第二十二章二次函数综合练习题2023-2024学年人教版数学九年级上册

暑假预习第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 知识点1 二次函数的概念 1.下列函数为二次函数的是( ) A.y=ax²+bx+c C.y=x(2x—l) D.y=(x+4)²—x² 2.若y= (m-2)x²-x +1 是二次函数，则m 的取值范围是( ) A.m≠0 B.m>2 C.m<2 D.m≠2 3.若y=(m—2)xm²-2是关于x 的二次函数，则m 的值为 4.已知二次函数y=—3x²—5x+1,则二次项系数为 ,一次项系数为 5.二次函数y= (x—1)(x-2) 的一次项系数为 6.二次函数y=x²+bx+3中，当x =3 时 ，y=0, 则 b 的值为 7.已知二次函数y=x²—5x的值为0时，x 的值是 8.判断函数y=(x+3)(x-2)+1 是否为二次函数?若是二次函数，写出二次项系数、 一次项系 数、常数项. 知识点2 列二次函数的关系式 9.矩形的周长为8,则该矩形的面积y 与矩形的宽x 之间的函数关系式为 10.等腰直角三角形斜边为x, 面积为y, 则 y 与 x 的函数关系式为 11.某厂今年一月份新产品的研发资金为50万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率 都 是x, 则该厂今年三月份新产品的研发资金y(万元)关于x 的函数关系式为 12.等边三角形的边长为4,若边长增加x, 则面积增加y, 求 y 关 于x 的函数关系式. 13.已知函数y=(m²+m)x²+mx+ √2, 当 时，它是二次函数；当 时，它是一次函数. 14.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x) 件，设这种 商品的总利润为v 元，则y 与x 之间的函数关系式为 (化成一般式). 15.如图，有总长为24 m 的篱笆， 一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m) 围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x(m), 面积为y(m²). (1)求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围； (2)如果要围成面积为45 m²的花圃，AB的长度是多少? 16.如图，在△ABC 中，∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合),动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速 度移动(不与点C 重合).如果点P,Q 分别从点A,B 同时出发，设运动的时间为x s,四边形 APQC 的面积为y mm². (1)求y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当四边形APQC的面积等于112 mm²时，求x 的值； (3)四边形APQC 的面积能否等于172 mm²? 若能，求出运动的时间；若不能，说明理由， 二次函数y=ax² 的图象和性质 知识点 1 二次函数y=ax²的图象与性质 1.二次函数 y=2x² 图象的顶点坐标是 2.二次函数y=(a+1)x² 的图象如图所示，则a 的取值范围为 3.二次函数y=5x² 的图象的顶点是 ,开口 ,对称轴是 ;当x 时 ，y 随 x 的增大而增大；当x 时 ，y 随 x 的增 大而减小，顶点是最 点. 第 2 题 图 4.二次函数 的图象的顶点是 ,开口 ,对称轴是 ;当x 时 ，y 随x 的增大而减小；当x 时 ，y 随 x 的增大而增大，顶点是最 点 . 5.如图，在同一平面直角坐标系中作出①y₁=3x²,② ,③y₃=x² 的 图象，则从内到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号). 6.已知抛物线y=ax² 经过点(-2,一8). (1)a 的 值 是 ; 第 5 题 图 (2)若抛物线上的一 点P 到 x 轴的距离是6,则点P 的坐标是 7.已知点 A(m,2),B(n, 2)是抛物线y=ax² 上的两点，当x=m+n 时 ，y 的值是 8.已知y=(m+1)xm²+m 是二次函数，且当x>0 时，y随x 的增大而增大. (1)求m 的值； (2)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)点( √2,3)在(2)中的函数图象上吗?请说明理由. 9.已知函数y=x m²+3m-2是关于x 的二次函数，则m 的值是 ,当m= 时，函数 图象的开口向下；当m= 时，函数有最小值. 10.抛物线y=-3x² 的图象上有两点(x₁,y₁),(T₂,y₂). 若x₁>x₂>0, 则( ) A.0<y₁<y₂ B.y₁<y₂<0 C.y₁>y₂>0 D.y₂<y₁<0 11.已知点A( -3,y₁),B(-1,y₂),C(3,y₃)在抛物线y=2x² 上，则y₁,y ,y₃的大小关系是 A.y₁<y₂<y₃ B.y₁>y₂>y₃ C.y₂<y₃=y₁ D.y₁=y₃<y₂ 12.抛物线y=(m-4 )x²上有两点A(-3,y₁),B(2,y₂), 且y₁>y₂, 则m 的取值范围是 A.m<4 B.m>4 C.m≥4 D.m≠4 13.(2021越秀)下列选项中，能描述函数 y=ax² 与 y=ax+b(ab<0) 图象的是( ) A B C D 14.如图，A,B,C,D 四点在抛物线y=ax² 上，且AB//CD/ /x轴，与y 轴的交点分别为E,F, (5,b), 已知AB=20,EF=3, 求 a,b 的值. 15.如图，点A(-2,2),B(3,b) 在抛物线y=ax² 点D. (1)求a 的值； (2)求△AOD 的面积； (3)C 为直线AB 上一动点，求线段OC的最小值 的图象上，AB 与y 轴交于 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 知识点1 二次函数y=ax²+y的图象与性质 1.