基础课03 等式性质与不等式性质 学案-2025年届高三数学一轮复习

基础课03 等式性质与不等式性质 考点考向 课标要求 真题印证 考频热度 核心素养 不等关系与不等式的性质 掌握 2019年全国Ⅱ卷T6 ★☆☆ 逻辑推理 数学运算 命题分析预测 从近几年高考的情况来看，等式与不等式的性质是高考常考内容，一般与其他知识结合考查.预计2025年高考命题情况变化不大，复习时以基础题为主 【基础知识·诊断】 一、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 二、等式的性质 性质 性质内容 对称性 a=b⇔b=a 传递性 a=b，b=c⇒①　a=c　  可加(减)性 a=b⇔a±c=b±c 可乘性 a=b⇒ac=bc 可除性 a=b，c≠0⇔= 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔②　b<a　；  a<b⇔③　b>a　  可逆 传递性 a>b，b>c⇒④　a>c　；  a<b，b<c⇒⑤　a<c　  同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒⑥　ac>bc　；  a>b，c<0⇒⑦　ac<bc　  c的 符号 同向可加性 a>b，c>d⇒⑧　a+c>b+d　  同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒⑨　ac>bd　  同向同正 同正可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 同正可开方性 a>b>0，n∈N*，n≥2⇒> 同正 1.倒数性质的四个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0，0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则： (1)<，>(b-m>0)； (2)>，<(b-m>0). 题组❶　走出误区 1.判一判.(对的打“√”，错的打“×”) (1)a>b⇒ac3>bc3. (　　) (2)a=b⇔ac=bc. (　　) (3)>1⇔a>b. (　　) (4)若a>b>0，m>0，则<. (　　) 2.(多选题)(易错题)设a<b<0，则下列不等式中正确的是(　　). A.> B.ac<bc C.|a|>-b D.> 【易错点】忽视字母的取值范围致误. 题组❷　走进教材 3.(人教A版必修①P43·T8改编)下列命题为假命题的是(　　). A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> 4.(人教A版必修①P42·T3(4)改编)设M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，则M与N的大小关系为　　　　.  题组❸　走向高考 5.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　　) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 【考点聚焦·突破】 一 比较两个数(式)的大小 1.已知x>y>1>z>0，a=，b=，c=，则(　　). A.a>c>b B.b>c且a>c C.b>c>a D.a>b且a>c 2.已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　). A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的关系随c而定 3.若a>b>1，P=aeb，Q=bea，则P，Q的大小关系是(　　). A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.不能确定 比较两个数(式)大小的三种方法 1.作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. 2.作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 3.构造函数法：①观察式子；②构造函数；③利用单调性比较大小；④得出结论. 二 不等式的基本性质 1.对于实数a，b，c，下列说法错误的是(　　). A.若a>b>c，a+b+c=0，则ab>ac B.若a>1，则-<-1 C.若a<b<0，则> D.若a>b，>，则ab<0 2.(多选题)(2024·南京统考)下列命题为真命题的是(　　). A.∀n∈N*，2n≥n2 B.“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件 C.若a>b>0，则a2>ab>b2 D.若a>b>0，c<d<0，则< 3.(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列说法正确的是(　　). A.若a>b>0，则< B.若a，b∈R，则3a2+b2≥2ab C.若a>b>0，c>0，则ac-bc>0 D.若a<b，则|a|<|b| 判断不等式成立的三种方法 1.利用不等式的性质逐个验证. 2.在选择题中，可利用特殊值排除错误选项. 3.利用函数的单调性.当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性进行判断. 三 不等式性质的综合应用 (2024·大庆校考)已知1≤a≤4，-1≤b≤2，则3a-b的取值范围是(　　). A.[-13，1] B.[-1，8] C.[-1，13] D.[1，13] 若将本例中的条件“1≤a≤4，-1≤b≤2”改为“-1≤a-b≤4，2≤a+2b≤3”，则3a-b的取值范围是　　　　.  若将本例中的条件“1≤a≤4，-1≤b≤2”改为“a，b>0，1≤lg(ab)≤2，3≤lg ≤4”，则lg(a4b2)的取值范围是　　　　.  利用不等式的性质求代数式的取值范围的两点注意 1.