作业(四)余弦函数的图象和性质-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

余弦函数的图象和性质 余弦函数的图象和性质 函数 y=cosx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 最值 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=π+ 2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 单调性 在区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增; 在区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减 零点 π 2+kπ ,k∈Z 对称轴 x=kπ,k∈Z 对称 中心 π 2+kπ ,0 (k∈Z) 1.下列函数为奇函数的是 ( ) A.y= sinx +cosx B.y= cosx +sinx C.y= sinx ·cosx D.y= cosx ·sinx 2.函数f(x)=cos -2x-π6 的最小正周 期是 ( ) A.2π B.π C.π2 D. π 4 3.函数y=cosx和y=sinx都是增函数的 区间是 ( ) A.π2 ,π􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B.0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.-π2 ,0􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.-π,-π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 4.下列函数中,周期为π且在区间 π2 ,π 上单调递增的是 ( ) A.y=cos2x B.y=sin2x C.y=cos12x D.y=sin 1 2x 5.函数y=cos2x+π3 的单调递增区间是 ( ) A.kπ-π12 ,kπ+5π12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 k∈Z B.kπ-7π12 ,kπ-π12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 k∈Z C.kπ-2π3 ,kπ-π6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 k∈Z D.kπ-π6 ,kπ+π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 k∈Z 1.若f(x)=cos2x+φ 0<φ<π 为奇函 数,则φ= ( ) A.π6 B. π 3 C. π 2 D. 3π 4 2.在下列函数既是 0,π2 上的增函数,又是 以π为最小正周期的偶函数的是 ( ) A.y=sin2x B.y=cos2x C.y= sinx D.y=sinx 3.(多选)已知函数f(x)=cosx2+ π 5 ,则 ( ) A.f(x)的图象关于 -2π5 ,0 对称 B.f(x)的图象关于直线x=8π5 对称 C.fx+3π5 为奇函数 D.f(x)为偶函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —8— 高一数学(配RJB版) 4.函数y=sin2x-3cosx+2的最大值为( ) A.5 B.214 C.-1 D.1 5.设α,β∈ 0,π ,且α>β,则下列不等关系 一定成立的是 ( ) A.sinα<sinβ B.sinα>sinβ C.cosα<cosβ D.cosα>cosβ 6.(多选)将函数f(x)=cosx的图象上所有 点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1 2 , 再将所得图象向右平移π 12 个单位长度后 得到函数g(x)的图象,则下列叙述正确 的是 ( ) A.函数f(x)是偶函数 B.函数f(x)的一个对称中心是 π,0 C.若x1+x2= π 6 ,则gx1 =gx2 D.函数g(x)的一个对称中心是 -π6 ,0 7.函数y=-2cosx+10取最小值时,自变 量x的取值集合是 . 8.已知函数f(x)=4cos12x+ π 6 ,x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)求f(x)在区间 -π,4π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最小值. 1.(2020· 全 国 卷 Ⅰ)设 函 数 f(x)= cosωx+π6 在[-π,π]的图象大致如图, 则f(x)的最小正周期为 ( ) A.10π9 B. 7π 6 C.4π3 D. 3π 2 2.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 T.若 f(T)= 32 ,x=π9 为f(x)的零点,则ω的 最小值为 . 易错一 不理解单调性的概念致错 [示例1] 函数f(x)=cos π3-2x 的单调 递增区间为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用整体代换法求函数y=Acos(ωx+φ)或y= Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的单调区间时,如果式 子中x的系数为负数,应先利用诱导公式将x 的 系数变为正数再求其单调区间. 易错二 忽略函数的定义域致错 [示例2] 函数f(x)=log12cos2x- π 6 的 单调递增区间为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于复合函数的单调性或单调区间问题,通常采 用“同增异减”原则求解,但要注意函数本身的定 义域,通常忽视函数的定义域是解答的一个易 错点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —9— 高一数学(配RJB版) 误;函数y=sin(2x-5)的图象沿x轴向左平移3个单位, 得函数y=sin 2x+3 -5 =sin 2x+1 的图象,故C 错误;函数y=sin(2x+4)的图象沿x 轴向右平移3个单 位,得函数y=sin[2(x-3)+4]=sin(2x-2)的图象,故 D正确. 6.C 画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象. ∵sinπ3= 3 2 ,∴sin π+π3 =- 32, sin2π-π3 =- 32. 即在[0,2π]内,满足sinx=- 32 的x值为4π3 或5π 3. 可知不等式sinx<- 32 的解集是 4π 3 ,5π 3 . 7.AC 函 数 f(x)=sin 2x-π6 ,对 于 A:f 4π3 = sin 8π3- π 6 =1,故A正确;对于B:由于x∈ π4,7π12 , 所以2x-π6∈ π 3 ,π ,故函数在该区间上有增有减,故 B错误;对于C:将函数f(x)=sin 2x-π6 图象上的所 有 点 向 左 平 移 π 6 个 单 位,得 到 函 数 y = sin2x+π6 -π6 =sin 2x+π6 的图象,故C正确; 对于D:函数f(x)-a>f π6 ,整理得a<sin2x-π6 -12 ,求出函数g(x)=sin2x-π6 -12的最小值即可, 由于x∈ 0,π2 ,所以2x-π6∈ -π6,5π6 ,故当x=0 时,g(x)取得最小值-1,故a<-1,故D错误. 8.解析 f(x)=-2cos2x-2sinx+3=-21-sin2x - 2sinx+3=2sin2x-2sinx+1,令y=2sin2x-2sinx+1, t=sinx,y=2t2-2t+1,t∈ -1,1 ,当t=--24 = 1 2 时,ymin=2× 1 4-2× 1 2+1= 1 2. 答案 12 9.解析 若给出条件:周期 T=π,则ω=2ππ=2 ,此时y= 3sin2x+φ .由 对 称 轴 方 程 是x= π 6 ,则2× π6+φ= π 2+kπ ,k∈Z.取k=0,得φ= π 6. 此时y=3sin2x+π6 , 符合题意. 答案 周期T=π(答案不唯一) 10.解析 (1)由f(x)=2sin2ωx-π6 的最小正周期为π, 得 2π 2ω =π , ∵ω>0,∴ω=1,f(x)=2sin 2x-π6 ,令-π2+2kπ≤ 2x-π6≤ π 2+2kπ ,得-π6+kπ≤x≤ π 3+kπ , 故f(x)的单调递增区间为 -π6+kπ ,π 3+kπ k∈Z . (2)因为x∈ 0,5π12 ,所以2x-π6∈ -π6,2π3 , 所以当2x-π6= π 2 ,即x=π3 时,f(x)取得最大值2. 【真题体验】 1.D 因为y=2sin3x=2sin 3x-π15 +π5 ,所以把函 数y=2sin3x+π5 图象上的所有点向右平移π15个单位 长度即可得到函数y=2sin3x的图象.故选D. 2.解析 设A x1, 1 2 ,B x2,12 ,则x2-x1=π6, ωx2+φ-(ωx1+φ)= 5 6π- π 6= 2π 3 ,ω(x2-x1)= 2π 3 , ∴ω=4,f 23π =sin 8π3+φ =0,8π3+φ=kπ(k∈Z), φ=- 8 3π+kπ (k∈Z),k=2时,φ= - 2 3π ,f(x)= sin4x-23π 满足条件. ∴f(π)=sin -23π =- 32. 答案 - 32 【易误警示】 [示例1] C 方 程3sinx=x 的 实 根 个 数 等 于 函 数y= 3sinx与函数y=x的交点个数,做出函数y=3sinx与函 数y=x的图象,如下图所示. 由图可知,函数y=3sinx与函数y=x的图象的交点个数 为3个.故选C. [示例2] 解析 函数f(x)=2sin-2x+π3 =-2sin2x-π3 , 令π 2+2kπ≤2x- π 3≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,解得5π12+kπ≤x≤ 11π 12+kπ ,k∈Z,令k=0得5π12≤x≤ 11π 12 ,所以函数f(x)= 2sin -2x+π3 在[0,π]上的单调递增区间为 5π12,11π12 . 答案 5π12 ,11π 12 作业(四) 余弦函数的图象和性质 【基础演练】 1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 【综合演练】 1.C f(x)=cos2x+φ 0<φ<π 为奇函数,则φ= π 2+ kπ,k∈Z,又0<φ<π,故φ= π 2. 2.C 选项A、B、C中函数的最小正周期都是π,而选项D中 函数不是周期函数,其图象如图所示, 排除D; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74— 易知函数y=sin2x是奇函数,排除A; x∈ 0,π2 时,2x∈(0,π),则y=cos2x 是 减 函 数,排 除B; 根据函数y=sinx 在 0,π2 上单调递增,且其最小正周 期为2π,则y=f(x)= sinx 在 0,π2 上单调递增,其 最小正周期为π,且f -x =|sin(-x)|=|-sinx|= |sinx|=f(x),又因为其定义域为 R,则其为偶函数,故C 正确,故选C. 3.BC 因 为 f (x)=cos x2+ π 5 ,f -2π5 = cos -π5+ π 5 =1≠0,A错误;f 8π5 =cos4π5+π5 =-1,B正 确;f x+3π5 =cos 12 x+3π5 +π5 = cos x2+ π 2 =-sinx2,所以f x+3π5 是奇函数,C正 确;易知f(-x)≠f(x),所以f(x)不是偶函数,D错误. 4.A 因为-1≤cosx≤1,y=sin2x-3cosx+2=-cos2x- 3cosx+3=- cosx+32 2 +214 ,故当cosx=-1时,函 数y=sin2x-3cosx+2取最大值,且ymax=-1+3+3 =5. 5.C 因为α,β∈ 0,π ,且α>β,而y=sinx 在 0,π 上有 增有减,故sinα与sinβ大 小 关 系 不 确 定;y=cosx 在 0,π 上单调递减,若α>β,则cosα<cosβ成立.故选C. 6.ACD 因为函数f(x)=cosx,所以f(x)是偶函数,A选 项正确.f π =cosπ=-1,所 以 B选 项 错 误.将 函 数 f(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短 到原来的1 2 ,再将所得图象向右平移π 12 个单位长度后得 到 函 数 g(x)=cos 2x-π12 =cos 2x-π6 , g π6-x =cos 2 π6-x -π6 = cos π6-2x = cos2x-π6 =g(x),所 以 C 选 项 正 确.g -π6 = cos -π2 =0,所以D选项正确. 7.解析 当cosx=1时,即 x=2kπ,k∈Z 时,函 数y= -2cosx+10取最小值8. 答案 x|x=2kπ,k∈Z 8.解析 (1)设z=12x+ π 6 ,∵y=cosz,z∈R的单调递增 区间是 -π+2kπ,2kπ (k∈Z), ∴令-π+2kπ≤12x+ π 6≤2kπ ,k∈Z,解得-7π3+4kπ≤ x≤- π3 +4kπ ,k∈Z,∴函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 -7π3+4kπ ,-π3+4kπ (k∈Z). (2)∵x∈ -π,4π3 ,∴z=12x+π6∈ -π3,5π6 , ∴由余弦函数y=cosz的性质,当12x+ π 6= 5π 6 , 即x=4π3 时,cos 12x+ π 6 的 最 小 值 为cos5π6=- 32, 此时f 4π3 =-2 3, ∴当 x=4π3 时,f(x)在 区 间 -π,4π3 上 的 最 小 值 为 -2 3. 【真题体验】 1.C 由 图 可 得 函 数 图 象 过 点 -4π9 ,0 ,将 它 代 入 函 数 f(x)可 得cos -4π9 ·ω+π6 =0,又 -4π9,0 是 函 数 f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以-4π9 ·ω+π6 =-π2 ,解得ω=32 ,所以函数f(x)的最小正周期为T= 2π ω= 2π 3 2 =4π3. 2.解析 f(T)=cosφ= 3 2 ,且0<φ<π,故φ= π 6 ,f π9 =cos π9ω+ π 6 =0⇒π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z)⇒ω= 3+9k,k∈Z,又ω>0,故ω的最小值为3. 答案 3 【易误警示】 [示例1] 解析 f(x)=cos π3-2x =cos 2x-π3 , 令2kπ-π≤2x- π3≤2kπ ,k∈Z,解 得- π3+kπ≤x≤ π 6+kπ ,k∈Z,所以单调递增区间为 -π3+kπ ,π 6+kπ (k∈Z). 答案 -π3+kπ ,π 6+kπ (k∈Z) [示例2] 解析 由题意,函数满足cos2x-π6 >0,解得 -π6+kπ<x< π 3+kπ ,k∈Z,又由y=cos2x-π6 的单 调递减区间得2kπ<2x-π6< π 2+2kπ ,即π 12+kπ<x< π 3+kπ ,k∈Z,综 上 所 述,函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 π 12+kπ ,π 3+kπ (k∈Z). 答案 π12+kπ ,π 3+kπ (k∈Z) 作业(五) 正切函数的图象和性质 【基础演练】 1.C 2.D 3.C 4.C 5.kπ+π3 ,-1 (k∈Z) 【综合演练】 1.B 对于A,y=cos2x+π2 =-sin2x 为奇函数,不符 合题意;对于B,作出y= sinx 的图象如图, 可知函数y= sinx 最小正周期为π,且为偶函数,符合 题意; 对于C,y=tanx为奇函数,不符合题意; 对于D,y=cos3x 的 最 小 正 周 期 为2π3 ,不 符 合 题 意,故 选B. 2.A 设 z=x- π6 ,因 为 x∈ -π6 ,5π 12 ,所 以 z∈ -π3 ,π 4 ,因为正 切 函 数y=tanz在 -π2,π2 上 为 单调递 增 函 数,且tan -π3 =- 3,tan π4 =1,所 以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84—