抛物线y=x²+3 的对称轴是( ) A.x 轴 B.y 轴 C. 直线y=x D. 直线y= 一x 2.抛物线 的开口向 ,对称轴是 , 当x= 时，有最 值 是 3.已知函数 y=x²-2, 当函数值y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A.x<2 B.x>0 C.x<0 D.x>-2 4.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,1)的抛物线的解析式 5.对于二次函数y=3x²+2, 下列说法错误的是( ) A. 最小值为2 B.图象与x 轴没有公共点 C. 图象的对称轴是y 轴 D.当 x<0 时 ，y 随 x 的增大而增大 6.若函数y=ax²+c 的图象经过点(0,1),(1,2),则a 的值是 7.抛物线y=x²,y=-2x²+1,y=2x²+1 共有的性质是( ) A. 开口向上 B.都有最高点 C. 对称轴都是y 轴 D. 顶点都是原点 知识点2 抛物线y=ax² 与y=ax²+k 的平移关系 8.抛物线y=ax²+b 与抛物线y=-2x²的形状和开口方向都相同，最高点的坐标为(0,2), 则 a= ,b= 9.将抛物线 向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为 10.将抛物线y=ax²+c 向下平移5个单位长度后，得到抛物线 y=-2x², 则 a= ,C= 11.抛物线 y=ax²+c 与 的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0,1),则抛物线 的解析式为 ,当x>0 时 ，y 随 x 的增大而 12.分别指出抛物线与 的开口方向，对称轴和 顶点坐标，并说明它们是由抛物线 如何平移得到的. 13.已知二次函数y=x²-1, 当1≤x≤2 时，函数值y 的取值范围是( ) A.-1≤y≤3 B.-1≤y≤0 C.0≤y≤1 D.0≤y≤3 14.已知点(x₁,y ₁),(x₂,y₂) 均在抛物线y=x²-4 上，下列说法中正确的是( A. 若 y₁=y₂, 则 x₁=x₂ B. 若x₁= 一x₂, 则y₁=—y₂ C. 若 0<x₁<x₂, 则 y₁>y₂ D. 若 x₁<x₂<0, 则 y₁>y₂ 15.已知 a<-1, 点(a-1,y₁ ),( a,y₂),(a+1,y₃) 都在函数y=3x²-2的图象上，则 A.y₁<y₂<y₃ B.y₁<y₃<y₂ C.y₂<y₁<y₃ D.y₃<y₂<y₁ 16.如图，抛物线y =—x²+4 与 x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C, 四边形 ABCD为平行四边形. (1)直接写出 A,B,C 三点的坐标； (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D, 求平移后抛物线的解析式. 17.抛物线y=x²-1 交 x 轴于A,B 两点(A 在 B 的左边).□ACDE的顶点C(0,n) 在y 轴的正半轴上，点E,D 在抛物线上，E(m,m²-1)(m>0). (1)求点A,B 的坐标； (2)求m 与n 之间的关系式； (3)若口ACDE 的面积是12,求点E 的坐标. 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 知识点1 二次函数y=a (x-h)²的图象与性质 1.抛物线y=(x+3)²的顶点坐标是( ) A.(0,3) B.(0,—3) C.(3,0) D.(-3,0) 2.二次函数y=3(x+2)² 的最小值是( ) A.3 B.0 C.—2 D.—3 3.已知抛物线y=-2( x—2)²,当 x>2 时 ，y 随x 的增大而 ,当x <2 时 ，y 随 x 的增大而 4.对于抛物线y=2(x-1)², 下列结论：①它的开口向上；②顶点坐标为(0,-1);③对称轴为直线 x=1;④ 与 x 轴的公共点为(1,0),其中结论正确的是 (填序号). 5.在函数y=(x-1)² 中，当x>1 时 ，y 的取值范围是 6.已知二次函数 。 (1)完成下表，并在所给的坐标系中画出对应函数图象； x -3 -1 0 1 2 3 5 y (2)写出抛物线的顶点坐标，对称轴； (3)写出函数的最值. 知识点2 抛物线y=a(x-h)²与y=ax²之间的平移关系 7.抛物线 y=a(x+h )²是由y=-3x² 平移得到的：其顶点是(—2,0),则a= ,h= 8.将抛物线y=x² 平移得到抛物线y=(x+2)², 则这个平移过程是( ) A.向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 9.对于任何实数h,抛物线y=-x²与抛物线y=—(x—h)² 的相同点是( ) A.形状与开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D. 都有最低点 10.将抛物线 y=(x-1)²向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 11.若抛物线y=2(x-m)m²-4m-3的顶点在x 轴正半轴上，则m 的值为 12.已知二次函数y=-(x+h)², 当 x<-3 时 ，y 随 x 的增大而增大，当x>-3 时 ，y 随 x 的增 大而减小，则h 的值为 13.若抛物线 向右平移m 个单位长度后经过点(2,-2),则m 的值为 14.若抛物线y=a(x+1)²(a>0) 上有三个点A(-3,y₁),B(-1,y₂),C(0,y₃),则 y₁,y₂,y₃ 的大 小关系为( ) A.y₁>y₂>y₃ B.y₁>y₃>y₂ C.y₃>y₂>y₁ D.y₃>y₁>y₂ 15.已知二次函数y=(x-m)², 当 x<1 时 ，y 随 x 的增大而减小，则m 的取值范围 是 16.