第2章 实数章节自测综合-八年级数学上册精选易错题练习（北师大版）

一．选择题（共20小题） 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D．0.25 3．如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 4．下列四个关数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B．π C． D． 5．下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A．3＝2 B． C．＝4 D． 7．如图，在数值转换机中输入x＝4，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（　　） A．1 B． C． D． 8．下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 9．下列计算中，正确的是（　　） A．＝±2 B．＝﹣2 C．＝3 D．﹣＝5 10．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（　　） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．若a＜0，则化简的结果为（　　） A．1﹣2a B．﹣1 C．2a﹣1 D．1 13．下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 14．以下四个数中，无理数是（　　） A．﹣π B．﹣2 C．0 D． 15．估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 16．下列各式一定是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 17．下列实数中，不是无理数的是（　　） A．π B． C．0.121221222… D． 18．化简的值为（　　） A． B． C． D． 19．下列式子中表示“16的平方根是±4”的是（　　） A． B． C． D． 20．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 二．多选题（共5小题） （多选）21．若x为实数，在“（﹣1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x可能是（　　） A． B． C．3 D．2﹣ （多选）22．下列运算正确的是（　　） A．2a×3b＝6ab B．a3•a2＝a6 C． D．（﹣a3）2＝a6 （多选）23．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a+b＞0 B． C．a3＞b3 D．＜﹣1 （多选）24．下列各数中是无理数有（　　） A．1.01001000100001 B． C． D．﹣ （多选）25．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 三．填空题（共10小题） 26．化简：＝　 　． 27．已知，m为整数，则m可以是 　 　．（写出一个即可） 28．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　 　． 29．计算：＝　 　． 30．已知a是的整数部分，则a＝　 　． 31．计算：＝　 　． 32．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　． 33．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b+a|﹣2的结果是 　 　． 34．计算：＝　 　． 35．已知a＝+1，b＝﹣1，则+＝　 　． 四．解答题（共15小题） 36．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 37．如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数． 38．已知多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b （1）直接写出a，b，并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来； （2）数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|，设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|+|PB|＝13时，直接写出x的值　 　； （3）若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，AO＝OB，求点B的速度． 39．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答下列问题： （1）求出+2的整数部分和小数部分； （2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数． 40．已知a＝，b＝． （1）求ab及a2+b2的值； （2）求不超过a10的最大整数． 41．计算 （1）××； （2）× （3）（） （4）﹣14﹣． 42．已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2． 43．求下列各式中的x （1）4x2＝121 （2）（x+2）3＝125． 44．大正方形的周长比小正方形的周长长72厘米，它们的面积相差720平方厘米．求这两个正方形的边长． 45．观察例题：∵＜＜，即2＜＜3， ∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果的整数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值． 46．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ②表示的点与数　 　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　 　、点B表示的数是　 　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 47．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　 　，点A在数轴上表示的数是 　 　． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 48．已知a＝+1，b＝﹣1，求下列各式的值： （1）a2+2ab+b2； （2）a2﹣b2． 49．（1）计算； （2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值． 50．计算： （1）÷+2×﹣（2+）2 （2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+ 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数是分数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数是小数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各数是无理数的是（　　） A． B． C． D．0.25 【答案】B 【分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义逐一判断即可得答案． 【解答】解：和0.25是分数，属于有理数，是无理数，是有理数． 故选：B． 3．如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】先求出每个小正方体的体积，然后根据立方根的定义即可求出每个小正方体的棱长． 【解答】解：根据题意得每个小正方体的体积为27÷27＝1， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 4．下列四个关数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B．π C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、3.14是有理数，故此选项不符合题意； B、π是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、，是有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化成最简二次根式，再判断即可． 