作业(十五)空间中的垂直关系-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

空间中的垂直关系 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线 与一个平面内 的两条相交直 线垂直,则这条 直线与这个平 面垂直 m⊂α, n⊂α, m ∩n ≠⌀, l⊥m, l⊥n, 则l⊥α 性质 定理 如果两条直线 垂直于同一个 平面,那么这两 条直线平行 l⊥α m⊥α ⇒l∥m 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的斜线和它在平面内的射影 所成的锐角称为这条斜线与平面所成的 角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角 是直角;一条直线和平面平行或在平面内, 则它们所成的角是0°的角. (2)范围:0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 . 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形称为二面角,这条直线称为二 面角的棱,这两个半平面称为二面角的面. (2)二面角的平面角:在二 面角α-l-β 的棱上任取一 点O,以O 为垂足,分别在 半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和 OB,则射线OA 和OB 所成的角称为二面 角的平面角. (3)二面角的范围:[0,π]. 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 如果一个平面 经过另一个平 面的一条垂线, 则这两个平面 互相垂直 l⊂α l⊥β ⇒ α⊥β 性 质 定 理 如果两个平面 互相垂直,那么 在一个平面内 垂直于它们交 线的直线垂直 于另一个平面 如果α⊥ β,α∩β= m,AO⊂ α,AO ⊥ m,则 AO ⊥β 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于 平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内 的直线 可 能 相 交,可 能 异 面,也 可 能 平行 C.若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α 2.下列条件能使直线m⊥平面α的是( ) A.m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B.m⊥b,b∥α C.m∩b=A,b⊥α D.m∥b,b⊥α 3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β 的关系是 ( ) A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 高一数学(配RJB版) 4.(2023·开封高一期中) 在四棱锥P ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,且 ABCD 为正方形,则此 四棱锥表面中互相垂直的面有 ( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 5.(2023·廊坊高一期中)已知平面α与平面β 交于直线l,且直线a⊂α,直线b⊂β,且直线 a,b,l不重合,则下列命题错误的是 ( ) A.若α⊥β,a⊥b,且b与l不垂直,则a⊥l B.若α⊥β,b⊥l,则a⊥b C.若a⊥b,b⊥l,且a与l不平行,则α⊥β D.若a⊥l,b⊥l,则α⊥β 1.下面四个说法:①如果一条直线垂直于一 个平面内的无数条直线,那么这条直线和 这个平面垂直;②过空间一定点有且只有 一条直线和已知平面垂直;③垂直于同一 平面的两条直线互相平行;④经过一个平 面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正 确说法的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如 图,三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,底面三角形 A1B1C1 是 正 三 角 形, E是 BC 的中点,则下 列叙述正确的是( ) A.直线CC1 与直线B1E 相交 B.CC1 与AE 共面 C.AE 与B1C1 是异面直线但不垂直 D.平面AB1E 垂直于平面CBB1C1 3.如 图,在 四 棱 锥 P ABCD 中,底 面 ABCD 是 边 长 为 a 的正方形,PA⊥平 面ABCD.若PA=a, 则直 线 PB 与 平 面 PCD 所成的角的大小为 ( ) A.π6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 4.(多选)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,BC= AC,AC1⊥A1B,M,N 分别 是A1B1,AB 的中点,那么 下列结论正确的有 ( ) A.B1C1⊥平面AA1C1C B.A1B⊥NB1 C.平面A1BC⊥平面AMC1 D.平面AMC1∥平面CNB1 5.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱AA1⊥ 底 面 ABC,底 面 是 以 ∠ABC为直角的等腰三 角形,AC=2,BB1=3, D 是A1C1 的中点,点F 在线段 AA1 上,当 AF= 时, CF⊥平面B1DF. 6.