如图，抛物线y=a(x+1)² 的顶点为A, 与 y 轴的负半轴交于点B, 且 OB=OA. (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(-3 ,b)在该抛物线上，求△ABC 的面积. 17.已知抛物线y=a(x-h)²的顶点为P(1,0),直线y= 一x+4 与第一象限内的 抛物线交于点B, 点 B 的横坐标为2. (1)求抛物线的解析式； (2)A 为直线y =-x+4 下方抛物线上一点，过点A 作AC⊥x 轴，交直线y=-x+4于点C, 若 BC=BA, 求点A的坐标. 二次函数y=a(x—h)²+k 的图象和性质 知识点1 二次函数y=a(x-h)² +k 的图象和性质 1.写出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标. (2)y=-4(x+2)²+1. 2.关于二次函数y=2(x-4)²+6 的最值，下列说法正确的是( ) A. 有最大值4 B. 有最小值4 C.有最大值6 D. 有最小值6 3.二次函数y=3(x-2)²+9 的对称轴是( ) A. 直 线x=2 B.直 线x=-2 C. 直 线x=9 D.直 线x=-9 4.二次函数y=(x+3)²-2 的顶点坐标是( ) A.(—3,2) B.(3,2) C.(-3,—2) D.(3,—2) 5.关于二次函数y=-3(x-1)²+2, 下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B.对称轴是x=-1 C.有最小值2 D.顶点坐标是(1,2) 6.在二次函数y=—5(x+2)²-3 x 时 ，y 随 x 的增大而减小；当x= 时， 有最 值为 . 7.已知抛物线y=a(x-3)²+2经过点(1,-2) (1)求a 的值； (2)若点A( m,y₁),B(n,y₂)(m<n< 3)都在该抛物线上，试比较y₁ 与 y₂ 的大小. 知识点2 抛物线的平移 8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x² 向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得 到的抛物线解析式是( ) A.y=(x-1)²-1 B.y=(x-1)²+1 C.y=(x+1)²-1 D.y=(x+1)²+1 9.把二次函数y=a(x-h)²+ k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得 到二次函数 y= 2(x+1) ²—1的图象，则a= .h= ,k= 10.将抛物线l向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得抛物线y=-(x+2)²+3,则 抛物线l 的解析式为 11.已知点A (4,y₁),B(√2, y₂),C(-2,y₃) 都在二次函数y =(x -2)²-1 的图象上，则y₁,y₂,y₃ 的大小关系是 12.将二次函数 y=—(x-k)²+k+1 的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长 度后，顶点在直线y=2x+1上，则k 的值是( ) A.2 B.1 C.0 13.如图，抛物线的顶点为C(1,9), 与x 轴交于A,B(4,0) 两点. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与y 轴交点为D, 求S△BCD. D. 一 1 14.如图，抛物线y=a(x-2)²+3(a 为常数且a ≠0)与 y 轴交于点 (1)求该抛物线的解析式； (2)若P 为抛物线上一点，△POA的 面 积,求点P (3)当-4<x≤ m 时，函数y 有最大 ,直接写出m 的坐标； 的值 . 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 1.二次函数y=x²+4x+1 的图象的对称轴是( ) A.x=2 B.x=4 C.x=—2 D.x= 4 2.抛物线y=x²-2x+3与 y 轴的交点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,3) C.(2,0) D.(3,0) 3.把二次函数y=x²+2x-4 配方化成y=a(x-h)²+k 的形式为( ) A.y=(x-1)²-5 B.y=(x+1)²—5 C.y=(x+2)²-4 D.y=(x-3)²+5 4.二次函数y=—x²—x—1 的图象有最 点.(填“高”或“低”) 5.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1)y=x²-6x-3; (2)y=—x²+2x—1; (3)y=—3x²-4x+2. 6.已知二次函数 (1)用配方法求函数图象的顶点坐标、对称轴，并写出图象的 开口方向； (2)在所给坐标系中画出此函数的图象 知识点2 抛物线的平移 7.将抛物线y=x²-2x+3 向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 8.将函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的图象向下平移2个单位长度，以下错误的是( ) A.开口方向不变 B.对称轴不变 C.y 随 x 的变化情况不变 D. 与y 轴的交点不变 9.函 数 的图象是由抛物线 经过怎样的平移得到的? 10.已知抛物线y=ax²+ bx+c 经过(-3,m) 和(5,m) 两点，则抛物线的对称轴为 11.已知二次函数y=x²+(m-1)x+1,当x>1时 ，y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ( ) A.m=—1 B.m=3 C.m≤—1 D.m≥-1 12.已知二次函数y=-x²+4x+3, 当0≤x≤1 时，y 的最大值是 13.若抛物线y=x²+2x+m 的顶点在x 轴上，则m 的值是 14.抛物线y=ax²+bx+c经过点(-1,0),(3,0),且与y 轴交于点(0,-5),则当 x=2 时 ，y的值为( ) A.