2.1等式性质与不等式性质（教学设计）（2课时）-2024-2025学年高一数学同步教学一课到位（人教A版2019必修第一册）

2.1《等式性质与不等式性质》教学设计 （ 日期：2024年9月 4课时 第3周 ） 一.教学目标 1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）; 2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）； 3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）. 4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）. 二.教学过程 (一)情景问题1（导学） 1.情景 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等.类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示. 2.问题 各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？ 那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 【设计意图】通过情景问题导入，自然引申出本节课的教学重点——高中不等式的运用及性质. （二）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系（互学） 1.不等式的定义是什么？ 用不等号连接表示不等关系的式子就叫做不等式. 例如 等. 2.不等式的解集是什么？ 能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集. 例如：, 解得 故原不等式的解集为，将其表示在数轴上如下图所示： 3.问题探究：用不等式表示不等关系 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1） 某路段限速 ； 解：设该路段行驶的汽车速度为， 则“限速”可用不等式表示为 注：高中不等式的形式可能是三边及其以上 （2） 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于； 解：由题意可将题中不等关系表示为 注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示. （3） 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解：由题意可将题中不等关系表示为 注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系. （4） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 解：设是直线外任意一点， 过点 作 , 垂足为, 是直线上不同于的任意一点， 则 【设计意图】通过复习旧知与用不等式表示实际问题中的不等关系，既为学生学习新知识做好提前铺垫，同时也让学生初步感受高中不等式知识与初中不等式知识的差异性. （三）探究新知2——实数的大小比较 1.利用数轴法比较两数的大小 (1)实数与数轴上的点是一一对应的． 点表示实数 3，点表示实数－2 ,点在点右边，那么． (2)思考：当点在不同的位置时，分别比较点对应的实数与点、点对应的实数的大小． (3)数轴法比较大小 由思考及探究可得如下结论： 数轴上的任意两点中， ①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大； ②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小； ③当两点重合时，这两点对应的数相等. 2.利用作差法比较两个实数的大小 （1）探究1：比较实数3与-2的大小； 解法一： ∵ ∴ 解法二： ∵ ∴ （2）探究2：比较实数 3 与 3 的大小 解：∵ ∴ （3）利用作差法比较两个实数的大小 作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法. 即：当时 3.利用作商法比较两个正数的大小 （1）探究3：比较正数 3 与 5 的大小 解法一： ∵ ∴ 解法二： ∵ ∴ （2）探究4：比较正数 3 与 3 的大小 解：∵ ∴ （3）利用作商法比较两个正数的大小 作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法. 即：当时 3.小结 （1）方法一：数轴法（优点是形象生动） （2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小） 即：当时 （3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小） 即：当时 【设计意图】通过探究实例，自然引申出实数的大小比较方法——数轴法、作差法与作商法，这样可让抽象的数学知识变得具体形象、简单易知，有效地培养了学生的数学抽象核心素养. （三）小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 比较与 的大小. 提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小 例2 比较与的大小． 提示：利用作差法比较大小 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了实数的大小比较方法. （四）成果展示1(迁移变通、检测实践) 例1: 解法一（作差法）： ∵ ∴ 解法二（作商法）： ∵ 而 ∴ 例2: 解（作差法）： ∵ ∴ 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握实数的大小比较方法，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养. （5） 提升演练1（迁移变通、检测实践） 例3.设均为实数，试比较与的大小. 解： ∵ ∴ (当且仅当时等号成立) 例4已知 , 证明 . 解（作差法）： ∵ 已知 ∴ 又 ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 综上所述， 成立 【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地掌握实数的大小比较方法，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念. （六）探究新知2——不等式的性质（互学） 1.性质1：加法法则（可加性） （1）情景问题2 请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？ （2） 思考：如果，那么 成立吗？ （3） （3）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （4）性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变. 即： 如果 , 那么 简称为：“加减同数不变号” （5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 求证：如果 , 那么 证明：∵ 已知 , ∴ 又∵ ∴ 成立 你们还能求证：如果 , 那么成立吗？ 2.性质2：乘法法则（可乘性） （1）情景问题3 请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？ （2）思考 如果 那么成立吗？ （3）探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （4）性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. ① 如果 那么或 简称为：“乘除正数不变号” （5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则①吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 求证： 如果那么 . 证明：∵ 已知 ∴ 又∵ ∴ 成立 你们还能证明“如果 那么”吗？ （6）探究4 探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （7）探究5：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （8）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. ②如果 那么或 . 简称为：“乘除负数要变号” （9）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则②吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 求证： 如果,那么 证明：∵ 已知 ∴ 又∵ ∴ 成立 你们还能证明“如果 那么”吗？ 3.性质3（传递性） （1）情景问题4 请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？ （2）性质3 （传递性) 如果那么 ； （3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 证明：∵ 已知 ∴ 又∵ ∴ 成立 4. 性质4（对称性） (1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a (2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b 即 ： 5.性质5（可移性） （1）探究6：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （2）性质5 （可移性） ； 从左向右：移负为正 从左向右：移正为负 （3） 思考：你们能利用可加性证明可移性“ ”成立吗？ 6.性质6（同向可加性） （1）探究7：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （2）性质6（同向可加性） 如果 那么； （3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ 证明：∵ 已知 ∴ （可加性） ∴ 成立 （传递性） （4）思考：如果 ,是否有“”成立呢？ 解：不成立，反例为 7.性质7（同向同正可乘性） （1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （2）性质7（同向同正可乘性） （3）证明 ∵ ∴（可乘性：乘除正数不变号） 又∵ ∴ （可乘性：乘除正数不变号） 故 （传递性） 8.性质8（同向同正可乘方性） （1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （2）性质8（同向同正可乘方性） 如果; 9.性质9（同正可开方性） （1）探究：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （2）性质9（同正可开方性） 如果 那么 10.性质10（同号可倒性） （1）探究1：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （2）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？ （3）性质10（同号可倒性） 如果且 , 那么 ; 11.小结：不等式的10条性质 （1）性质1（可加性） 如果 , 那么 ； （2）性质2（可乘性） ① 如果 那么或 ②如果 那么或 . （3）性质3 （传递性) 如果那么 ； （4）性质4（对称性） ； （5）性质5 （可移性） ； （6）性质6（同向可加性） 如果 那么； （7）性质7（同向同正可乘性）如果那么 （8）性质8（同向同正可乘方性）如果; （9）性质9（同正可开方性）如果 那么 （10）性质10（同号可倒性）如果且 , 那么 ; 【设计意图】通过情景问题探究与严密证明，让学生经历感性认识到理性认识，从而深刻掌握不等式的10条性质，有效地培养学生的数学抽象核心素养. （七）小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例4.已知 , 求证. 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了不等式的10条性质. （八）成果展示2(迁移变通、检测实践) 证明：∵ 已知 ∴ （同号可倒性） 又∵已知 ∴ （可乘性：乘除负数要变号） 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握不等式的10条性质，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养. 四、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.了解与认识了不等式的定义与解集的概念（数学抽象）; 2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）； 3.牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）. 4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）. 五、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$