在四棱锥P ABCD 中, AB∥CD,AD=2,AB= 2,CD=2 2,△PAD 为等 边 三 角 形,∠PDC =∠ADC=45°. (1)证明:平面PDC⊥平面PBC; (2)求点C到平面PAB 的距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— 1.(多选)(2021·新高考全国卷Ⅱ)如图, 在正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱 的中点,M,N 为正方体的顶点.则满足 MN⊥OP 的是 ( ) 2.(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C; (2)设 AB=A1B,AA1=2,求 四 棱 锥 A1-BB1C1C的高. 易错一 对面面垂直的判定定理理解不到 位致错 [示例1] 如图,点 P 在正方体ABCD A1B1C1D1 的面对角线BC1 上运动,有下 面四个结论:①三棱锥A D1PC 的体积 不变;②A1P∥平面 ACD1;③DP⊥BC1; ④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确结论 的序号是 .(写出所有你认为正确 结论的序号) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题易忽视点P 在BC1 上运动时,平面PDB1 内 的B1D⊥平面ACD1,导致无法证明平面PDB1⊥ 平面ACD1 而漏选④.一条直线与一个平面垂直, 则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线,线 线垂直、线面垂直和面面垂直之间是可以相互转 化的,应准确掌握,灵活应用. 易错二 对线面垂直的性质应用不当致错 [示例2] 已知m,n为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α, l⊄β,则 ( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线与l垂直 D.α与β相交,且交线与l平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题时,容易忽视α∥β时,可由条件推出m∥n, 与m,n为异面直线矛盾,导致错选A.也容易忽视 构造辅助平面γ,无法利用线面垂直的性质定理证 明线线平行,导致错选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 9.解析 存在G 为AB 中点,使得平面EFG∥平面PAC,证 明如下: 当G 为AB 中点,连接FG,GE,EF,AC, 又F 是PB 的中点,E 是BC 的中点, 所以EF∥PC,FG∥PA, 而EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC, 所以EF∥平面PAC, 同理可证FG∥平面PAC, 又EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面PAC, 综上,G 为AB 中点时,平面EFG∥平面PAC. 【真题体验】 1.A 连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, M 是A1D 的中点,所以 M 为AD1 中点, 又 N 是D1B 的中点,所以 MN∥AB, MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以 MN∥平面ABCD. 因为AB 不垂直于BD,所以 MN 不垂直于BD, 则 MN 不垂直于平面BDD1B1,所以选项B,D不正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AD1⊥A1D, AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D, AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABD1, 所以A1D⊥平面ABD1, D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B, 且直线A1D 与D1B 是异面直线, 所以选项C错误,选项A正确.故选A. 2.(1)证明 过点E 作EE'⊥AB 于点E',过点F 作FF'⊥ BC于点F',连接E'F'(图略). ∵底面ABCD 是边长为8的正方形,△EAB,△FBC 均为 正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直, ∴EE'⊥AB,FF'⊥BC, ∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD, ∴EE'∥FF', 又EE'=FF'=8× 32=4 3 , ∴四边形EE'F'F 为平行四边形. ∴EF∥E'F', ∴E'F'⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2)解析 同理,过点G,H 分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA, 交CD,DA 于 点G',H',连 接 F'G',G'H',H'E',AC(图 略),由(1)及 题 意 可 知,G',H'分 别 为CD,DA 的 中 点, EFGH E'F'G'H'为长方体,故该包装盒可分成一个长方 体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD 是边长为8的正方形可得E'F'=H'E'= 1 2AC=4 2 , ∴所求该包装盒的容积为V=VEFGH E'F'G'H'+4VAEE'H'H =E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H × 1 4AC=4 2× 4 2×4 3+13×4 3×4 2×8 2= 640 3 3 . 