必须严格运用不等式的基本性质. 2.在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的方法是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 1.(多选题)(2024·嘉兴摸底)已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则(　　). A.3<x+y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<3 2.若α，β满足-<α≤β≤，则α-β的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 基础课03 等式性质与不等式性质 考点考向 课标要求 真题印证 考频热度 核心素养 不等关系与不等式的性质 掌握 2019年全国Ⅱ卷T6 ★☆☆ 逻辑推理 数学运算 命题分析预测 从近几年高考的情况来看，等式与不等式的性质是高考常考内容，一般与其他知识结合考查.预计2025年高考命题情况变化不大，复习时以基础题为主 【基础知识·诊断】 一、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 二、等式的性质 性质 性质内容 对称性 a=b⇔b=a 传递性 a=b，b=c⇒①　a=c　  可加(减)性 a=b⇔a±c=b±c 可乘性 a=b⇒ac=bc 可除性 a=b，c≠0⇔= 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔②　b<a　；  a<b⇔③　b>a　  可逆 传递性 a>b，b>c⇒④　a>c　；  a<b，b<c⇒⑤　a<c　  同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒⑥　ac>bc　；  a>b，c<0⇒⑦　ac<bc　  c的 符号 同向可加性 a>b，c>d⇒⑧　a+c>b+d　  同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒⑨　ac>bd　  同向同正 同正可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 同正可开方性 a>b>0，n∈N*，n≥2⇒> 同正 1.倒数性质的四个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0，0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则： (1)<，>(b-m>0)； (2)>，<(b-m>0). 题组❶　走出误区 1.判一判.(对的打“√”，错的打“×”) (1)a>b⇒ac3>bc3. (　　) (2)a=b⇔ac=bc. (　　) (3)>1⇔a>b. (　　) (4)若a>b>0，m>0，则<. (　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(多选题)(易错题)设a<b<0，则下列不等式中正确的是(　　). A.> B.ac<bc C.|a|>-b D.> 【易错点】忽视字母的取值范围致误. 答案　ACD 解析　因为a<b<0，所以>，故A正确； 当c<0时，ac>bc，故B错误；|a|=-a>-b，故C正确； 由-a>-b>0，可得>，故D正确.故选ACD. 题组❷　走进教材 3.(人教A版必修①P43·T8改编)下列命题为假命题的是(　　). A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> 答案　C 解析　显然A，B，D为真命题；对于C，若a=-2，b=-1，则a2>ab>b2，故C为假命题.故选C. 4.(人教A版必修①P42·T3(4)改编)设M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，则M与N的大小关系为　　　　.  答案　M>N 解析　依题意，M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0，故M>N. 题组❸　走向高考 5.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　　) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 答案　C 解析　取a=2，b=1，满足a>b，ln(a-b)=0，9=3a>3b=3，故A，B错误；取a=1，b=-2，满足a>b，1=|a|<|b|=2，故D错误；因为幂函数y=x3是增函数，且a>b，所以a3>b3，即a3-b3>0，故C正确.故选C. 【考点聚焦·突破】 一 比较两个数(式)的大小 1.已知x>y>1>z>0，a=，b=，c=，则(　　). A.a>c>b B.b>c且a>c C.b>c>a D.a>b且a>c 答案　D 解析　因为x>y>1>z>0，所以<<，x-y>0，x-z>0，y-z>0， 因为a-b=x+-y-=(x-y)+>0，所以a>b， 因为a-c=x+-z-=(x-z)+>0，所以a>c， 因为c-b=z+-y-=(z-y)+，符号不能确定，所以b，c的大小不能确定.故a>b且a>c.故选D. 2.已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　). A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的关系随c而定 答案　C 解析　由题意易知x，y>0，因为===<1，所以x<y.故选C. 3.若a>b>1，P=aeb，Q=bea，则P，Q的大小关系是(　　). A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.