作业(七)三角恒等变换的应用-2024年高一数学暑假作业(湘教版)

高一数学(配XJ版) 三角恒等变换的应用 1.半角公式 sinα2=± 1-cosα 2 . cosα2=± 1+cosα 2 . tanα2=± 1-cosα 1+cosα (无理形式). tanα2= sinα 1+cosα= 1-cosα sinα (有理形式). 2.辅助角公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ),其中 sinφ= b a2+b2 ,cosφ= a a2+b2 . 1.若cosα=23 ,α∈(0,π),则cosα2 的值为 ( ) A.66 B.- 6 6 C.306 D.- 30 6 2.sin37.5°cos7.5°= ( ) A.22 B. 2 4 C.2+14 D. 2+2 4 3.设a=cos212°-sin212°,b= 2tan12° 1-tan212° , c= 1-cos48°2 ,则有 ( ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c 4.设函数f(x)=sin3x+cos3x,若fx+t 是奇函数,则t= . 1.若cosθ=725 ,θ∈ 0,π ,则sin π2+ θ 2 = ( ) A.12 B. 3 2 C.35 D. 4 5 2.(2023· 南京高一期中)函 数 f(x)= 2cosx-cos2x,则函数的奇偶性及最大 值为 ( ) A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为32 D.偶函数,最大值为32 3.若cosxcosy+sinxsiny=12 ,sin2x+ sin2y=23 ,则sin(x+y)= ( ) A.23 B.- 2 3 C.13 D.- 1 3 4.已 知 sin(α+β)sin(β-α)=m,则 cos2α-cos2β 2 = ( ) A.-m B.m C.-4m D.4m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 5.(多选)(2023·成都高一期中)已知函数 f(x)= 32sin2x- 1 2cos2x ,则下列说法正 确的是 ( ) A.y= f(x)的最小正周期为π B.y=f(x)的图象关于x=π3 对称 C.若y=f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个 单位后关于原点对称,则φ 的最小值 为5π 3 D.f(x)在 -π6 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的值域为 -1,1 6.已知sinα+sinβ= 1 4 ,cosα+cosβ= 1 3 ,那 么tan(α+β)的值为 . 7.(2023· 哈 尔 滨 高 一 期 中)已 知 函 数 f(x)=12 sinx+cosx sinx-cosx + 3sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)设f α2+ π 4 = 33,-π2<α<0,求 cosα的值. 1.(2022·北京卷)已知函数f(x)=cos2x- sin2x,则 ( ) A.f(x)在 -π2 ,-π6 上单调递减 B.f(x)在 -π4 ,π 12 上单调递增 C.f(x)在 0,π3 上单调递减 D.f(x)在 π4 ,7π 12 上单调递增 2.(2021·全国乙卷)函数f(x)=sinx3+ cosx3 的最小正周期和最大值分别是 ( ) A.3π和 2 B.3π和2 C.6π和 2 D.6π和2 易错一 求三角函数最小正周期,非等价 变形致误 [示例1] 函数f(x)= tanx1-tan2x 的最小正周 期为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 忽略了f(x)= tanx1-tan2x 与y=12tan2x 定义域不 相同,f x+π2 =f(x)对定义域内的π2不成立, 所以π 2 不是f(x)= tanx1-tan2x 的周期. 易错二 忽视角的范围致误 [示例2] 已知sinα= 55 ,sinβ= 10 10 ,且α, β为锐角,则α+β= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一 个三角函数值,再确定角的范围,确定角的范围时 不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条 件,根据三角函数值缩小角的范围.本题中(0,π) 中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计 算cos(α+β)避免增解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 高一数学(配XJ版) 4.D 由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sinβ= 1 3 , 所以sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)·cosβ+ cos(α+β)·sinβ=- 1 3. 5.解析 由cos2x-sinx=0,即1-2sin2x-sinx=0,解得 sinx=-1或sinx=12. 在 0,2π 上,当sinx=-1时, x=3π2 ;当sinx=12 时,x=π6 或x=5π6 ,所以所有解的和 为3π 2+ π 6+ 5π 6= 5π 2. 答案 5π2 6.解 析 因 为 B 为 锐 角,sinB=2 55 ,所 以 cosB= 1-sin2B= 55 ,tanB=sinBcosB=2 ,故tan A+B = tanA+tanB 1-tanAtanB= 3+2 1-3×2=-1 ,因为A,B 均为锐角,所以 A+B∈ 0,π ,故A+B=3π4. 答案 3π4 7.