【易误警示】 [示例1] 解析 如图,连接BC1,交 B1D 于 点F,连 接 EF.因 为 平 面 A1BC1∩平面B1DE=EF,A1B∥ 平面B1DE,所以 A1B∥EF,所以 A1E EC1 =BFFC1 . 因为 BC∥B1C1,易 得 △BDF∽ △C1B1F,所以 BF C1F = BDC1B1 .因为D 是BC 的中点, 所以 BD C1B1 =12 ,所以A1E EC1 =12. 答案 12 [示例2] D 根据题意作出图形,如图,其中,E,F,G,H, P,Q,M,N 分别为所在棱的中点,所以PN∥B1D1.因为 PN⊄平面DBB1D1,B1D1⊂平面 DBB1D1,所以PN∥平 面DBB1D1.同 理 可 证 GF∥平 面 DBB1D1.因 为 四 边 形 BCC1B1 是平行四边形,N,F 分别是B1C1,BC 的中点,所 以 NF∥BB1.又 因 为 NF⊄平 面 DBB1D1,BB1⊂平 面 DBB1D1,所以 NF∥平面 DBB1D1.同理可证 PG∥平面 DBB1D1.又因为PN∩NF=N,PN,NF⊂平面 PNFG, 所以平面PNFG∥平面DBB1D1.因为PF⊂平面PNFG, NG⊂平面 PNFG,所以 PF∥平面 DBB1D1,NG∥平 面 DBB1D1.同理可证QM,ME,EH,HQ,QE,MH 也与平面 DBB1D1 平行,所 以 与 平 面 DBB1D1 平 行 的 直 线 共 有 12条. 作业(十五) 空间中的垂直关系 【基础演练】 1.AC 2.D 3.D 4.B 5.D 【综合演练】 1.C 如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直,这 条直线可能在平面内,可能与平面平行,也可能与平面斜 交,故①错误; 由线面垂直的性质可知,过空间一定点有且只有一条直线 和已知平面垂直,故②正确; 由线面垂直的性质可知,垂直同一平面的两条直线互相平 行,故③正确; 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平面 与这个平面垂直,故④正确. 2.A 在 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,CE∥B1C1,且 CE= 1 2B1C1 ,所以四 边 形 CEB1C1 为 梯 形,直 线 CC1 与 直 线 B1E 相交,故A正确; 由几何图形易知CC1 与AE 为异面直线,故B错误; AE 与B1C1 是 异 面 直 线,且 三 角 形 ABC 是 正 三 角 形, AE⊥BC,又BC∥B1C1,则AE⊥B1C1,故C错误; 在三棱柱中未给出侧面CBB1C1 与上下底面的关系,不能 判断 AE 是 否 与 平 面CBB1C1 垂 直,故 无 法 判 断 平 面 AB1E 与平面CBB1C1 是否垂直,故D错误;故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— 高一数学(配RJB版) 3.A 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面 ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥ CD,又底面ABCD 是边长为a 的正方形,所以CD⊥AD, 又PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以 CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,设B 到 平面PCD 的距离为h,直线PB与平面PCD 所成的角为θ, 则PB= 2a,PD= 2a,所以VBPCD =VPBCD,即 1 3× 1 2× 2a×a×h=13× 1 2×a×a×a ,所以h= 2a2 ,所以sinθ= h PB= 2a 2 2a =12 ,又θ∈ 0,π2 ,所以θ=π6. 4.BCD 因为B1C1 与A1C1 不一定垂直,所以B1C1 与平面 AA1C1C不一定垂直,故A错误. 由侧棱AA1⊥平面 A1B1C1,可得 AA1⊥C1M.由B1C1= A1C1 及 M 为A1B1 的中点,可得C1M⊥A1B1. 又因为 AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平 面 A1ABB1, 所以 C1M⊥平 面 A1ABB1,A1B⊂平 面 A1ABB1,从 而 C1M⊥A1B. 已 知 AC1⊥A1B,C1M ∩AC1 =C1,C1M,AC1 ⊂ 平 面 AMC1,所以 A1B⊥平 面 AMC1,从 而 平 面 A1BC⊥平 面 AMC1,A1B⊥AM. 又 MB1∥AN,MB1=AN,所以 ANB1M 是平行四边形, 所以AM∥NB1,A1B⊥NB1,所以B和C正确. AM∥NB1,AM⊄平 面 CNB1,NB1⊂平 面 CNB1,所 以 AM∥平面CNB1,同理 MC1∥平面CNB1,MC1∩AM= M,MC1,AM ⊂ 平 面 AMC1,所 以 平 面 AMC1 ∥ 平 面 CNB1,故D正确. 5.