—5 B.-3 C.-1 D.5 15.已知二次函数y=ax²-2ax+1(a为常数，且a>0) 的图象上有三点A(-2, y₁),B(1,y₂),C(3,y₃), 则 y₁,y₂,y₃ 的大小关系是( ) A.y₁<y₂<y₃ B.y₁<y₃<y₂ C.y₂<y₁<y₃ D.y₂<y₃<y₁ 16.设抛物线y=x²+2ax+ a,其中a为常数。 (1)若抛物线经过点 ,求m 的值； (2)将抛物线y=x²+2ax+a 向上平移2个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标n 的最 大值. 17.已知函数y=ax²+bx+1(a,b是常数，a≠0). (1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标； (2)已知a=b=1, 当 x=p,q(p ,q是实数，p ≠q)时，该函数对应的函数值分别为y₁,y₂ .p +q=2, 求证：y₁+y₂ >6. 用待定系数法求二次函数的解析式 知识点1 利用一般式求解析式 1.已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),抛物线的解析式为 2.已知二次函数的图象经过点(-1,0),(0,-2),(1,-2),则这个二次函数的解析式是 3.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式. 知识点2 利用顶点式求解析式 4.若抛物线y=-x²+bx+c的对称轴为x=-1,且经过点A(0,3), 则它的解析式为 5.抛物线的形状、开口方向都与抛物线 相同，顶点为(1,-2),则抛物线的解析式为 6.已知抛物线的顶点坐标为(4,-l),与 y 轴交于点(0,3),则抛物线的解析式为 7.抛物线 y=一x²+ bx+c的最高点是(1,2),则抛物线的解析式为 8.已知抛物线经过点(-1,0),(3,0),且函数有最小值-5. (1)写出抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线的解析式。 知识点3 利用平移求解析式 9. 将抛物线y=-x²+bx+c向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得抛物线 y=一x²+2x+8. (1)求抛物线y=—x²+2x+8 的顶点坐标； (2)求b,c 的值 . 10.抛物线y=ax²+bx+2 的对称轴为直线x=1, 且过点(-1,0),则其解析式为 11.已知抛物线y=x²-2x+2与抛物线C 关于y轴对称，则抛物线C 的解析式为 12.将抛物线y=-x² 平移后经过A(1,-2),B(3,-1) 两点，求平移后的抛物线的解析式. 13.抛物线y=ax²+bx+c 析式. 的顶点坐标为(3,-2),与x 轴两交点间的距离为4,求抛物线的解 14.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+kx-2k的顶点为N. (1)顶点N 的 坐 标 为 (用含k 的式子表示); (2)如图，无论k 取何值，抛物线都经过定点H ①求定点H 的坐标；②当∠OHN=45° 时，求抛物线的解析式. 二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数与一元二次方程 1.二次函数y=x²—5x 的图象与x 轴的两个公共点的坐标分别是 2.若方程2x²+bx+c=0 的两根为-2,3,则抛物线y=2x²+bx+c 与 x 轴的两个公共点间的距 离是 3.已知抛物线y=ax²+2ax+m与 x轴的一个公共点坐标为(1,0),则关于x的一元二次方程 ax²+2ax+ m=0的两根为 知识点2 抛物线与x轴公共点个数 4.下列抛物线中，与x 轴无公共点的是( ) A.y=x²-2 B.y=x²+4x+4 C.y=—x²+3x+2 D.y=x²-x+2 5.若抛物线y=x²+4x+k 的顶点在x 轴上，则k 的值为 6.若抛物线 y=x²+2x+k与 x 轴只有一个公共点，则k 的值是 知识点3 二次函数与不等式 7.如图为二次函数y=—x²—x+2 的图象，试根据图象回答下列问题： (1)方程一x²—x+2=0 的解为 ; (2)当y>0 时 ，x 的取值范围是 ; (3)当y>2 时 ，x 的取值范围是 ; (4)当 - 3<x<0 时 ，y 的取值范围是 8.抛 物 线y=ax²+bx+c(a≠0 )的部分图象如图所示，其与x 轴的 一 个 公共点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1, 则当y<0 时 ，x 的取值范围 是 知识点4 一元二次方程的近似解 9.根据下列表格中二次函数y=ax²+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax²+ bx+c= 0 (a≠0,a,b ,c为常数)的 一 个解x 的范围是( ) X 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax²+bx+c —0.03 —0.01 0.02 0.04 A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 10. 已知二次函数y=ax²+bx+c 范围是 的图象如图所示，若方程ax²+bx+c=k 有实数根，则k 的取值 第10题图 第11题图 11. 如图是二次函数 的图象，使y≥1 成 立 的x 的取值范围是 A.-1≤x≤4 B.x≤0 C.x≥1 D.0≤x≤4 12.若抛物线y=ax²(a≠0) 与直线y=bx+c(b≠0) 的两个交点分别为A(-2,m),B(1,n), 则关 于 x 的 方 程ax²-bx-c=0的解为 13 . 抛物线y=a(x-h)²+k 经过(- 1,0),(5,0)两点，则关于x 的 一 元二次方程a(x-h+1)²+ k=0 的 解 是 14. 