【解答】解：A、不能和合并，故本选项不合题意； B、不能和合并，故本选项不合题意； C、＝3，不能和合并，故本选项不合题意； D、，能和合并，故本选项符合题意； 故选：D． 6．下列运算正确的是（　　） A．3＝2 B． C．＝4 D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减法对C、D进行判断；根据二次根式的乘除法则对A、B进行判断即可． 【解答】解：A、3﹣＝2，原计算错误，不符合题意； B、与不能合并，原计算错误，不符合题意； C、÷＝＝2，原计算错误，不符合题意； D、×＝＝，正确，符合题意， 故选：D． 7．如图，在数值转换机中输入x＝4，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的步骤进行计算即可． 【解答】解：第一次输出的结果为：4×＝2； 第二次输出的结果为：2×＝2； 第三次输出的结果为：2×＝； 第四次输出的结果为：×＝1； 第五次输出的结果为：1×＝． 故选：B． 8．下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有π的数，逐一判断即可． 【解答】解：A．3.14是小数，属于有理数，不符合题意； B． 是整数，属于有理数，不符合题意； C． 是分数，属于有理数，不符合题意； D． 是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 故选：D． 9．下列计算中，正确的是（　　） A．＝±2 B．＝﹣2 C．＝3 D．﹣＝5 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：A．＝2，故此选项不合题意； B．＝2，故此选项不合题意；， C．＝3，故此选项，符合题意； D．﹣＝﹣5，故此选项不合题意． 故选：C． 10．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案． 【解答】解：A、3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误； B、6+2x≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误； C、2x﹣6≥0，解得x≥3，故此选项正确； D、x﹣3＞0，解得x＞3，故此选项错误； 故选：C． 11．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则，逐项判断即可． 【解答】解：与不能合并，故A错误，不符合题意； 2﹣＝，故B错误，不符合题意； ×＝，故C正确，符合题意； ÷＝＝2，故D错误，不符合题意； 故选：C． 12．若a＜0，则化简的结果为（　　） A．1﹣2a B．﹣1 C．2a﹣1 D．1 【答案】B 【分析】先根据二次根式和三次根式的性质进行计算，再去掉绝对值符号，最后合并即可． 【解答】解：∵a＜0， ∴+ ＝a﹣1+|a| ＝a﹣1﹣a ＝﹣1， 故选：B． 13．下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、＝10，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、＝|y|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 14．以下四个数中，无理数是（　　） A．﹣π B．﹣2 C．0 D． 【答案】A 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A．﹣π是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； B．﹣2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：A． 15．估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】先估算出的范围，从而可得答案． 【解答】解：∵9＜14＜16， ∴3＜＜4， ∴4＜+1＜5． 故选：C． 16．下列各式一定是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．＝2，被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．＝|a|，被开方数中含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 17．下列实数中，不是无理数的是（　　） A．π B． C．0.121221222… D． 【答案】B 【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【解答】解：π，0.121221222…，是无限不循环小数，它们是无理数； ＝2是整数，它不是无理数； 故选：B． 18．化简的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵（）2＝， ∴的算术平方根为， 故选：B． 19．下列式子中表示“16的平方根是±4”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义判断即可． 【解答】解：16的平方根是±4，可以表示为， 故选：B． 20．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 【答案】C 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置判断a+1，b﹣2的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可． 【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣2＜0， ∴原式＝|a+1|+|b﹣2| ＝a+1﹣b+2 ＝a﹣b+3． 故选：C． 二．多选题（共5小题） （多选）21．若x为实数，在“（﹣1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+”、“﹣”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x可能是（　　） A． B． C．3 D．2﹣ 【答案】ABD 【分析】利用二次根式的运算法则，逐个计算得结论． 【解答】解：∵当x＝﹣1时，﹣x＝﹣1﹣（+1）＝﹣2，故x可能是A； 当x＝时，﹣x＝﹣1﹣＝﹣1，故x可能是B； 当x＝2﹣时，+x＝﹣1+（2﹣）＝1，故x可能是D； 当x＝3时，+x＝﹣1+3＝4﹣1， ﹣x＝﹣1﹣3＝﹣2﹣1， ×x＝（﹣1）×3＝15﹣3， ÷x＝（﹣1）÷3＝，故x不可能是C． 故选：ABD． （多选）22．下列运算正确的是（　　） A．2a×3b＝6ab B．a3•a2＝a6 C． D．（﹣a3）2＝a6 【答案】AD 【分析】分别根据单项式乘单项式的法则、同底数幂的乘法法则及二次根式的性质、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、2a×3b＝6ab，正确，符合题意； B、a3•a2＝a5，原计算错误，不符合题意； C、是最简二次根式，不能化简，原计算错误，不符合题意； D、（﹣a3）2＝a6，正确，符合题意． 故选：AD． （多选）23．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a+b＞0 B． C．a3＞b3 D．＜﹣1 【答案】BD 【分析】先根据数轴分析出a与b的取值范围，再根据二次根式的性质、有理数的加法法则、有理数的除法的法则进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2， A、|a|＞|b|，则a+b＜0，故该项不正确，不符合题意； B、＝﹣a，＝b，﹣a＞b，故该项正确，符合题意； C、a3＜0，b3＞0，则a3＜b3，故该项不正确，不符合题意； D、＜﹣1，故该项正确，符合题意； 故选：BD． （多选）24．下列各数中是无理数有（　　） A．1.01001000100001 B． C． D．﹣ 【答案】BC 【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 【解答】解：1.01001000100001，是有限小数，属于有理数； ，是无理数； 是无理数； ﹣是分数，属于有理数； 故选：BC． （多选）25．