解析 (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π2- π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π4-α = cos2α 2sin π4-α cos π4-α = cos2α sin2× π4-α = cos2α sin π2-2α =cos2αcos2α=1. (2)2 3tan15°+tan215°= 3tan30° 1-tan215° + tan215°= 3× 33× 1-tan 215° +tan215°=1-tan215°+ tan215°=1. (3)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°= 2sin20°cos20°cos40°cos80° 4sin20° = sin40°cos40°cos80° 4sin20° = 2sin40°cos40°cos80° 8sin20° = 2sin80°cos80° 16sin20° = sin160° 16sin20°= sin20° 16sin20°= 1 16. 【真题体验】 1.D 由题意,cos2 π12-cos 25π 12=cos 2 π 12-cos 2 π 2- π 12 = cos2 π12-sin 2 π 12=cos π 6= 3 2. 故选D. 2.B 由题意可得sinθ+12sinθ+ 3 2cosθ=1 ,则3 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,从而有sinθcosπ6+ cosθsinπ6= 3 3 ,即sinθ+π6 = 33. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , ∴sin(θ+15°)=45. ∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425 , cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=- 7 25. ∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°) =cos(2θ+30°)·cos45°+sin(2θ+30°)sin45° =-725× 2 2+ 24 25× 2 2= 17 2 50 . 答案 17 250 [示例2] 解析 因为sin(π-α)=4 37 ,所以sinα=4 37 . 因为0<α<π2 ,所以cosα= 1-sin2α=17. 因为cos(α-β)= 13 14 ,且0<β<α< π 2 , 所以0<α-β< π 2 , 所以sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 3 3 14. 所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =17× 13 14+ 4 3 7 × 3 3 14= 1 2. 因为0<β< π 2 ,所以β= π 3. 答案 π3 作业(七) 三角恒等变换的应用 【基础演练】 1.C 由题α∈(0,π),则α2∈ 0 ,π 2 , ∴cosα2>0 ,cosα2= 1+cosα 2 = 30 6 . 2.C sin37.5°cos7.5°= 12 [sin(37.5°+7.5°)+ sin(37.5°-7.5°)]=12 (sin45°+sin30°)= 2+14 . 3.A 因为a=cos212°-sin212°=cos24°,b= 2tan12° 1-tan212° = tan24°<tan30°= 33 < 3 2 =cos30°<cos24°=a ,c= 1-cos48° 2 =sin24°< sin24° cos24°=tan24°=b ,所以c<b<a, 故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74— 4.解析 因为f(x)=sin3x+cos3x=2 22sin3x+ 2 2cos3x =2sin3x+π4 ,所以f(x+t)=2sin3x+t +π4 = 2sin3x+3t+π4 ,因为f x+t 是奇函数,所以3t+π4 =kπ,k∈Z,即t=-π12+ kπ 3 ,k∈Z. 答案 -π12+ kπ 3 ,k∈Z 【综合演练】 1.D 因为cosθ=725=2cos 2 θ 2-1 ,所 以2cos2 θ2= 32 25 , 则cos2θ2= 16 25. 因为θ∈ 0,π ,所以θ2∈ 0 ,π 2 , 即cosθ2>0 ,故cosθ2= 4 5. 所以sin π2+ θ 2 =cosθ2=45. 2.D f -x =2cos -x -cos2 -x =2cosx-cos2x =f(x),所 以 函 数 为 偶 函 数.f(x)=2cosx-cos2x= -2cos2x+2cosx+1=-2 cosx-12 2 +32 ,所 以 当 cosx=12 时,f(x)取最大值32. 3.A 因为cosxcosy+sinxsiny=12 , 所以cos(x-y)=12 ,因为sin2x+sin2y=23 , 所以2sin(x+y)cos(x-y)=23 , 所以2sin(x+y)·12= 2 3 , 所以sin(x+y)=23 ,故选A. 4.B sin(α+β)sin(β-α) =cos [(α+β)-(β-α)]-cos[(α+β)+(β-α)] 2 =cos2α-cos2β2 =m. 5.BD f(x)= 32sin2x- 1 2cos2x=sin 2x- π 6 .对选项 A:y= f(x) 的图象是由f(x)的图象的x轴下方的部分 向上翻折形成,周期减半,故T=12× 2π 2= π 2 ,故A错误; 对选项B:当x=π3 时,2x-π6= π 2 ,故y=f(x)的图象关 于x=π3 对称,故B正确; 对选项C:平移后的解析式为g(x)=sin2x-φ - π 6 = sin2x-2φ- π 6 ,函数关于原点对称,则-2φ-π6=kπ, k∈Z,即φ=- π 12- kπ 2 ,k∈Z,当k=-1时,φ=- π 12+ π 2 =5π12 满足条件,故C错误; 对选项 D:当x∈ -π6 ,π 2 时,2x-π6∈ -π2,5π6 , 故f(x)∈ -1,1 ,故D正确;故选BD. 6.解析 由sinα+sinβ= 1 4 ,得2sinα+β2 cos α-β 2 = 1 4 , 由cosα+cosβ= 1 3 ,得2cosα+β2 cos α-β 2 = 1 3 ,所 以 tanα+β2 = 3 4 ,所 以tan(α+β)= 2tanα+β2 1-tan2α+β2 = 2×34 1-916 =247. 答案 247 7.解析 (1)f(x)=-12cos2x+ 3 2sin2x=sin2x- π 6 , 令2x- π6 ∈ - π 2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z,解 得 x∈ -π6+kπ ,π 3+kπ ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为 -π6+kπ ,π 3+kπ ,k∈Z. (2)f α2+ π 4 =sin 2 α2+π4 -π6 =sinα+π3 = 3 3 ,由-π2<α<0 得-π6<α+ π 3< π 3 , 所以cosα+π3 = 1-sin2 α+π3 = 63, 所 以 cosα= cosα+π3- π 3 = 12cos α+π3 + 3 2sinα+ π 3 =12× 63+ 32× 33=3+ 66 . 【真题体验】 1.C f(x)=cos2x-sin2x=cos2x, 选项A中:2x∈ -π,-π3 ,此时f(x)单调递增; 选项B中:2x∈ -π2 ,π 6 ,此时f(x)先递增后递减; 选项C中:2x∈ 0,2π3 ,此时f(x)单调递减; 选项D中:2x∈ π2 ,7π 6 ,此时f(x)先递减后递增. 故选C. 2.C 由题,f(x)= 2sin x3+ π 4 ,所以f(x)的最小正周 期为T=2π1 3 =6π,最大值为 2.故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵f(x)= tanx1-tan2x = 12 · 2tanx 1-tan2x = 1 2tan2x ,定义域为 x x≠kπ+π2 且x≠kπ+π4 . ∴f(x)= tanx1-tan2x 的最小正周期为π. 答案 π [示例2] 解析 因为α,β为锐角,所以cosα= 1-sin2α =2 55 ,cosβ= 1-sin2β= 3 10 10 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 高一数学(配XJ版) 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 2 5 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 , 又因为0<α+β<π,所以α+β= π 4. 答案 π4 作业(八) 复 数 【基础演练】 1.B 复数z=3-4i,则z的虚部是-4. 2.B 因 为z 为 纯 虚 数,所 以 m(m-1)=0, m2-1≠0 ⇒m=0,故 选B. 3.C 因为 z1-2i=i ,得到z=2+i,所以􀭵z=2-i. 4.B 由 2-yi i=y+2i=6+xi,得x=2,y=6,则yx =3. 【综合演练】 1.D z=i2+(k+1)i+k=(k-1)+(k+1)i, 因为复数z是纯虚数,所以 k-1=0 k+1≠0, 解得k=1. 2.C 由 题 意,在z+iz=i中,1+i z=i,即z= i1+i= i1-i 1+i 1-i = 1 2+ 1 2i , ∴􀭵z=12- 1 2i ,􀭵z = 12 2 + -12 2 = 22. 3.C 因为z=1-4i 3 1-i= 1+4i 1-i= (1+4i)(1+i) (1-i)(1+i)= -3+5i 2 , 所以复数z的实部与虚部分别是-32 ,5 2 ,则复数z的实 部与虚部之和为-32+ 5 2=1. 4.C 因为1+i是方程x2+px+q=0的根,所以(1+i)2+ p(1+i)+q=0⇒p+q+(2+p)i=0, ∵p,q∈R,∴p+q=0且2+p=0,故选C. 5.C 根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复平 面内以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,而|z|表示复数z到 原点的距离, 由图可知,|z|min= 12+(-2)2-1= 5-1. 6.AD 因为z=12+ 3 2i ,所以􀭵z=12- 3 2i , 所以z􀭵z= 1 2+ 3 2i 12- 32i =14+34=1, 故A正确; 复数z的虚部为 32 ,故B错误; z2= 1 2+ 3 2i 2 =14- 3 4+ 3 2i=- 1 2+ 3 2i , 所以z2≠􀭵z,故C错误; 若复数z1 满足 z1-z =1,设z1=a+bi(a,b∈R), 则点 a,b 的轨迹是以 1 2 ,3 2 为圆心,半径为1的圆, 所以 z1 的最大值为 1 2 2 + 3 2 2 +1=2, 故D正确,故选AD. 7.解析 由 题 意,复 数 满 足(1+i)z=2i,则 z= 2i1+i= 2i·(1-i) (1+i)(1-i)= 2i+2 2 =1+i , 所以|z|= 12+12= 2. 答案 2 8.解析 由题意得z= (-1+2i)(2+i) i = (-4+3i)i i·i =3+4i , 则􀭵z=3-4i,所以􀭵z的虚部为-4. 答案 -4 【真题体验】 1.B 由题意可得z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i1-1+i= i2+i i2 =2i-1-1 =1-2i,则􀭵z=1+2i.故选B. 2.A 因为z=1-i2+2i= 1-i 1-i 21+i 1-i = -2i 4 =- 1 2i , 所以z=12i ,即z-z=-i.故选A. 3.C 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以 2a=2 1-a2=0 ,解得a=1.故选C. 4.C 5 (1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i. 故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 (1)当m 满足m2+3m+2=0, 且m2-2m-2>0, 即m=-2或m=-1时,z是实数. (2)当m 满足m2+3m+2≠0且m2-2m-2=1, 即m=3时,z是纯虚数. [示例2] 解析 设x0 是方程的实数根,代入方程并整理得 (x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0, ∴ x20+kx0+2=0, 2x0+k=0, 解得 x0= 2, k=-2 2 或 x0=- 2,k=2 2, ∴实数k的值为±2 2. 答案 ±2 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94—