已知抛物线y₁=-x²+5 与 直 线y₂=2x+2交于A,B两 点 . (1)求A,B两点的坐标； (2)若 v₁>v₂, 请直接写出x 的取值范围 15 . 已知二次函数y=x²-4x+3a+2(a为常数)与 一次函数y=2x-1. (1)若两函数的图象只有一个公共点，求a 的值； ( 的 图 象 )(2)在同一直角坐标系 中 ，若该二次函数的图象在x≤4 的 部分与一次函数 y=2x-1 有两个交点，求a 的取值范围 . 求二次函数的解析式 一、一般式 1.已知抛物线y=x ²十x +m 过点(1,-2),则抛物线的解析式为 2.已知抛物线y=ax²+bx+c 过A(0,0),B(1,9),C(2,26) 三点，求该抛物线的解析式. 二、顶点式 3.若抛物线y=x²—bx+9 的顶点在x 轴上，则b 的值为 4.若二次函数y=ax²+bx+c 图象的顶点是A(2,1), 且经过点B(1,0),求此函数的解析式. 5.如图，在ABCD 中 ，AB=4, 点 D 的坐标是(0,-4),以C 为顶点的抛物线y=ax²+bx+c (a≠0) 经 过x 轴上的点A,B. 求抛物线的解析式. 三、交点式 6.若抛物线y=x²+bx+c 经过A(-2,0),B(4,0) 两点，求这条抛物线的解析式. 四、变换式 7.将抛物线y =2(x+1)² +3 沿 x 轴翻折后对应的函数解析式为 8.抛物线y=-3x² 平移后得到的新抛物线与y 轴交点的纵坐标为3,对称轴为直线x=2, 求这 个新抛物线的解析式. 技巧方法 比较函数值大小 类型 一 在对称轴同侧 1.若函数y=-x²-4x+ m(m 是常数)的图象上有两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 当 3<x₂ <x₁ 时， 下列判断正确的是( ) A.y₁>y₂ B.y₁<y₂ C.y₁=y₂ D. 无法比较y₁,y₂ 的大小 2.点 A(3,y₁ ),B(0,y₂ ), C(-1,y₃)在二次函数y=x²+2x+c 的图象上，则y₁,y₂,y₃ 的大小关 系是( ) A.y₁<y₃<y₂ B.y₃<y₂<y₁ C.y₁<y₂<y₃ D.y₂<y₁<y₃ 类型二 在对称轴的两侧 3 . 已知A( -4,a),B(-1,b),C(2,c) 是 y=- 3(x -1)²+k 图象上三点，则a,b,c 的大小关系是 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>6 D.a<b<c 4.已知二次函数y=ax²-2ax-1(a<0) 的图象经过点 和点B(2,y₂), 则下列关系式 正确的是( ) A.0<y₁<y₂ B.y₂<0<y₁ C.y₂<y₁<0 D.y₁<y₂<0 类 型 三 作 差 5.已知抛物线y=mx²+2mx+n 上有两点P(t,y₁) 和 Q(t+3,y). (1)此抛物线的对称轴是直线 ; (2)若m >0,y₁> y₂, 求 t 的取值范围. 类型四 综合问题 6.二次函数y=ax²-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y₁),B(-1,y₂),C(2,y₃),D (4,y₄) 四个点. (1)比较y₁,y₂,y₃,y4 的大小： ; (2)下列说法一定正确的是( ) A. 若 y₁y₂>0, 则 y₃y₄>0 B. 若 y₁y₄>0, 则 yzy₃>0 C. 若 y₂y₄<0, 则 y₁y₃<0 D. 若 y₃y₄<0, 则 y₁y₂<0 方法技巧 二次函数与方程 1.已知二次函数y=ax²+bx+c 与x 轴交于A(1,0),B(3,0) 两点，则方程ax²+bx+c =0 的根 为 2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1, 其图象如图所示， (1)方程ax²+bx+c =0 的根为 ; (2)若抛物线的顶点坐标为(-1,n), 则关于x 的方程ax²+bx+c=n-2 的 根的情况为 3.已知二次函数y=ax²+bx+c的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格： x -3 -2 -1 1 2 y 1.875 3 m 1.875 0 ● (1)方程 ax²+bx+c=0 (2)方程ax²+bx=0 的根为 ; 的根为 4.抛物线y=ax²+bx+c 经过点A(-3,0),B(4,0) 两点，则关于x 的一元二次方程 a(x-1)²+bx—b+c=0 的 解 是 5.已知方程(x-1)²-t²-1=0 的两根分别为m,n(m<n), 方程(x-1)²-t-2=0 的两根分别 为 p,q(p<q), 判断m,n,p ,q的大小关系是( ) A.p<q<m<n B.p<m<n<q C.m<p<q<n D.m<n<p<q 6.已知抛物线y=a(x-h)²+k 与 x 轴有两个交点A(-1,0),B(3,0), 抛物线y= a(x-h-m) ²+k 与 x 轴的一个交点是(4,0),则 m 的 值 是( ) A.5 B.—1 C.5 或 1 D.—5 或一1 方法技巧 二次函数与不等式 ①利用对称轴和抛物线与y 轴交点列不等式；②利用函数值的符号列不等式；③利 用对称轴及某函数值的符号，代入消元建立不等式；④利用函数最大(小)值列不等式. 1.二次函数y=ax²+bx+c 的图象如图所示，以下结论： (1)抛物线开口 ,a 0; (2)抛物线的对称轴在y 轴 9 0,.b 0; (3)抛物线与y 轴负半轴相交，则c 0,.abc 0; (4)抛物线与x 轴 有 个不同的交点，△=b²-4ac 0. 2.已知二次函数 y=ax²+bx+c 图象如图所示，顶点是(1,-4),回答下列问题： (1)方程ax²+bx+c=—3 的解为 ; (2)方程ax²+bx +c=-4 的解为 ; (3)当y>0 时 ，x 的取值范围是 ; (4)当y <-3 时 ，x 的取值范围是 ; (5)当-3<y<0 时 ，x 的取值范围是 3.已知二次函数 y=ax²+bx +c 图象如图所示，回答下列问题： (1)a 0; (2)b 0; (3)c 0; (4)a+b 十c 0; (5)a—b+c 0; (6)2a+b 0; (7)方程ax²+bx +c= 0 的根为 ; (8)当y>0 时 ，x 的取值范围为 ; (9)当y<0 时 ，x 的取值范围为 4.二次函数 y=ax²+b x+c的图象如图所示，以下结论： (1)a 0,b 0,c 0,abc 0; (2)x=1 时 ，y 0,a+b 十c 0; (3)x=-2 时 ，y 0,4a—2b+c 0; 5.如图，抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴是x=1. 下列结论： (1)abc 0; (2)b2—4ac 0; (3)∵抛物线在顶点处取得最大值，∴a+b+c an²+bn+c; (4)4a—2b+c 0; (5)8a+c 0. 0. 题型研究 二次函数与面积 与x 轴交于点A,B ( 点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,M 为抛 物线的顶点，求四边形OBMC 的面积. 2.如图，直线 与抛物线 物线上有一点P, 且 S△APB=5,求 点P 的坐标. 一、割补法 交 于A,B 两点，在直线AB 下方的抛 二、铅垂法 三、平行转化法 二次函数与角度 一、等角 →得等腰或构全等 1.(2021贵港改)如图，抛物线 与x 轴相交于A,B 两点，与y 轴相交于点C, 连接AC.若过点B 的 直 线l 与抛物线相交于另一点D, 且∠ABD=∠BAC, 求直线L 的解 析式. 二、二倍角→转化为等角 2.如图，直线 与x 轴交于点A, 与 y 轴交于点B, 抛物线 bx+c 经过A,B 两点，与x 轴交于另一点C. (1)求抛物线的解析式； (2)在直线AB 上方抛物线上取点D, 使得∠DBA=2∠BAC, 求点D 的坐标. 三、45°角→作垂线构等腰直角三角形 3.如图，抛物线y=x²-2x-3 交 x 轴于A,B 两点(点A 在点B 的左边),交y 轴于点C.若抛物 线上有一点D, 使∠ACD=45°, 求点D 的坐标. 二次函数与线段 1.如图，抛物线的顶点是(2,-1),其与x 轴交于A(1,0),B 两点，与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)D 为对称轴右侧抛物线上一点，AD 交 BC 于点G, 且AG=GD, 求 点D 的横坐标. 2.如图，已知抛物线 y=(x-1)²-4 与 x 轴的正半轴交于点A, 直线 经过点A, 与抛物线的另一交点为B. 过线段AB 上 一 点P 作PQ//y 轴交抛物线于点Q, 连接AQ. (1)求直线AB 的解析式； (2)若AP=AQ, 求点P 的横坐标. 3.如图，抛物线 与 x 轴的正半轴交于点B, 与 y 轴交于点C, 点 D 在第一象限 内的抛物线上，过点D 作DE⊥BC 于点E,DG⊥x 轴于点G, 交线段BC 于点F, 若 BF=EF, 求点D 的坐标. 二次函数与等腰直角三角形 【方法技巧】利用腰不明或直角不明分类讨论求解，利用平行找出坐标关系，建立方程解题 1.如图，抛物线y=ax²-3(a>0) 与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点C. (1)当△ABC 为等腰直角三角形时，求a 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求a 的值. 2.如图，抛物 以 AB 为斜边作等腰Rt△ABC, 坐标. 的顶点为A, 点 B 为抛物线上点A 左侧一点， 使其直角顶点C 在 y 轴正半轴上，求出符合条件的点C 的 3.将抛物线C:y=(x-2)² 向下平移6个单位长度得到抛物线C₁ . (1)直接写出抛物线C₁ 的解析式； (2)如图，点A 在抛物线C₁ 的第一象限上，点B 在对称轴l 上，△OAB 是 以OB 为斜边的等腰 直角三角形，求点A 的坐标. 二次函数与平行四边形 1.如图，抛物线 与y 轴交于点C, 直线 与 y 轴交于点E, 点P 为 该直线上的一动点，作PQ⊥x 轴交抛物线于点Q, 若以P,Q,C,E 为顶点的四边形是平行四边 形，求点P 的横坐标。 2.如图，点C(2,-3), 抛物线y=x²-2x-3 一点，点D 在x 轴上，若以点A,C,D,F 与 x 轴负半轴交于点A(-1,0), 点F 是抛物线上的 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标 难点突破 二次函数与多结论 类型一 图象信息 1.抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0) 的对称轴是直线x=-1, 其图象如图所示，下列 结论：①a bc>0;② 若(x₁,y₁) 和(x₂,y₂) 是抛物线上的两点，则当|x₁+1|>|x₂+1| 时 ，y₁<y₂; ③若抛物线的顶点坐标为(-1,m), 则关于x 的方程ax²+bx+c=m-1 无实数根.其中正确 结论的个数有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 类型二 表格信息 2.老师给出了二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0) 的部分对应值如表： x -3 -2 0 1 3 5 y 7 0 -8 -9 -5 7 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2;③ 当 - 2<x<4 时 ，y<0; ④x=3 是方程 ax²+bx+c+5=0 的一个根；⑤若A(x₁ ,5),B(x₂ ,6) 是抛物线上两点，则x₁ < x₂. 其中结论正确的是 (填序号). 类 型 三 文 字 信 息 3.下列关于二次函数y=x²-2mx+2m-3(m 为常数)的结论：①该函数的图象 与 x 轴总有两个公共点；②若x>1 时 ，y 随 x 的增大而增大，则m=1;③ 无论m 为何值，该函 数的图象必经过一个定点；④该函数图象的顶点一定不在直线y=-2 的上方.其中结论正确 的是 (填序号). 实际问题与二次函数 知识点1 根据面积问题列函数关系式 1.