作业(十四)空间中的平行关系-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

空间中的平行关系 1.直线与平面平行 (1)定义:如果直线l与平面α 没有公共 点,则l∥α. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 如果平面外的一 条直线和平面内 的一条直线平行, 那么这条直线和 这个平面平行 如 果l⊄ α,m⊂α, l∥m,则 l∥α 性 质 定 理 如果一条直线和 一个平面平行,且 经过这条直线的 平面与这个平面 相交,那么这条直 线就与两平面的 交线平行 如 果l∥ α,l⊂β, α∩β=m, 则l∥m 2.平面与平面平行 (1)定义:如果平面α与平面β 没有公共 点,则α∥β. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面 内有两条相交 直线分别平行 于另一个平面, 那么这两个平 面平行 如果l⊂ α,m⊂α, l∩m≠ ⌀,l∥ β,m∥β, 则α∥β 性质 定理 如果两个平行 平面同时与第 三个平面相交, 那么它们的交 线平行 如果α∥ β,α∩γ =l,β∩ γ = m, 则m∥l 1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α 的位 置关系是 ( ) A.相交 B.b∥α C.b⊂α D.b∥α或b⊂α 2.平面α∥平面β,直线l∥α,则 ( ) A.l∥β B.l⊂β C.l∥β或l⊂β D.l,β相交 3.若α为平面,则下列命题是真命题的是 ( ) A.若直线l平行于平面α 内的无数条直 线,则l∥α B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,直线b⊂平面α,则a∥α D.若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α 内的无数条直线 4.已知直线l⊂平面α,直线m⊂平面β,则下 面命题正确的是 ( ) A.l∥m⇒α∥β B.l∥m⇒α与β相交 C.l∩m=P⇒α∥β D.l∩m=P⇒α与β相交 5.(多选)(2023·阜阳高一期中)下列命题正 确的是 ( ) A.平面α∥平面β,一条直线a平行于平面 α,则a一定平行于平面β B.平面α∥平面β,则平面α内的任意一条 直线都平行于平面β C.一个三角形有两条边所在的直线分别 平行于一个平面,那么该三角形所在的 平面与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只 能是平行直线或异面直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 高一数学(配RJB版) 1.若m,n是空间两条不同的直线,α,β是空 间两个不同的平面,那么下列命题成立 的是 ( ) A.若α∥m,β∥m,那么α∥β B.若m∥α,n⊂α,那么m∥n C.若m∥n,n∥α,那么m∥α D.若α∥β,m⊂α,那么m∥β 2.(2023·西安高一期中)如图,已知平面 α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面 γ∩平面α=c,若a∥b,则c与a,b的位置 关系是 ( ) A.c与a,b都异面 B.c与a,b都相交 C.c至少与a,b中的一条相交 D.c与a,b都平行 3.如图,在正四棱锥S-ABCD 中,E 是BC 的 中点,P 点在侧面△SCD 内及其边界上运 动,并且总是保持PE∥平面SBD.则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有 可能是图中的 ( ) 4.已 知 点 E,F 分 别 是 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱AB,AA1 的中点,点 M, N 分别是线段D1E 与C1F 上的点,则满 足与平面ABCD 平行的直线 MN 有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 5.(多选)如图,空间四边形ABCD 中,E,F 分别是边AB,BC 的中点,G,H 分别在线 段DC,DA 上,且满足 DG=λDC,DH= μDA,λ,μ∈(0,1),则下列说法正确的是 ( ) A.当λ=μ= 1 2 时,四边形EFGH 是矩形 B.当λ=μ= 2 3 时,四边形EFGH 是梯形 C.当λ≠μ 时,四边形 EFGH 是空间四 边形 D.当λ≠μ 时,直 线 EH,FG,BD 相 交 于一点 6.(2023·朝阳高一期中)已知直线m 和平面 α,β.给出下列三个论断:①m∥α;②α∥β; ③m⊂β.以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件, 余下的一个论断作为结论,写出一个正确 的命题: . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 7.如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是 平行四边形,M,N 分别为线段PC,PB 上 一点,若PM∶MC=4∶1,且AN∥平面 BDM,则PN∶NB= . 8.如图,在三棱柱ABC A1B1C1 中,AA1⊥ 平面ABC,4AA1=3AB,△ABC是等边三 角形,D,E,F 分别是棱B1C1,AC,BC 的 中点,证明:AD∥平面C1EF. 9.如图 PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形, PA=AB=1,AD=2,点F是PB 的中点, 点E 是BC 的中点,线段AB 上是否存在 点G,使得平面 EFG∥平面 PAC? 若存 在,指出点G 位置并证明;若不存在,请说 明理由. 1.(2021·浙江卷)如图,已知正方体ABCD- A1B1C1D1,M,N 分别是A1D,D1B 的中 点,则 ( ) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥ 平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行,直线 MN⊥ 平面BDD1B1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— 高一数学(配RJB版) C.直线A1D 与直线D1B相交,直线 MN∥ 平面ABCD D.直线A1D 与直线D1B 异面,直线 MN⊥ 平面BDD1B1 2.(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践 活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如 图所示,底面 ABCD 是边长为8(单位: cm)的 正 方 形,△EAB,△FBC,△GCD, △HDA 均为正三角形,且它们所在的平 面都与平面ABCD 垂直. (1)证明:EF∥平面ABCD; (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的 厚度). 