2.1等式性质与不等式性质（导学案）-2024-2025学年高一数学同步教学一课到位（人教A版2019必修第一册）

2.1《等式性质与不等式性质》导学案（原卷版） （ 日期：2024年9月 4课时 第3周 ） 班级： 姓名： 分数： . 一.学习目标 1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）; 2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）； 3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）. 4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）. 二、学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系 1.不等式的定义是什么？ 用不等号连接表示 关系的式子就叫做不等式. 例如 等. 2.不等式的解集是什么？ 能使不等式 关系成立的 的值叫做不等式的解， 组成的集合就叫做不等式的解集. 例如：, 解得 ， 故原不等式的解集为 ，将其表示在数轴上如下图所示： 3.问题探究：用不等式表示不等关系 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1） 某路段限速 ； 注：高中不等式的形式可能是三边及其以上 （2） 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于； 注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示. （3） 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系. （4） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （二）探究新知2——实数的大小比较 1.利用数轴法比较两数的大小 (1)实数与数轴上的点是 对应的． (2)数轴法比较大小 由思考及探究可得如下结论： 数轴上的任意两点中， ①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数 ； ②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数 ； ③当两点重合时，这两点对应的数 . 2.利用作差法比较两个实数的大小 作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法. 即：当时 ； ； . 3.利用作商法比较两个正数的大小 作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是 ，这种比较大小的方法称为作商比较法. 即：当时 ； ； . （三）探究新知2——不等式的性质（互学） 1.性质1：加法法则（可加性） 不等式两边同时加上（或减去）同一个 ，不等号的方向 . 即： 如果 , 那么 . 简称为：“ ”. 求证：如果 , 那么 证明： 你们还能求证：如果 , 那么成立吗？ 2.性质2：乘法法则（可乘性） （1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个 ，不等号的方向 . ① 如果 那么 或 简称为：“ ”. 求证： 如果那么 . 证明： 你们还能证明“如果 那么”吗？ （2）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个 ，不等号的方向 . ②如果 那么那么 或 简称为：“ ”. 求证： 如果,那么 证明： 你们还能证明“如果 那么”吗？ 3.性质3（传递性） 如果那么 . 证明： 4.性质4（对称性） (1) 如果 , 那么 ； (2) 如果, 那么 . 即 ： . 5.性质5（可移性） . 从左向右： ； 从左向右： ； 6.性质6（同向可加性） 如果 那么 ； 证明： 7.性质7（同向同正可乘性） 那么 ； 证明 ： 8.性质8（同向同正可乘方性） 如果那么 ； 9.性质9（同正可开方性） 如果 那么 ； 10.性质10（同号可倒性） 如果且 ,那么 ； 3、 小组讨论、合作交流（互学） 例1 比较与 的大小. 提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小 例2 比较与的大小． 提示：利用作差法比较大小 例3.设均为实数，试比较与的大小. 例4已知 , 证明 . 例5.已知 , 求证. 4、 达标检测（迁移变通、检测实践） 1.某市原来居民用电价为元，换装分时电表后，峰时段早上八点到晚上九点的电价元，谷时段晚上九点到次日早上八点的电价为元对于一个平均每月用电量为的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为(    ) A. B. C. D. 2.有两杯浓度不同的糖水，一杯较浓糖的质量与糖水质量的比为，、一杯较淡糖的质量与糖水质量的比为，现将这两杯糖水混合，所得糖水的浓度一定比浓的淡、比淡的浓，试根据此事实写一个不等式：          ． 3.若，则           填“”“”“” 4.配制，两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂种药需甲料克，乙料克；配一剂种药需甲料克，乙料克．今有甲料克，乙料克，若，两种药至少各配一剂，设，两种药分别配，剂，请写出，所满足的不等关系． 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系． 5.已知且，比较与的大小． 五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 六、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1《等式性质与不等式性质》导学案（解析版） （ 日期：2024年9月 4课时 第3周 ） 班级： 姓名： 分数： . 一.学习目标 1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）; 2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）； 3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）. 4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）. 二、学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系 1.不等式的定义是什么？ 用不等号连接表示不等关系的式子就叫做不等式. 例如 等. 2.不等式的解集是什么？ 能使不等式不等关系成立的未知数的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集. 例如：, 解得 故原不等式的解集为，将其表示在数轴上如下图所示： 3.