长为20 cm, 宽为10 cm 的矩形，四个角上分别剪去边长为x cm的小正方形，然后把四边折起 来，做成底面积为y cm²的无盖的长方体盒子，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A.y=(10—x)(20—x)(0<x<5) B.y=200-4x²(0<x<5) C.y=(10-2x)(20-2x)(0<x<5) D.y=200+4x²(0<x<5) 2.矩形的周长为20,设矩形的一边长为x,其面积S= 3.如图所示， 一边靠墙，其他三边用12 m 的篱笆围成一个矩形(ABCD) 花 圃：当AB 的长为x m时，则BC= m, 矩形花圃的面积S= m², 若墙的长度为4 m, 则 x 的取值范围是 知识点2 求面积问题最值 4.矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是 5.将一条长20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正 方形面积之和的最小值是 cm². 6.如图，已知□ABCD 的周长为8,∠B=30°,若边长AB=x. (1)写出口ABCD 的面积y 与x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围； (2)当x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值。 7.某地准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另三边用周长为30m 的篱笆围成.已知墙长为 a m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m,这个苗圃园的面积为y m². (1)求y 与x 的函数关系式； (2)若a=18 时，求x 的取值范围； (3)当a=12 时 ，y 的最大值为 8.如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13 m, 另外三面用27 m 长的建 筑材料围成，其中一边开有一扇1m 宽的门(不包括建筑材料). (1)所围矩形猪舍的AB 边为多少时，猪舍面积为90 m²? (2)所围矩形猪舍的AB 边为多少时(AB 为整数),猪舍面积最大，最大面积是多少? 利润问题 知 识 点 1 列函数关系式 1. 某商场进一批货物，销售量y(件)与每件货物的利润x (元)的关系式为y=-2x+500, 则总利 润 P 与x 之间的函数关系式为 2.某商品原利润为60元/件，涨价x 元后利润为 元/件，如果原来每月卖出100件，若 每涨价2元，每月就少出售10件，涨价x 元后每月出售该商品的总利润y(元)与x 之间的函数 关系式为 3.某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品 的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数),每 星期销售该商品的利润为y 元，则y 与 x 的函数关系式为 知识点2 求最大利润 4.某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售 20件，经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售 单价定为多少元时，才能使每天所获销售利润最大? 5.某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为 136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日 游泳健身的人数平均增加2人.当每日销售收入最大时，票价下调多少元? 6.某大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该 商品每周的销售量y (件)与售价x(元/件)(x 为正整数)之间满足一次函数关系，调查数据如 下表： x(元/件) 4 5 6 y ( 件 ) 10000 9500 9000 (1)求y 与x 的函数关系式(不求自变量的取值范围); (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量 不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及对应售价分别为多少元? 7.某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x 天的售价与销量的相关信 息如下表： 第x天 售价(元/件) 日销售量(件) 1≤x≤30 x+40 100-2x 已知该商品的进价为20元/件，设销售该商品的日销售利润为y 元. (1)求y 与x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，日销售利润为2250元? (3)问在当月有多少天的日销售利润不低于2400元，请直接写出结果. 抛物线形问题 知识点1 抛物线形建筑问题 1.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m.水面下降2.5m, 水面宽度增加 m. 第 1 题 图 第2题图 第 3 题 图 知识点2 抛物线形运动问题 2.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 5的 一 部分(如图),若命中篮圈中 心，则他与篮底的水平距离1是 m. 3.如图， 一名男生推铅球，铅球行进的高度y(m)是水平距离x(m) 的二次函数.铅球行进起点的高 度 ,行进到水平距离为4 m时达到最高处，最大高度为3 m, 则铅球推出的距离为 m, 4.