2.1等式性质与不等式性质（2课时）（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步教学一课到位（人教A版2019必修第一册）

人教A版必修第一册 2.1《等式性质与不等式性质》 （ 2课时 ） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 教学目标 学习目标：1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）; 2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）； 3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）. 4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）. 教学重点：运用不等式表示实际问题中的不等关系，用作差法、作商法比较两个实数的大小；不等式的十条基本性质及其应用. 教学难点：用作差法、作商法比较两个实数的大小.不等式性质的运用. 1、情景：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 情景问题1 01 2、问题 各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？ 那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 情景问题1 01 复习旧知 01 1.不等式的定义是什么？ 用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式. 例如 2x-5 > -3 , 6 < 9 等. 复习旧知 01 2.不等式的解集是什么？ 能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集. 例如：2x-5>-3, 解得 x>1 故原不等式的解集为 { x ∣x＞1 }，将其表示在数轴上如下图所示： 复习旧知 01 3.问题探究：用不等式表示不等关系 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量 应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 复习旧知 01 3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系 （1）某路段限速； 解：设该路段行驶的汽车速度为， 则“限速40 ”可用不等式表示为 注：高中不等式的形式可能是三边及其以上 复习旧知 01 3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系 解：由题意可将题中不等关系表示为 （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量 应不少于2.3%； 注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示. 复习旧知 01 3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系 解：由题意可将题中不等关系表示为 （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系. 复习旧知 01 3.问题探究：用不等式（组）表示不等关系 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 解：设 C 是直线 AB 外任意一点， 过点 C 作 垂足为 D, E 是直线 AB 上不同于 D 的任意一点， 则 情景问题2 1、问题：如下图所示：两个周长相等的矩形，它们的面积相等吗？ 答：它们的面积不相等. S正方形 = 边长 x 边长 = 3 x 3 = 9cm2 S长方形 = 长 x 宽 = 4 x 2 = 8 cm2 01 情景问题2 问 题 相信大家经过对这一方法的学习，将会为后面学习不等式的新知识打下坚实的基础. 既然两个矩形的面积不相等，那么我们应该用什么方法才能严密性的判断9cm2与8cm2的大小呢? 01 (2)数轴法比较大小：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等. 点 A 表示实数 3，点 B 表示实数－2 ,点 A 在点 B 右边，那么 3 ＞-2 ． x 0 1 2 3 －1 －2 4 5 －3 －4 A B P (1)实数与数轴上的点是一一对应的． 当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点 A、点 B 对应的实数的大小． 探究新知1——实数的大小比较 1、利用数轴法比较两数的大小 01 探究新知1——实数的大小比较 2、利用作差法比较两个实数的大小 探究1：比较实数3与-2的大小 解法一： ∵3 -（- 2）=3+2=5＞0 ∴3＞- 2 解法二： ∵（- 2）- 3= -5＜0 ∴ - 2＜3 01 探究新知——实数的大小比较 2、利用作差法比较两个实数的大小 探究2：比较实数 3 与 3 的大小 解：∵3 -3=0 ∴3=3 作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法. 即：当 时 01 探究新知1——实数的大小比较 3、利用作商法比较两个正数的大小 探究3：比较正数 3 与 5 的大小 解法一： ∵ ∴ 3＜5 解法二： ∵ ∴ 5＞3 01 探究新知1——实数的大小比较 探究4：比较正数 3 与 3 的大小 解：∵ ∴3 = 3 作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法. 即：当 01 3、利用作商法比较两个正数的大小 探究新知1——实数的大小比较 小 结 方法一：数轴法（优点是形象生动） 方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小） 当 时 01 探究新知1——实数的大小比较 小 结 方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小） 当 01 典型例题 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 小组合作、讨论交流1 例2 比较与的大小． 例1 比较 与 的大小. 提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小 提示：利用作差法比较大小 01 成果展示1 解法一（作差法）： 例1 比较 与 的大小. ∵ ∴ 注：作差法适合一切实数比较大小 01 解法二（作商法）： 例1 比较 与 的大小. ∵ 而 ∴ 注：作商法只适合两个正数比较大小 成果展示1 01 成果展示1 解（作差法）： ∵ - = 2 ＞0 ∴ 例2 比较与的大小． 01 提升演练 1.设均为实数，试比较与的大小. 解： ∵ ∴ (当且仅当时等号成立) 01 提升演练 2、已知证明 解（作差法）： ∵ 已知，∴ 又 ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 综上所述， 成立 01 1.比较下列各组实数的大小 （1）与 （2）与 （3）与0.83 2.若a>b,比较2a-1与 2b-1的大小。 3.比较x2-1与2x2+3的大小 达标检测 课堂演练 ＞ ＜ ＜ ＞ ＜ 01 a＞b a＋c＞b＋c b a 如果a＞b，那么 ac＞bc成立吗？ 02 情景问题2 请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？ 思考 c c 02 情景问题2 2、探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6 ＞4 6 - 2 4 - 2 ＞ 探究新知2——性质1（加法法则） 3、性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变. 