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【解答】解：A、＝5，故与是同类二次根式，故A不符合题意． B、＝，故与是同类二次根式，故B不符合题意． C、＝|a|，＝|b|，故与不是同类二次根式，故C符合题意． D、＝2，＝3a，故与不是同类二次根式，故D符合题意． 故选：CD． 三．填空题（共10小题） 26．化简：＝　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的乘法 ×＝，化简即可得解． 【解答】解：×＝＝4． 故答案为：4． 27．已知，m为整数，则m可以是 　10（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【答案】10（答案不唯一）． 【分析】将3＜＜4化为＜＜，进而得到9＜m＜16，由m为整数，即可得出答案． 【解答】解：∵3＜＜4，即＜＜， ∴9＜m＜16，而m为整数， ∴m的值可以为10或11或12或13或14或15． 故答案为：10（答案不唯一）． 28．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝1， ∴AC＝＝， ∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M， AM＝AC＝， ∵A点表示﹣1， ∴M点表示的数为：﹣1， 故答案为：﹣1． 29．计算：＝　6　． 【答案】6． 【分析】首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ＝﹣1+5﹣（﹣2） ＝﹣1+5+2 ＝6． 故答案为：6． 30．已知a是的整数部分，则a＝　3　． 【答案】3． 【分析】先估算介于哪两个整数之间，然后求出其整数部分即可． 【解答】解：∵，即， ∴的整数部分a＝3， 故答案为：3． 31．计算：＝　﹣　． 【答案】﹣． 【分析】先计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解： ＝﹣÷ ＝﹣， 故答案为：﹣． 32．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　2　． 【答案】2． 【分析】先求出＝2，再根据同类二次根式的定义得出a+1＝3，再求出a即可． 【解答】解：＝2， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴a+1＝3， ∴a＝2． 故答案为：2． 33．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b+a|﹣2的结果是 　b﹣a　． 【答案】b﹣a． 【分析】观察数轴可知：a＞0，b＜0，|b|＞|a|，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：a＞0，b＜0，|b|＞|a|， ∴b+a＜0， ∴ ＝﹣b﹣a﹣2×（﹣b） ＝﹣b﹣a+2b ＝b﹣a， 故答案为：b﹣a． 34．计算：＝　﹣2　． 【答案】﹣2． 【分析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ＝﹣2﹣2+2 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 35．已知a＝+1，b＝﹣1，则+＝　2　． 【答案】2． 【分析】把分式通分计算，然后把a、b的值代入进行计算即可得解． 【解答】解：+ ＝， ∵a＝+1，b＝﹣1， ∴原式＝ ＝ ＝2． 故答案为：2． 四．解答题（共15小题） 36．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值； （2）利用（1）中所求，代入求出答案． 【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵c是的整数部分， ∴c＝3； （2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是±4． 37．如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数． 【答案】见试题解答内容 【分析】一个正数的平方根互为相反数，从而得到a+2+2a﹣11＝0，从而可求得a＝3，于是得到a+2＝5，从而可求得这个正数． 【解答】解：∵一个正数的平方根分别为a+1和a﹣3， ∴a+1+a﹣3＝0． 解得：a＝3． ∴a+2＝5． ∵52＝25， ∴这个正数是25． 38．已知多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b （1）直接写出a，b，并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来； （2）数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|，设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|+|PB|＝13时，直接写出x的值　6或﹣7　； （3）若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，AO＝OB，求点B的速度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据多项式中常数项及多项式的次数的定义即可求解； （2）根据|PA|+|PB|＝13列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为2v，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 【解答】解：（1）∵多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b， ∴a＝﹣4，b＝3， 点A、B在数轴上如图所示： （2）根据题意得 |x﹣（﹣4）|+|x﹣3|＝13， 点P在A点左边，﹣x﹣4﹣x+3＝13，解得x＝﹣7； 点P在A点右边，x+4+x﹣3＝13，解得x＝6． 故x的值为6或﹣7； （3）设B速度为v，则A的速度为2v，3秒后点，A点在数轴上表示的数为（﹣4+6v），B点在数轴上表示的数为3+3v， 当A还在原点O的左边时，由OA＝OB可得（4﹣6v）＝3+3v，解得v＝； 当A在原点O的右边时，由OA＝OB可得（6v﹣4）＝3+3v，v＝． 故点B的速度为或． 故答案为：6或﹣7． 39．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答下列问题： （1）求出+2的整数部分和小数部分； （2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先估算出的范围，求出+2的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出10+的范围，求出x、y的值，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵1＜＜2， ∴3＜+2＜4， ∴+2的整数部分是1+2＝3，+2的小数部分是﹣1； （2）∵2＜＜3， ∴12＜10+＜13， ∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12＝﹣2， 即x＝12，y＝﹣2， ∴x﹣y＝12﹣（﹣2）＝12﹣+2＝14﹣， 则x﹣y的相反数是﹣14． 40．已知a＝，b＝． （1）求ab及a2+b2的值； （2）求不超过a10的最大整数． 【答案】（1）ab＝﹣1，a2+b2＝3． （2）122． 【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可； （2）先求出a2，a4，再计算a8＝（a4）2，最后a10＝a8•a2，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵a＝，b＝， ∴ab＝＝＝﹣1， a+b＝＝1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3； （2）∵a2＝（）2＝， ∴a4＝（）2＝， ∴a8＝（a4）2＝（）2＝， ∴a10＝a8•a2＝•＝＝， ∵≈2.236， ∴a10＞＞122， 因此，不超过a10的最大整数为122． 41．计算 （1）××； （2）× （3）（） （4）﹣14﹣． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用根号外乘除，根号内乘除进行计算即可； （2）先算乘法，后算减法即可； （3）用括号里的每一项分别除以，再化简合并即可； （4）先算乘除，后化简合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式＝（1×1÷3×）＝×＝； （2）原式＝﹣＝6﹣7＝﹣1； （3）原式＝﹣＝2﹣＝； （4）原式＝﹣2+2＝﹣2+2＝2﹣． 42．已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先由a、b计算出a+b、a﹣b，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得； （2）将a﹣b代入a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2计算可得． 【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣， ∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ＝6× ＝12； （2）由（1）知a﹣b＝2， ∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 ＝（2）2 ＝8． 43．求下列各式中的x （1）4x2＝121 （2）（x+2）3＝125． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程整理后，开方即可求出x的值； （2）方程开立方即可求出x的值． 【解答】解：（1）4x2＝121 x＝； （2）（x+2）3＝125． x+2＝5， x＝3． 44．大正方形的周长比小正方形的周长长72厘米，它们的面积相差720平方厘米．求这两个正方形的边长． 【答案】29厘米，11厘米． 【分析】根据大正方形的周长比小正方形的周长长72厘米，可得大正方形的边长比小正方形的边长长72÷4＝18cm；等量关系为：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝720，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为（x+72÷4）＝（x+18）cm． （x+18）2﹣x2＝720． 36x＝396， 解得x＝11， ∴x+72÷4＝29． 答：大正方形的边长为29厘米，小正方形的边长为11cm． 45．观察例题：∵＜＜，即2＜＜3， ∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果的整数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先估算和的大小，再求出a、b的值，最后代入求出即可． 【解答】解：∵1，1， ∴a＝1，b＝﹣1， ∴a+b＝1+﹣1＝． 46．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　2　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合； ②表示的点与数　2﹣　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　﹣3.5　、点B表示的数是　5.5　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （2）求出﹣1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （3）分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可． 【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2， 故答案为2； （2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1， ①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3， ②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣， ③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得： ＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5， 故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5； （3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2． ②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2． 答：a的值为2或﹣2． 47．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　15　，点A在数轴上表示的数是 　﹣15　． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴上两点间距离，可求得点所对应的数； （2）根据题意，可表达出点M和点N对应数，进而表达OM和ON的长，根据OM＝2ON，建立等式，求解即可； （3）根据数轴上动点问题，图形动转化为点动，根据题意求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15； 点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15． 故答案为：15；﹣15． （2）∵点M是线段AD的中点， ∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12， 又∵EN＝EH， ∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝， 由题意可得，x秒时， 点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x， 点N在数轴上表示的数为：﹣3x， ∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|， ∵OM＝2ON， ∴|4x﹣12|＝2|3x﹣| ∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣）， 解得x＝或x＝． 故答案为：或． （3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒， 由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒， ∴t1＝＝2， ∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）； 当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒， ∴t2＝＝6， ∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）； ∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13． 48．已知a＝+1，b＝﹣1，求下列各式的值： （1）a2+2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解； （2）利用平方差公式因式分解； 再进一步代入求得数值即可． 【解答】解：（1）a2+2ab+b2 ＝（a+b）2 ＝（+1+﹣1）2 ＝12； （2）a2﹣b2． ＝（a+b）（a﹣b） ＝（+1+﹣1）[（+1）﹣（﹣1）] ＝2×2 ＝4． 49．（1）计算； （2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用立方根定义开立方即可求出x的值． 【解答】解：（1）原式＝5﹣3﹣6＝﹣4； （2）（2x﹣1）3＝﹣8， 开立方得：2x﹣1＝﹣2， 解得：x＝﹣． 50．计算： （1）÷+2×﹣（2+）2 （2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算． 【解答】解：（1）原式＝+2﹣（8+4+3） ＝4+2﹣11﹣4 ＝﹣7﹣2； （2）原式＝4﹣1×1﹣4+5 ＝4﹣1﹣4+5 ＝4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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