某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑 OA, 从 A 点向四周喷水，喷出的水柱为 抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在 y 轴上，x 轴上的点C,D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为y= (1)求雕塑高OA 及求落水点C,D 之间的距离； (2)若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑E F,OE=10 会碰到水柱?请通过计算说明. m,EF=1.8 m,EF⊥OD.问 ：顶 部F 是 否 5.如图，某单向行驶的隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分 构成，矩形的长是12 m, 宽是3 m, 隧道的最大高度为6m, 现以点O 为原点，OM 所在的直线 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系。 (1)直接写出点M,N 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数解析式； (3)一大货车装载某大型设备后高为5m, 宽为4 m, 那么这辆货车能否安全通过? 6.小明家的菜地上有一个长为16 m 的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形，大棚的 一端固定在离地面高1 m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高2 m 的墙体B 处，现对其横截 面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(m) 与其离墙体 A 的水 平距离x(m) 之间的关系满足 ,现测得A,B 两墙体之间的水平距离为6m. (1)直接写出b,c 的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； ( 的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建 ) ( m )(3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高 支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿? 图1 图2 ▶章末复习——单元核心考点归纳 考点1 二次函数的定义 1. 下列y 与 x 的关系式中， 一定为二次函数的是( ) A.y=3x-1 B.y=ax²+bx+c C.y=2x²+1 2.若y=(m+1)xm²-2m-1-x+3 是关于x 的二次函数；则 m 的值为 考点2 二次函数的图象与性质 3.抛物线y=—2x² 开口 ,对称轴是 轴，顶点坐标是 " 4.抛物线 开 口 ,对称轴是 轴，顶点坐标是 5.抛物线y=—2(x+3)² 开 口 ,对称轴是直线 ,顶点坐标是 6.抛物线 y=3(x—1)²+2 开口 ,对称轴是直线 ,顶点坐标是 ,当 时，y 随 x 的增大而增大，当 时 ，y 随 x 的增大而减小，当 时，函数有最小 值，最小值是 7.若(1,4),(5,4)是抛物线y=ax²+bx+c 上的两个点，则抛物线的对称轴是直线 8.设A(-2,y₁),B(1,y₂),C(2,y₃) 是抛物线y =—(x+1)²+k 上的三点，则y₁,y₂,y₃ 的大小关 系为( ) A.y₁>y₂>y₃ B.y₁>y₃>y₂ C.y₂>y₃>y₁ D.y₃>y₁>y₂ 考点3 二次函数图象的平移 9.把二次函数y=-2x²-1 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的 图象的解析式为 考点4 求二次函数的解析式 10.经 过A(3,0),B(-1,0),C(0,3) 三点的抛物线解析式为 11.二次函数的图象的顶点为(1,2),与y 轴交于点(0,1),则该二次函数的解析式为 考点5 二次函数的图象与系数的关系 12.二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图所示，则a 0.b 0,c 0,△ 0(用 “<”,“=”或“>”号连接). 第12题图 第13题图 第 1 4 题 图 13.已知抛物线y=ax²+bx+c 的图象如图所示，化简|a-b+c|+|2a+6| 的结果是( ) A.a+b B.a 2b C.a—b D.3a+c 考点6 二次函数与方程、不等式 14.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程ax²+bx +c=0 的根为 ; (2)不等式ax²+bx+c >0 的解集为 ; (3)若方程ax²+bx+c=k 有两个不相等的实数根，直接写出k 的取值范围 考点7 二次函数的应用 15.某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边总长为30 m 的篱笆围成.已知墙长为 14 m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m. (1)若苗圃园的面积为72 m², 求x 的值； (2)若平行于墙的一边长不小于8m, 求这个苗圃园可围建的最大面积. ( 14 m )苗圃园 16.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价 格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件.已知商品的进价为每件 40元，设售价为每件x 元(x 为整数),每星期销售利润为y 元，在确保不亏本的情况下，回答下列 问题： (1)在降价的情况下，直接写出y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2)比较降价和涨价的两种销售方式，哪种销售方式能使每星期的销售利润最大?请通过计算说明 最大利润和售价. 学科网（北京）股份有限公司 $$