即： 如果 a > b , 那么 a±c > b±c 简称为：“加减同数不变号” 02 探究新知2——性质1（加法法则） 4、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 求证：如果 a > b , 那么 a+c > b+c 证明：∵ 已知 a > b , ∴ a - b > 0 又∵（a+c）- (b+c) = a + c - b - c = a - b >0 ∴ a + c > b + c 成立 你们还能求证：如果 a > b , 那么 a-c > b-c 成立吗？ 02 a＞b 2a＞2b 情景问题3 请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？ 思考 a b a b 02 情景问题3 2、探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6 ＞4 ＞ 02 探究新知2——性质2（乘法法则） 3、性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 简称为：“乘除正数不变号” 02 探究新知2——性质2（乘法法则） 4、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 证明：∵ 已知 a > b , c＞0，∴ a - b > 0 又∵ac - bc = c ( a - b ) >0 ∴ ac > bc 成立 求证： 如果 a > b , c＞0,那么 ac > bc 02 情景问题4 5、探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6 ＞4 ＜ 6×(-2) 4×(-2) 02 情景问题4 6、探究4：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6 ＞4 ＜ 02 探究新知2——性质2（乘法法则） 7、性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 简称为：“乘除负数要变号” 02 探究新知2——性质2（乘法法则） 8、证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 证明：∵ 已知 a > b , c＜0，∴ a - b > 0 又∵ac - bc = c ( a - b ) ＜0 ∴ ac ＜ bc 成立 求证： 如果 a > b , c＜0,那么 ac ＜ bc 02 a＞b a＞c b a b＞c 情景问题5 请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？ b c a c 02 探究新知2——性质3（传递性） 2、性质3 （传递性） 如果 a ＞ b , b ＞ c , 那么 a ＞ c 证明：∵ 已知 a > b , b＞c，∴ a - b > 0, b - c ＞0 又∵a - c = a - b + b - c = ( a - b ) + ( b - c ) ＞0 ∴ a ＞ c 成立 我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 02 探究新知2——性质3（传递性） 2、性质3 （传递性） 如果 , 那么 02 探究新知2——性质4（对称性） 2、性质4 （对称性） (1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a (2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b 即 02 情景问题7 1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6+2＞4 ＞ 6 4 - 2 02 探究新知3——性质3（传递性） 2、性质5 （可移性） 从左向右：移正为负 从左向右：移负为正 思考：你们能利用可加性证明可移性“ ”成立吗？ 探究新知2——不等式的可移性（自学） 02 1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6＞4 ＞ 0＞-5 6+0 4+(-5) 探究新知2——不等式的同向可加性（互学） 02 探究新知2——（同向可加性） 2、性质6（同向可加性） 如果 a＞b , c＞d ,那么 a+c ＞b+d 证明：∵ 已知 a > b , c＞d， ∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性） ∴ a+c ＞b+d 成立 （传递性） 我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 02 探究新知2——（同向可加性） 解：不成立，反例为 3、思考：如果 a＞b , c＞d ,是否有“a-c＞b-d”成立呢？ 6＞4 0＞-5 但是 6-0 4-(-5) ＜ 02 情景问题9 1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 6＞4＞0 ＞ 3＞1＞0 6×3 4×1 02 2、性质7（同向同正可乘性） 如果 那么 证明 : ∵ a >b , c >0, ∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号） 又∵ c>d, b>0 , ∴ bc > bd（可乘性：乘除正数不变号） 故 ac > bd（传递性） 02 探究新知2——（同向同正可乘性） 情景问题10 1、探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 3＞2＞0 ＞ 02 探究新知2——性质8（同向同正可乘方性） 2、性质8（同向同正可乘方性） 如果 , 那么 02 情景问题11 1、探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 16＞9＞0 ＞ 02 探究新知2——性质9（同正可开方性） 2、性质9（同正可开方性） 如果 , 那么 02 情景问题12 1、探究1：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ 5＞3＞0 ＜ 02 10 情景问题12 2、探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ -3＜-2＜0 ＞ 探究新知2——性质10（同号可倒性） 3、性质10（同号可倒性） 如果 , 那么 02 1、性质1（可加性） 如果 a > b , 那么 a±c > b±c 2、性质2（可乘性） ① 如果 a > b，c＞0, 那么 ac > bc 或 ②如果 a > b，c＜0, 那么 ac ＜ bc 或 3、性质3 （传递性) 如果 a ＞ b , b ＞ c , 那么 a ＞ c 4、性质4（对称性） 5、性质5 （可移性） 6、性质6（同向可加性） 如果 a＞b , c＞d ,那么 a+c ＞b+d 7、性质7（同向同正可乘性） 如果 那么 8、性质8（同向同正可乘方性） 如果 , 那么 9、性质9（同正可开方性） 如果 , 那么 10、性质10（同号可倒性） 如果 , 那么 典型例题 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 小组合作、讨论交流2 02 例4、已知 求证 例4、已知 求证 证明：∵ 已知 ∴ （同号可倒性） 又∵已知 ∴ （可乘性：乘除负数要变号） 成果展示2 02 达标检测 练习2.1.2 1.已知a>b，用符号“>”或“<”填空 （1）a+1 b+1 (2)-5a -5b (3)3a+3 3b+2 2.判断下列结论是否正确，并说明理由 （1）如果a<b且b<c，那么a<c； （2）如果a>b，那么a2>b2 （3）若a>b且c<d,则a+c>b+d. > ＜ > ✔ ✘ ✔ 02 课堂小结 今天我们学习了哪些内容？ 1、了解与认识了不等式的定义与解集的概念; 2、能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系； 3、牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立. 4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题； 03 家庭作业 1、完成课本第40页练习1、2小题（做在作业本上） 2、完成《课时规范训练》第10、11页题型； 04 $$