解析 由 已 知 得 B1D⊥平 面 ACC1A1,又 CF⊂ 平 面 ACC1A1,所以B1D⊥CF,若CF⊥平面B1DF,则必有CF⊥ DF,设AF=x(0<x<3),则CF2=x2+4,DF2=1+(3-x)2, CD2=12+32=10,所以由CF2+DF2=CD2,得x2+4+ 1+(3-x)2=10,解得x=1或x=2,所以当AF=1或2 时,CF⊥平面B1DF. 答案 1或2 6.(1)证明 取 CD 的 中 点E,连 接 PE,AE,如 图,易 知 DE= 2,PD =2,∠PDE=45°,在△PDE 中,由 余弦定 理 得,PE2=PD2+DE2- 2PD·DEcos∠PDE=2,则 DE2+ PE2=PD2,故PE⊥CD,由AD=2, DE= 2,∠ADE=45°,同理可得 AE= 2,且 AE⊥CD, 故∠AEP 为二面角A DC P 的平面角,又 PA=2,则 AE2+PE2=PA2,故∠PEA=90°,故 平 面 PDC⊥平 面 ABCD,又CE 与AB 平行且相等,且∠AEC=90°,则四边 形ABCE 为矩形,故BC⊥CD.又BC⊂平面ABCD,平面 PDC∩平面 ABCD=CD,故BC⊥平面 PDC,又BC⊂平 面PBC,则平面PDC⊥平面PBC. (2)解析 连 接 AC,设 点 C 到 平 面PAB 的 距 离 为h, 由(1)得平面ABCD⊥平面PCD,PE⊥CD,由面面垂直的 性质定理,同理可得PE⊥平面ABCD,VCPAB =VPABC,即 1 3S△PAB ·h=13S△ABC ·PE,∵PE⊥CD,AE⊥CD,PE∩ AE=E,PE,AE⊂平面AEP,则CD⊥平面AEP,又AB∥ CD,故AB⊥平面AEP,PA⊂平面AEP,故PA⊥AB,故 S△PAB= 1 2×2× 2= 2 ,故 2 3 ·h=13× 1 2× 2× 2× 2,解得h=1. 即点C到平面PAB 的距离为1. 【真题体验】 1.BC 设正方体的棱长为2, 对于A,如图1所示,连接AC,则 MN∥AC, 故∠POC(或其补角)为异面直线 OP,MN 所成的角, 直角三角形OPC,OC=2,CP=1, 故tan∠POC=1 2 = 22 , 故 MN⊥OP 不成立,故A错误. 对于B,如图2所示,取 NT 的 中点为Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥ NT,PQ⊥MN, 由 正 方 体 SBCM-NADT 可 得 SN⊥平 面 NADT,而 OQ⊂平 面 NADT, 故SN⊥OQ,而SN∩MN=N, 故OQ⊥平面SNTM, 又 MN⊂ 平 面 SNTM,OQ⊥ MN,而OQ∩PQ=Q, 所以 MN⊥平面OPQ,而 PO⊂平面OPQ,故 MN⊥OP, 故B正确. 对 于 C,如 图 3,连 接 BD,则 BD∥MN,由 B 的 判 断 可 得 OP⊥BD, 故OP⊥MN,故C正确. 对于D,如 图4,取 AD 的 中 点 Q,AB 的中点K,连接AC,PQ, OQ,PK,OK, 则AC∥MN, 因为 DP=PC,故 PQ∥AC,故 PQ∥MN, 所以∠QPO 或其补角为异面直线PO,MN 所成的角, 因为 正 方 体 的 棱 长 为 2,故 PQ= 12AC= 2 ,OQ= AO2+AQ2= 1+2= 3, PO= PK2+OK2= 4+1= 5,OQ2<PQ2+PO2,故 ∠QPO 不是直角, 故PO,MN 不垂直,故D错误.故选BC. 2.(1)证明 因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC, 又∠ACB=90°,即AC⊥BC, A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C, 所以BC⊥平面ACC1A1, 又BC⊂平面BCC1B1, 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. (2)如图所示, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 过点A1 作A1O⊥CC1,垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1, 平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1, A1O⊂平面ACC1A1, 所以A1O⊥平面BCC1B1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC,A1C⊥AC, 又A1B=AB,BC为公共边, 所以△ABC与△A1BC全等,所以A1C=AC. 设A1C=AC=x,则A1C1=x, 所以O 为CC1 中点,OC1= 1 2AA1=1 , 又A1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA12, 即x2+x2=22,解得x= 2,即A1C1= 2, 所以A1O= A1C12-OC12= (2)2-12=1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 【易误警示】 [示例1] 解析 连接 AC,A1C1,A1B,AD1,D1C,A1P(图 略).因为AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C 是 平行四边形,所以 AC∥A1C1.又因为 AC⊄平面 A1BC1, A1C1⊂平 面 A1BC1,所 以 AC∥平 面 A1BC1.同 理 可 证 AD1∥平面A1BC1.又因为AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面 ACD1,且AC∩AD1=A,所以平面 ACD1∥平面 A1BC1. 因为A1P⊂平面 A1BC1,所以 A1P∥平面 ACD1,故②正 确.因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,所以点P 到 平面ACD1 的距离不变.又因为VAD1PC =VPACD1,所以三 棱锥A D1PC 的 体 积 不 变,故 ① 正 确.连 接 DB,DC1, DP,B1D(图略).因为DB=DC1,所以当P 为BC1 的中点 时才 有 DP⊥BC1,故 ③ 错 误.因 为 BB1⊥平 面 ABCD, AC⊂平 面 ABCD,所 以 AC⊥BB1.又 因 为 AC⊥BD, BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,所以 AC⊥平面 BB1D1D.因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理 可证B1D⊥AD1.又 因 为 AC⊂平 面 ACD1,AD1⊂平 面 ACD1,AC∩AD1=A,所 以 B1D⊥平 面 ACD1.又 因 为 B1D⊂平 面 PDB1,所 以 平 面 PDB1⊥平 面 ACD1,故 ④ 正确. 答案 ①②④ [示例2] D 若α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得m∥n, 这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交. 设α∩β=a,过空间内一点P,作m'∥m,n'∥n,则 m'与n' 相交,m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m,l⊥n,所以l⊥ m',l⊥n',所以l⊥γ. 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 第二部分 新知预习 作业(十六) 空间向量及其线性运算 知识点1 【即学即练】 1.ABC 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量 或相反向量. 2.D A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定; C中,向量不能比较大小. 知识点2 【即学即练】 1.C PM→-PN→+MN→=NM→+MN→=NM→-NM→=0. 2.AB A中,A1D1 →-A1A→-AB→=AD1→-AB→=BD1→; B中,BC→+BB1→-D1C1→=BC1→+C1D1→=BD1→; C中,AD→-AB→-DD1→=BD→-DD1→=BD→-BB1→=B1D→≠BD1→; D中,B1D1 →-A1A→+DD1→=BD→+AA1→+DD1→=BD1→+AA1→ ≠BD1 →. 知识点3 【即学即练】 1.B MN→=MA→+AB→+BN→=12a+(b-a)+ 1 2 (c-b)= -12a+ 1 2b+ 1 2c. 2.解析 BE→=12(BP →+BD→)=12(-b+BA →+BC→) =-12b+ 1 2 (PA→-PB→+PC→-PB→) =-12b+ 1 2 (a+c-2b)=12a- 3 2b+ 1 2c. 答案 12a- 3 2b+ 1 2c 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标为 (2,-2),在第四象限.故选D. 2.B sin46°cos16°-sin44°sin164°=sin46°cos16°- cos46°sin16°=sin(46°-16°)=sin30°=12 ,故选B. 3.B 因为向量a=(3,1),b=(x,-3),b⊥a, 所以 3x-3=0,解得x= 3,所以b=(3,-3),则a-b= (0,4),设a-b与a 的夹角为θ,则cosθ= (a-b)·a a-b a = 4 4×2= 1 2 ,因为θ∈[0,π],所以θ=π3 ,即θ=60°,故选B. 4.C 由正弦定理 asinA= b sinB 可得sinA=asinBb = 3×23 4 =12. 5.A 由sinα-cosα=15 平方得1-2sinαcosα=125⇒2sinα · cosα=2425 , sin2α+2cos2 π2+α 1-tan(π-α) = 2sinαcosα+2sin2α 1+tanα =2sinα (cosα+sinα) cosα+sinα cosα =2sinαcosα=2425. 6.C 由题意可得圆锥体的母线长为l= 62+42=2 13, 所以圆 锥 体 的 侧 面 积 为 1 2 ·12π·2 13=12 13π, 圆柱体的侧面积为12π×6=72π,圆柱的底面面积为π× 62=36π,所以此陀螺的表面积为12 13π+72π+36π= (108+12 13)π(cm2),故选C. 7.A f(x)=m·n=12sinωx+ 3 2cosωx=sin ωx+ π 3 (ω>0), ∵f(x)的 一 条 对 称 轴 为 x=5π6 ,f(x)一 个 对 称 中 心 为 π 3 ,0 , ∴ (2n+1)T 4 = 5π 6- π 3= π 2 ,n∈N, ∴ω=2n+1,n∈N, ∴ω为正奇数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—