问题探究：用不等式表示不等关系 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1） 某路段限速 ； 解：设该路段行驶的汽车速度为， 则“限速”可用不等式表示为 注：高中不等式的形式可能是三边及其以上 （2） 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于； 解：由题意可将题中不等关系表示为 注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示. （3） 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解：由题意可将题中不等关系表示为 注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系. （4） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 解：设是直线外任意一点， 过点 作 , 垂足为, 是直线上不同于的任意一点， 则 （二）探究新知2——实数的大小比较 1.利用数轴法比较两数的大小 (1)实数与数轴上的点是一一对应的． (2)数轴法比较大小 由思考及探究可得如下结论： 数轴上的任意两点中， ①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大； ②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小； ③当两点重合时，这两点对应的数相等. 2.利用作差法比较两个实数的大小 作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法. 即：当时 ； ； . 3.利用作商法比较两个正数的大小 作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法. 即：当时 （三）探究新知2——不等式的性质（互学） 1.性质1：加法法则（可加性） 不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变. 即： 如果 , 那么. 简称为：“加减同数不变号”. 求证：如果 , 那么 证明：∵ 已知 , ∴ 又∵ ∴ 成立 你们还能求证：如果 , 那么成立吗？ 2.性质2：乘法法则（可乘性） （1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. ① 如果 那么或 简称为：“乘除正数不变号” 求证： 如果那么 . 证明：∵ 已知 ∴ 又∵ ∴ 成立 你们还能证明“如果 那么”吗？ （2）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. ②如果 那么或 . 简称为：“乘除负数要变号” 求证： 如果,那么 证明：∵ 已知 ∴ 又∵ ∴ 成立 你们还能证明“如果 那么”吗？ 3.性质3（传递性） 如果那么 ； 证明：∵ 已知 ∴ 又∵ ∴ 成立 4. 性质4（对称性） (1) 如果 , 那么 ； (2) 如果, 那么 . 即 ：. 5.性质5（可移性） ； 从左向右：移负为正 从左向右：移正为负 6.性质6（同向可加性） 如果 那么； 证明：∵ 已知 ∴ （可加性） ∴ 成立 （传递性） 7.性质7（同向同正可乘性） （3）证明 ∵ ∴（可乘性：乘除正数不变号） 又∵ ∴ （可乘性：乘除正数不变号） 故 （传递性） 8.性质8（同向同正可乘方性） 如果; 9.性质9（同正可开方性） 如果 那么 10.性质10（同号可倒性） 如果且 , 那么 ; 3、 小组讨论、合作交流（互学） 例1 比较与 的大小. 提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小 解法一（作差法）： ∵ ∴ 解法二（作商法）： ∵ 而 ∴ 例2 比较与的大小． 提示：利用作差法比较大小 解（作差法）： ∵ ∴ 例3.设均为实数，试比较与的大小. 解： ∵ ∴ (当且仅当时等号成立) 例4已知 , 证明 . 解（作差法）： ∵ 已知 ∴ 又 ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 综上所述， 成立 例5.已知 , 求证. 证明：∵ 已知 ∴ （同号可倒性） 又∵已知 ∴ （可乘性：乘除负数要变号） 4、 达标检测（迁移变通、检测实践） 1.某市原来居民用电价为元，换装分时电表后，峰时段早上八点到晚上九点的电价元，谷时段晚上九点到次日早上八点的电价为元对于一个平均每月用电量为的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查函数模型的应用，属于基础题． 根据题意列出相关不等式求解即可得到答案． 【解答】 解：设每月峰时段的平均用电量为，则谷时段的用电量为， 根据题意得： ， 解得， 所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为． 故选C． 2.有两杯浓度不同的糖水，一杯较浓糖的质量与糖水质量的比为，、一杯较淡糖的质量与糖水质量的比为，现将这两杯糖水混合，所得糖水的浓度一定比浓的淡、比淡的浓，试根据此事实写一个不等式：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式与比较大小． 写出两杯糖水混合后，糖水浓度为，然后作差进行比较即可写出不等式． 【解答】 解：由已知，将两杯糖水混合后，糖水浓度为，， 因为，，，所以， 故，同理可得， 所以此事实不等式为，  故答案为． 3.若，则           填“”“”“” 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查不等式性质的应用，属于中档题． 利用作差法，进行变形，写成乘积或平方的形式即可判断大小． 【解答】 解：， ，，， ， ， ， 又， ． 故答案为． 4.配制，两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂种药需甲料克，乙料克；配一剂种药需甲料克，乙料克．今有甲料克，乙料克，若，两种药至少各配一剂，设，两种药分别配，剂，请写出，所满足的不等关系． 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】解：根据题意可得； 由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为， 所以， 这时菜园的另一条边长为， 因此菜园面积， 依题意有， 即， 故该题中的不等关系可用不等式表示为： ．  【解析】本题考查二次函数模型的实际应用，不等关系的应用，属于中档题． 根据题意，，两种药分别配，剂，即可写出，所满足的不等关系； 由于矩形菜园靠墙的一边长为，得到，再由另一条边长为，得到菜园面积，得到，即可求出该题中的不等关系． 5.已知且，比较与的大小． 【答案】解： 当或时， ，此时； 当时，， ，此时； 当时，， ，此时； 当时，， ，此时； 当时，， ，此时； 综上所述：当或时，； 当或时，； 当或时，．  【解析】本题考查的是作差法比较大小，考查了分类讨论思想，属于较难题． 由题意，然后分、、、、五种情况讨论即可得出答案． 五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.了解与认识了不等式的定义与解集的概念（数学抽象）; 2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）； 3.牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）. 4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）. 六、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$