可得． 【解答】解：（1）如图， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠G，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠G， ∵∠BAC＝2∠3＝∠G+∠4， ∴2∠2＝∠4+∠4， ∴∠2＝∠4， ∴AD∥EG； （2）∵∠ADC＝∠B+∠1＝110°， ∴， 解得：， ∴∠B＝70° 54．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD． （1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数． （2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点E作ER∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得ER∥CD，再根据平行线的性质和已知∠DCF＝25°，∠E＝20°，即可求∠ABE的度数； （2）根据平行线的性质和∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，即可求∠ABE的度数； （3）根据（2）的条件，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，即可求∠PHQ的度数． 【解答】解：（1）如图1， 过点E作ER∥AB， ∵AB∥CD， ∴ER∥CD， ∵∠DCF＝25°，∠E＝20°， ∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°， ∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°， ∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°， ∴∠ABE＝∠BER＝30° 答：∠ABE的度数为30°． （2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL， ∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°， 设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α， ∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α， 设∠CEB＝β， 则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β， ∵CF平分∠ECD， ∴∠DCF＝∠FCE＝， ∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α， ∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝， ∴2×+180﹣β＝190， ∴α＝10， ∴∠ABE＝30°． 答：∠ABE的度数为30°． （3）如图3，过点P作PJ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PJ∥CD， ∵PK平分∠BPH， ∴∠KPH＝∠KPB＝x， ∵HN∥PK， ∴∠NHP＝x， 设∠MHN＝y， ∴∠MHP＝x+y， ∵HM平分∠DHP， ∴∠DHM＝∠MHP＝x+y， ∵∠DHQ＝2∠DHN， ∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y， ∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y， ∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y， ∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y， ∴∠PHQ＝30° 答：∠PHQ的度数为30°． 55．已知AB∥CD （1）如图，∠A＝40°，∠C＝78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数； （2）如果∠A＝α，∠P＝β，其它条件不变，则∠C＝　2β﹣α　． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和以及平行线、角平分线的性质即可求解； （2）根据外角等于不相邻的两个内角的和可以求解． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，DP是∠CDG的平分线， ∴∠CDA＝∠A＝40°，∠CDP＝∠PDA＝20°； 同理，∠PAB＝∠CBP＝39° 在△CDM中，∠DMG＝∠CDM+∠C＝78°+20°＝98°， 在△BPM中，根据三角形的外角的性质可以得到：∠P＝∠DMG﹣∠PBM＝98°﹣39°＝59°； （2）∵AB∥CD ∴∠ABP＝∠PBC＝∠C 在△CDM和△PBM中，根据三角形的外角的性质，即可得到：∠DMB＝∠C+α＝∠P+∠PBC 即：∠C+α＝β+∠C 则∠C＝2β﹣α． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$