作业(一)任意角与弧度制、任意角的三角函数-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

高一数学(配RJB版) 第一部分 温故知新 任意角与弧度制、任意角的三角函数 1.角的概念的推广 (1)定义:一条射线绕其端点旋转到另一条 射线所形成的图形称为角,这两条射线分 别称为角的始边和终边. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、 零角. 按终边位置不同分为象限角和 轴线角. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的 角,可构成一个集合S={β|β=α+k· 360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆 心角为1弧度的角,记作1rad. (2)公式 角α的弧度 数公式 α=lr (弧长用l表示) 角度与弧度 的换算 180°=πrad;n180= α π (n为角度 数,α为弧度数) 弧长公式 弧长l=|α|r 扇 形 面 积 公式 S=12lr= 1 2αr 2 3.任意角的三角函数 定义:对于任意角α来说,设P(x,y)是α 终边上异于原点的任意一点,r= x2+y2, 则sinα=yr ,cosα=xr ,tanα=yx (x≠0). 1.下列说法正确的是 ( ) A.不相等的角终边必不同 B.始边与终边均相同的角一定相等 C.第三象限的角不一定大于第二象限的角 D.第四象限的角一定是负角 2.下列与角2π5 的终边一定相同的角是 ( ) A.7π5 B.k ·360°+2π5 ,k∈Z C.2kπ+2π5 ,k∈Z D.(2k+1)π+2π5 ,k∈Z 3.若cosα<0,且tanα>0,则角α的终边在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已 知 角 α 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 P -3 1010 ,10 10 ,则sinα+cosα= ( ) A.- 105 B.- 10 10 C.1010 D. 10 5 5.已知半径为120mm的圆上,有一条弧的长 是144mm,则该弧所对的圆心角为 ( ) A.35 B. 3 5π C. 6 5 D. 6 5π 1.已知角α=563°,那么α的终边在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —1— 2.若角α与β终边相同,则一定有 ( ) A.α+β=180° B.α+β=0° C.α-β=k·360°,k∈Z D.α+β=k·360°,k∈Z 3.在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 ( ) A.7π10 B. 10π 9 C.9π D.10π 4.若 角α 的 终 边 过 点B m,-2 m≠0 , 则下列选项正确的是 ( ) A.cosα<0 B.cosα>0 C.sinα<0 D.tanα>0 5.(多 选)如 图,A,B 是单位圆上的两个 点,点 B 的坐标为 1,0 ,∠xOA = 60°,点A 以1rad/s 的角速度,点 B 以 2rad/s的角速度均按逆时针方向开始在 单位圆上运动,则 ( ) A.1s时,∠BOA 的弧度数为π3+3 B.π12s 时,扇形AOB 的弧长为π4 C.π6s 时,扇形AOB 的面积为π12 D.13s 时,点A,点B 在单位圆上第一次 重合 6.已知角α 的终边经过点P m,-3 ,且 tanα=512 ,则sinα= . 7.已知0<β<π,若将角β的终边顺时针旋 转2π 3 ,所得的角的终边与角3β的终边重 合,则角β= . 8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2), 且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范 围是 . 9.已知角α 的终边在直线y= 2x 上,求 sinα+cosα的值. (2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角,则 ( ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 易错一 忽略终边相同角的公式中分类讨 论致错 [示例1] 已知集合M= xx=kπ2+ π 4 ,k∈Z , N= xx=kπ4+ π 2 ,k∈Z ,则有 ( ) A.M=N B.M ⫌N C.M⫋N D.M∩N=⌀ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 弧度制下终边相同的角的公式中π的系数为偶 数,若题中出现的π的系数为整数,则要利用分类 讨论的思想方法确定. 易错二 应用三角函数的定义求值时遗漏 终边的位置 [示例2] 在平面直角坐标系中,角α的终 边在直线3x+4y=0上,求sinα-3cosα+ tanα的值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 终边落在直线3x+4y=0上,即终边在第二或第 四象限,需分类讨论.利用三角函数的定义求值时 必须明确终边的条件,清楚其在坐标系中的位置. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —2— 高一数学(配RJB版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 任意角与弧度制、 任意角的三角函数 【基础演练】 1.C 2.C 3.C 4.A 5.C 【综合演练】 1.C 因为α=563°=360°+203°,又180°<203°<270°,所以 α的终边在第三象限. 2.C 角α与β终边相同,则α=k·360°+β,k∈Z,只有C选 项满足,故选C. 3.B 200°=200× π180rad= 10π 9 rad ,因 为 半 径 为1,所 以 200°的圆心角所对的弧长为10π9 ,故选B. 4.C 因为角α的终边过点B m,-2 m≠0 ,所以sinα= -2 m2+4 <0,即C正确;又cosα= m m2+4 ,符号不确定, 即A、B不正确;tanα=-2m ,符号不确定,即D不正确. 5.BC 1s时,点A 按逆时针方向运动1rad,点B 按逆时针 方向运动2rad,此时∠BOA 的弧度数为π3-1 ,故A不正 确;π 12s 时,∠BOA 的弧度数为π12+ π 3-2× π 12= π 4 ,故 扇形 AOB 的 弧 长 为 π4 ×1= π 4 ,故 B正 确;π6 s 时, ∠BOA 的弧度数为π6+ π 3-2× π 6= π 6 ,故扇形AOB 的 面积为S=12× π 6×1 2=π12 ,故C正确;设ts时,点A,点 B 在单位圆上第一次重合,则t+π3=2t ,解得t=π3 s , 故D不正确.故选BC. 6.解析 由题设tanα=-3m = 5 12 ,则m=-365 ,所以sinα= -3 -365 2 + -3 2 =- 3 1296 25 +9 =-339 5 =-513. 答案 -513 7.解析 角β的终边顺时针旋转 2π 3 得到β- 2π 3 ,它与3β边重 合,所以3β=β- 2π 3+2kπ ,k∈Z,所以β=- π 3+kπ ,k∈Z, 又0<β<π,所以只能令k=1,β= 2π 3. 答案 2π3 8.解析 由cosα≤0,sinα>0,可知 3a-9≤0 , a+2>0, 解得-2<a ≤3,故实数a的取值范围是(-2,3]. 答案 -2,3 9.解析 在角α的终边上任取一点P(x,y), 则y= 2x.当x>0时,r= x2+y2= 3x, sinα+cosα=yr + x r = 6 3+ 3 3= 6+ 3 3 ; 当x<0时,r= x2+y2=- 3x,sinα+cosα=yr + x r =- 63- 3 3=- 6+ 3 3 . 【真题体验】 D 由 题 意,知- π2+2kπ<α<2kπ (k∈Z),所 以-π+ 4kπ<2α<4kπ(k∈Z),所 以cos2α≤0或cos2α>0, sin2α<0,故选D. 【易误警示】 [示例1] C 因为集合 M 表示终边在第一、三象限或第二、 四象限的角平分线上的角的集合,集合 N 表示终边在坐 标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角 平分线上的角的集合,故 M⫋N. [示例2] 解析 当角α的终边在射线y=-34x (x>0)上 时,取终边上一点P(4,-3),所以点P 到坐标原点的距离 r=|OP|=5,所以sinα=yr = -3 5 =- 3 5 ,cosα=xr = 4 5 ,tanα=yx =- 3 4. 所以sinα-3cosα+tanα=-35- 12 5- 3 4=- 15 4. 当角α的终边在射线y=-34x (x<0)上时,取终边上一 点P'(-4,3), 所以点P'到坐标原点的距离r=|OP'|=5,所以sinα= y r = 3 5 ,cosα=xr =- 4 5 ,tanα=yx = 3 -4=- 3 4. 所以sinα-3cosα+tanα=35-3× - 4 5 -34=35+ 12 5- 3 4= 9 4. 综上,sinα-3cosα+tanα的值为-154 或9 4. 作业(二) 同角三角函数的基本关系式 及诱导公式 【基础演练】 1.D 2.B 3.A 4.D 5.A 【综合演练】 1.C 由 题 设 得 sinα= - 35 ,所 以 tanα= -34 ,则 tan π-α =-tanα=34. 2.B 因为sinθ-sin π2+θ =sinθ-cosθ= 2,由题意可 得 sinθ-cosθ= 2, sin2θ+cos2θ=1, 解得 sinθ= 22 , cosθ=- 22 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因此,tanθ=sinθcosθ=-1. 3.C ∵sin 5π6+θ =sin π3+θ+π2 =cos π3+θ , ∵-π2<θ< π 6 ,∴-π6< π 3+θ< π 2 , 且sin π3+θ =14>0, ∴cos π3+θ = 1- 14 2 = 154 , 即sin 5π6+θ =cos π3+θ = 154 .故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54—