不能确定 答案　C 解析　==，令f(x)=，则f'(x)=，当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)=在(1，+∞)上单调递增，因为a>b>1，所以<，又>0，>0，所以=<1，所以P<Q.故选C. 比较两个数(式)大小的三种方法 1.作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. 2.作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 3.构造函数法：①观察式子；②构造函数；③利用单调性比较大小；④得出结论. 二 不等式的基本性质 1.对于实数a，b，c，下列说法错误的是(　　). A.若a>b>c，a+b+c=0，则ab>ac B.若a>1，则-<-1 C.若a<b<0，则> D.若a>b，>，则ab<0 答案　B 解析　当a>b>c，a+b+c=0时，必有a>0，c<0，由b>c得ab>ac，故A正确； 当a>1时，0<<1，则->-1，故B错误； 当a<b<0时，<，故C正确； 当a>b，>时，-=>0，由b-a<0，得ab<0，故D正确.故选B. 2.(多选题)(2024·南京统考)下列命题为真命题的是(　　). A.∀n∈N*，2n≥n2 B.“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件 C.若a>b>0，则a2>ab>b2 D.若a>b>0，c<d<0，则< 答案　CD 解析　对于A，当n=3时，23=8，32=9，不满足2n≥n2，故A为假命题； 对于B，当a>b，c=0时，ac2=bc2，不满足题意，故B为假命题； 对于C，因为a>b>0，在a>b两边同时乘以a可得a2>ab，在a>b两边同时乘以b，可得ab>b2，所以a2>ab>b2成立，故C为真命题； 对于D，因为c<d<0，所以-c>-d>0，又a>b>0，所以两式相加可得a-c>b-d>0，则0<<成立，故D为真命题. 故选CD. 3.(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列说法正确的是(　　). A.若a>b>0，则< B.若a，b∈R，则3a2+b2≥2ab C.若a>b>0，c>0，则ac-bc>0 D.若a<b，则|a|<|b| 答案　ABC 解析　对于A，因为a>b>0，所以-=<0，故A正确； 对于B，3a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，故B正确； 对于C，若a>b>0，c>0，则ac>bc，即ac-bc>0，故C正确； 对于D，当a=-2，b=1时，满足a<b，但|a|>|b|，故D不正确. 故选ABC. 判断不等式成立的三种方法 1.利用不等式的性质逐个验证. 2.在选择题中，可利用特殊值排除错误选项. 3.利用函数的单调性.当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性进行判断. 三 不等式性质的综合应用 (2024·大庆校考)已知1≤a≤4，-1≤b≤2，则3a-b的取值范围是(　　). A.[-13，1] B.[-1，8] C.[-1，13] D.[1，13] 答案　D 解析　因为1≤a≤4，-1≤b≤2，所以-2≤-b≤1，3≤3a≤12，所以1≤3a-b≤13.故选D. 若将本例中的条件“1≤a≤4，-1≤b≤2”改为“-1≤a-b≤4，2≤a+2b≤3”，则3a-b的取值范围是　　　　.  答案　-1， 解析　设3a-b=m(a-b)+n(a+2b)，即3a-b=(m+n)a-(m-2n)b， 所以解得即3a-b=(a-b)+(a+2b)， 因为-1≤a-b≤4，所以-≤(a-b)≤，　① 又因为2≤a+2b≤3，所以≤(a+2b)≤2，　② 由①+②，得-1≤3a-b≤，故3a-b的取值范围是-1，. 若将本例中的条件“1≤a≤4，-1≤b≤2”改为“a，b>0，1≤lg(ab)≤2，3≤lg ≤4”，则lg(a4b2)的取值范围是　　　　.  答案　[6，10] 解析　由题易得，1≤lg a+lg b≤2，3≤lg a-lg b≤4， 设lg(a4b2)=4lg a+2lg b=m(lg a+lg b)+n(lg a-lg b)， 即lg(a4b2)=(m+n)lg a+(m-n)lg b，所以解得即lg(a4b2)=3(lg a+lg b)+(lg a-lg b)，由1≤lg a+lg b≤2，3≤lg a-lg b≤4，得6≤lg(a4b2)≤10，故lg(a4b2)的取值范围是[6，10]. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的两点注意 1.必须严格运用不等式的基本性质. 2.在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的方法是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 1.(多选题)(2024·嘉兴摸底)已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则(　　). A.3<x+y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<3 答案　ACD 解析　实数x，y满足1<x<6，2<y<3， 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，得3<x+y<9，2<xy<18，故A，C正确； 由-3<-y<-2，得-2<x-y<4，故B错误； 由<<，得<<3，故D正确.故选ACD. 2.若α，β满足-<α≤β≤，则α-β的取值范围是　　　　.  答案　(-π，0] 解析　因为-<α≤β≤，所以-<α≤，-≤-β<，则-π<α-β<π，又α-β≤0，所以-π<α-β≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $$