作业(五)正切函数的图象和性质-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

正切函数的图象和性质 正切函数的图象和性质 函数 y=tanx 图象 定义域 x x≠π2+kπ ,k∈Z 值域 R 最小正 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在 每 一 个 开 区 间 -π2+kπ ,π 2+kπ (k∈Z)上都是单调递增的 对称性 对称中心 kπ 2 ,0 (k∈Z) 零点 kπ,k∈Z 1.若函数f(x)=tanωx-π6 ω>0 的最小 正周期为1,则f 13 的值为 ( ) A.3 B.- 3 C.33 D.- 3 3 2.函数f(x)=tan3x-π6 的定义域是( ) A.xx≠kπ+2π9 ,k∈Z B.R C.xx≠2π9 D.xx≠kπ3+ 2π 9 ,k∈Z 3.函数y=tansinx 的值域是 ( ) A.-π4 ,π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B.- 22 ,2 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.[-tan1,tan1] D.[-1,1] 4.已知函数y=-2tan π6x+ π 3 ,则 ( ) A.增区间为 6k-5,6k+1 (k∈Z) B.增区间为 6k-1,6k+5 (k∈Z) C.减区间为 6k-5,6k+1 (k∈Z) D.减区间为 6k-1,6k+5 (k∈Z) 5.已 知 函 数 f(x)=2tan x2- π 6 -1, 则f(x)的对称中心为 . 1.下列函数中最小正周期为π,且为偶函数 的是 ( ) A.y=cos2x+π2 B.y= sinx C.y=tanx D.y=cos3x 2.函数y=tanx-π6 ,x∈ -π6,5π12 的值 域为 ( ) A.- 3,1 B.-1,33 C.-∞,- 3 ∪(1,+∞) D. 3 3 ,1 3.函数f(x)=-tanx-sinx+|tanx-sinx| 在区间 π 2 ,3π 2 上的图象是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01— 高一数学(配RJB版) 4.(多选)已知函数f(x)=tan2x-π3 ,则 ( ) A.f0 = 3 B.f(x)最小正周期为π2 C.2π3 ,0 为f(x)的一个对称中心 D.f(x)在 5π12 ,7π 12 上单调递增 5.已知函数y=tanωx 在 -π2 ,π 2 内是减 函数,则 ( ) A.0<ω<1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 6.不等式tan2x≥1的解集为 . 7.已知函数f(x)=tan3x+φ φ ≤ π 4 的图 象关于点 -π9 ,0 对称,则φ= . 8.设函数f(x)=tanx2- π 3 . (1)求函数的定义域、周期和单调区间; (2)求不等式f(x)≤ 3的解集. (2023·北京卷)已知命题p:若α,β为第 一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.能说明 p为假命题的一组α,β的值为α= , β= . 易错一 忽略正切函数的定义域 [示例1] 若- 3<tanx≤-1,则x的取值 集合为 ( ) A.2kπ-π3 ,2kπ-π4 (k∈Z) B.2kπ+π2 ,2kπ+3π4 (k∈Z) C.kπ-π3 ,kπ-π4 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z) D.kπ-π3 ,kπ+π4 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 正切函数的定义域为 x x≠π2+kπ ,k∈Z ,在解 与正切函数的定义域有关的问题时,要首先满足 正切函数的定义域. 易错二 错误运用正切函数的单调性 [示例2] 若a=tan2,b=tan3,c=tan5,则 ( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 正切函数在 kπ-π2 ,kπ+π2 (k∈Z)上单调递 增,而不是在整个定义域上单调递增,要比较函 数值的大小,如果自变量不在同一单调区间内, 要利用诱导公式进行转化后再利用单调性比较 大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— 易知函数y=sin2x是奇函数,排除A; x∈ 0,π2 时,2x∈(0,π),则y=cos2x 是 减 函 数,排 除B; 根据函数y=sinx 在 0,π2 上单调递增,且其最小正周 期为2π,则y=f(x)= sinx 在 0,π2 上单调递增,其 最小正周期为π,且f -x =|sin(-x)|=|-sinx|= |sinx|=f(x),又因为其定义域为 R,则其为偶函数,故C 正确,故选C. 3.BC 因 为 f (x)=cos x2+ π 5 ,f -2π5 = cos -π5+ π 5 =1≠0,A错误;f 8π5 =cos4π5+π5 =-1,B正 确;f x+3π5 =cos 12 x+3π5 +π5 = cos x2+ π 2 =-sinx2,所以f x+3π5 是奇函数,C正 确;易知f(-x)≠f(x),所以f(x)不是偶函数,D错误. 4.A 因为-1≤cosx≤1,y=sin2x-3cosx+2=-cos2x- 3cosx+3=- cosx+32 2 +214 ,故当cosx=-1时,函 数y=sin2x-3cosx+2取最大值,且ymax=-1+3+3 =5. 5.C 因为α,β∈ 0,π ,且α>β,而y=sinx 在 0,π 上有 增有减,故sinα与sinβ大 小 关 系 不 确 定;y=cosx 在 0,π 上单调递减,若α>β,则cosα<cosβ成立.故选C. 6.ACD 因为函数f(x)=cosx,所以f(x)是偶函数,A选 项正确.f π =cosπ=-1,所 以 B选 项 错 误.将 函 数 f(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短 到原来的1 2 ,再将所得图象向右平移π 12 个单位长度后得 到 函 数 g(x)=cos 2x-π12 =cos 2x-π6 , g π6-x =cos 2 π6-x -π6 = cos π6-2x = cos2x-π6 =g(x),所 以 C 选 项 正 确.g -π6 = cos -π2 =0,所以D选项正确. 7.解析 当cosx=1时,即 x=2kπ,k∈Z 时,函 数y= -2cosx+10取最小值8. 答案 x|x=2kπ,k∈Z 8.解析 (1)设z=12x+ π 6 ,∵y=cosz,z∈R的单调递增 区间是 -π+2kπ,2kπ (k∈Z), ∴令-π+2kπ≤12x+ π 6≤2kπ ,k∈Z,解得-7π3+4kπ≤ x≤- π3 +4kπ ,k∈Z,∴函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 -7π3+4kπ ,-π3+4kπ (k∈Z). (2)∵x∈ -π,4π3 ,∴z=12x+π6∈ -π3,5π6 , ∴由余弦函数y=cosz的性质,当12x+ π 6= 5π 6 , 即x=4π3 时,cos 12x+ π 6 的 最 小 值 为cos5π6=- 32, 此时f 4π3 =-2 3, ∴当 x=4π3 时,f(x)在 区 间 -π,4π3 上 的 最 小 值 为 -2 3. 【真题体验】 1.C 由 图 可 得 函 数 图 象 过 点 -4π9 ,0 ,将 它 代 入 函 数 f(x)可 得cos -4π9 ·ω+π6 =0,又 -4π9,0 是 函 数 f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以-4π9 ·ω+π6 =-π2 ,解得ω=32 ,所以函数f(x)的最小正周期为T= 2π ω= 2π 3 2 =4π3. 2.解析 f(T)=cosφ= 3 2 ,且0<φ<π,故φ= π 6 ,f π9 =cos π9ω+ π 6 =0⇒π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z)⇒ω= 3+9k,k∈Z,又ω>0,故ω的最小值为3. 答案 3 【易误警示】 [示例1] 解析 f(x)=cos π3-2x =cos 2x-π3 , 令2kπ-π≤2x- π3≤2kπ ,k∈Z,解 得- π3+kπ≤x≤ π 6+kπ ,k∈Z,所以单调递增区间为 -π3+kπ ,π 6+kπ (k∈Z). 答案 -π3+kπ ,π 6+kπ (k∈Z) [示例2] 解析 由题意,函数满足cos2x-π6 >0,解得 -π6+kπ<x< π 3+kπ ,k∈Z,又由y=cos2x-π6 的单 调递减区间得2kπ<2x-π6< π 2+2kπ ,即π 12+kπ<x< π 3+kπ ,k∈Z,综 上 所 述,函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 π 12+kπ ,π 3+kπ (k∈Z). 答案 π12+kπ ,π 3+kπ (k∈Z) 作业(五) 正切函数的图象和性质 【基础演练】 1.C 2.D 3.C 4.C 5.kπ+π3 ,-1 (k∈Z) 【综合演练】 1.B 对于A,y=cos2x+π2 =-sin2x 为奇函数,不符 合题意;对于B,作出y= sinx 的图象如图, 可知函数y= sinx 最小正周期为π,且为偶函数,符合 题意; 对于C,y=tanx为奇函数,不符合题意; 对于D,y=cos3x 的 最 小 正 周 期 为2π3 ,不 符 合 题 意,故 选B. 2.A 设 z=x- π6 ,因 为 x∈ -π6 ,5π 12 ,所 以 z∈ -π3 ,π 4 ,因为正 切 函 数y=tanz在 -π2,π2 上 为 单调递 增 函 数,且tan -π3 =- 3,tan π4 =1,所 以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 高一数学(配RJB版) tanz∈ - 3,1 .∴ 函 数 y =tan x-π6 ,x ∈ -π6 ,5π 12 的值域为 - 3,1 ,故选A. 3.B 当x∈ π2 ,π 时,tanx<0<sinx, ∴f(x)=-tanx-sinx+ tanx-sinx =-2tanx, 当x∈ π,3π2 时,tanx>0>sinx, ∴f(x)=-tanx-sinx+ tanx-sinx =-2sinx,由选 项可判定B选项图象正确. 4.BCD f 0 =tan -π3 =- 3,A错误; f(x)=tan2x-π3 的最小正周期为π2,B正确; 当x=2π3 时,f 2π3 =tan2·2π3-π3 =0, 所以 2π 3 ,0 为f(x)的一个对称中心,C正确; 当x∈ 5π12 ,7π 12 时,2x- π3 ∈ π2,5π6 ,y=tanx 在 π 2 ,5π 6 上单调递增,D正确.故选BCD. 5.B 因为函数y=tanωx在 -π2 ,π 2 内是单调函数,所 以最小正周期T≥π,即 πω ≥π ,所以0< ω ≤1. 又函数y=tanωx在 -π2 ,π 2 内是减函数,则根据复合 函数单调性判定知ω<0.综上,-1≤ω<0. 6.解析 不等式tanx≥1的解集为 x kπ+π4≤x<kπ+ π 2 , k∈Z .由tan2x≥1可得kπ+π4≤2x<kπ+π2,k∈Z,解得 kπ 2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z,所以不等式tan2x≥1的解集为 x kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z 答案 x kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z 7.解析 因为f(x)=tan3x+φ φ ≤ π 4 的图象关于点 -π9 ,0 对称,所以-π3+φ=kπ2,k∈Z,所以φ=π3+ kπ 2 ,k∈Z,因为 φ ≤ π 4 ,所以φ=- π 6. 答案 -π6 8.解析 (1)根据函数f(x)=tan x2- π 3 ,可得x2-π3≠ kπ+π2 ,k∈Z,求 得 x≠2kπ+5π3 ,故 函 数 的 定 义 域 为 x x≠2kπ+5π3 ,k∈Z .周期为π1 2 =2π. 令kπ-π2< x 2- π 3<kπ+ π 2 ,k∈Z, 得2kπ-π3<x<2kπ+ 5π 3 , 故函数的单调递增区间为 2kπ-π3 ,2kπ+5π3 (k∈Z). (2)不等式f(x)≤ 3,即tan x2- π 3 ≤ 3, 所以kπ-π2< x 2- π 3≤kπ+ π 3 , 求得2kπ-π3<x≤2kπ+ 4π 3 , 故不等式的解集为 2kπ-π3 ,2kπ+4π3 (k∈Z). 【真题体验】 解析 因为f(x)=tanx在 0,π2 上单调递增,若0<α0 <β0< π 2 ,则tanα0<tanβ0.取α=2k1π+α0,β=2k2π+β0, k1,k2∈Z,则tanα=tan 2k1π+α0 =tanα0,tanβ= tan2k2π+β0 =tanβ0,即tanα<tanβ. 令k1>k2,则α-β= 2k1π+α0 - 2k2π+β0 =2k1-k2 π + α0-β0 ,因为2k1-k2 π≥2π,- π 2<α0-β0<0 ,则 α-β=2k1-k2 π+ α0-β0 > 3π 2>0 ,即k1>k2,则α> β.不妨取k1=1,k2=0,α0= π 4 ,β0= π 3 , 即α=9π4 ,β= π 3 满足题意. 答案 9π4 π 3 【易误警示】 [示例1] C 在 -π2 ,π 2 这个周期内,- 3<tanx≤-1 所对应的区间是 -π3 ,-π4 ,故在R上,-3<tanx≤-1 的解集为 kπ-π3 ,kπ-π4 (k∈Z). [示例2] D 因为tan5=tan(5-π),π2<5-π<2<3<π , 又函数y=tanx在区间 π2 ,3π 2 上是增函数, 所以tan(5-π)<tan2<tan3, 所以tan5<tan2<tan3. 即c<a<b.故选D. 作业(六) 向量的数量积 【基础演练】 1.A 2.C 3.C 4.- 55 【综合演练】 1.B A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则AB→=(-4,-3), AC→=(-2,4),cos∠BAC= AB →·AC→ |AB→|·|AC→| = 8-12 5×2 5 = -2 525. 2.A 由 于a∥c,b⊥c,所 以 1×6=3m , 3n+12=0, 解 得 m=2,n= -4,所以a+b=(1,2)+(-4,2)=(-3,4),所以|a+b| = (-3)2+42=5. 3.A ∵|a|=4,∴4m=4,解得m=1,即b=(1,1),cos<a,b>= a·b |a||b|= 4 4× 2 = 22 ,又<a,b>∈[0,π],∴a和b 的夹角大 小为π 4. 4.D 向量a,b都是单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)2=a2 +b2-2a·b=2-2a·b=1,解得2a·b=1,所以|a+b| = (a+b)2= a2+b2+2a·b= 3. 5.A 因为AB→·AC→=2AB→·AD→,所以AB→·AC→-AB→·AD→ =AB→·DC→=AB→·AD→,∵AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4, 所以2|AB→|=|AB→|·|AD→|cos π4,可得 AD → =2 2, 所以AC→·AD→=(AD→+DC→)·AD→=AD→2+AD→·DC→=8+ 2 2×2×cosπ4=12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94—