易错一 线面平行的性质定理应用不当 致错 [示例1] 如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,D 是BC 的中点,E 是A1C1 上一点, 且A1B∥ 平 面 B1DE,则 A1E EC1 的 值 为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用线面 平 行 的 性 质 定 理 解 决 相 关 的 计 算 问 题,一般要做辅助线或辅助面,此时要注意根据 线面平行的性质做辅助线或辅助面,不可盲目 的做,进而得到直线与直线的平行,再利用比例 关系计算. 易错二 对面面平行的性质理解不透彻 致错 [示例2] 四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底 面是平行四边形,过此四棱柱任意两条棱 的中点作直线,其中与平面DBB1D1 平行 的直线共有 ( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题易忽视两个平面平行,其中一个平面内 的所有直线与另一个平面平行. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 高一数学(配RJB版) 选项D正确,如图,因为a∥b,所以直线a,b确定一个平面 α.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平面β.因为l⊂α,l⊂ β,由“经过两条相交直线,有且只有一个平面”可知α与β 重合,所以a,b,c,l共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共线, 则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以点A 在 平面α内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平面α内. 所以 点 A,E 都 在 平 面α 内,即 A,B,C,D,E 五 点 一 定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C,D, E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一定 共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也可 能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(十四) 空间中的平行关系 【基础演练】 1.D 2.C 3.D 4.D 5.BCD 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项 A不正确;当 m∥α,n⊂α时,m,n可以是异面直线,因此选项B不正确; 当m∥n,n∥α时,存在 m⊂α这一情况,所以选项C不正 确;根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ,∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.A 分别取CD,SC的中点M,N,连接 MN,ME,NE, 又∵E 是BC 的中点,∴EM∥BD,EN∥SB, ∵EM,EN⊄平面SBD,BD,SB⊂平面SBD, ∴EM∥平面SBD,EN∥平面SBD, 又∵EM∩EN=E,EM,EN⊂平面EMN, ∴平面EMN∥平面SBD, ∴当P 在MN 上移动时,PE⊂平面EMN,此时能够保持 PE∥平面SBD, 则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是选项A. 4.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于 点N,M,连接 MN, 由面面平行的性质得 MN∥平面ABCD,由于平面KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 5.BC 选项A,在△ABC中,因为E,F 分别是边AB,BC 的 中点,所以EF∥AC 且EF=12AC ,当λ=μ= 1 2 时,H,G 分别为DA,DC 中点,所以在△DAC 中可得 HG∥AC 且 HG=12AC ,所以EF∥HG且EF=HG,所以四边形EFGH 是平行四边形,又E,H 分别为AB,AD 的中点,所以EH ∥BD,又EF∥AC,当BD⊥AC 时有EH⊥EF,平行四边 形EFGH 为矩形,所以四边形EFGH 不一定是矩形,A错 误;选项B,当λ=μ= 2 3 时,DG DC= DH DA = 2 3 ,所以 HG= 2 3AC ,且 HG∥AC,则由 A可知EF∥HG 且EF≠HG, 所以四边形EFGH 是梯形,B正确;选项C,当λ≠μ 时, EF 不平 行 于 HG,又 因 为 HG⊂平 面 ADC,EF⊄平 面 ADC,所以 HG,EF 是异面直线,四边形EFGH 是空间四 边形,C正确;选项D,不妨设直线EH,FG,BD 相交于一 点O, 因为EF∥AC,AC⊂平面ADC,EF⊄平面ADC,所以EF ∥平面ADC,又因为直线EH,FG 相交于点O,所以EF⊂ 平面EHGF,因为平面EHGF∩平面ADC=HG,所以EF ∥HG∥AC,所以可得λ=μ,矛盾,D错误.故选BC. 6.解析 将①②作条件,③作结论:若 m∥α,α∥β,则 m⊂β. 此命题为假命题(结论应为m⊂β或m∥β); 将①③作条件,②作结论:若 m∥α,m⊂β,则α∥β.此命题 为假命题(结论应为α与β相交或α∥β); 将②③作条件,①作结论:若α∥β,m⊂β,则 m∥α.由两平 面平行的性质可知此命题为真命题. 答案 若α∥β,m⊂β,则m∥α 7.解析 如图,连接 AC 交BD 于点O,连接CN 交BM 于 点G, 由AN∥平面BDM,可得AN∥OG, ∵OA=OC,∴CG=NG,∴G 为CN 的中点, 作 HN∥BM,∴CM=HM, ∵PM∶MC=4∶1,则PH∶HM=3∶1, ∴PN∶NB=PH∶HM=3∶1. 答案 3∶1 8.证明 连接BD. 因为 E,F 分 别 是 棱AC,BC 的 中 点,所以EF∥AB. 因为EF⊂平 面 C1EF,AB⊄平 面 C1EF,所以AB∥平面C1EF. 因为D,F 分别是棱B1C1,BC 的中 点,所以BF∥C1D,BF=C1D, 所 以 四 边 形 BDC1F 是 平 行 四 边形, 则BD∥C1F. 因为C1F⊂平面C1EF,BD⊄平面C1EF, 所以BD∥平面C1EF. 因为BD⊂平面ABD,AB⊂平面ABD,且 AB∩BD=B, 所以平面ABD∥平面C1EF, 因为AD⊂平面ABD,所以AD∥平面C1EF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— 9.解析 存在G 为AB 中点,使得平面EFG∥平面PAC,证 明如下: 当G 为AB 中点,连接FG,GE,EF,AC, 又F 是PB 的中点,E 是BC 的中点, 所以EF∥PC,FG∥PA, 而EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC, 所以EF∥平面PAC, 同理可证FG∥平面PAC, 又EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面PAC, 综上,G 为AB 中点时,平面EFG∥平面PAC. 【真题体验】 1.A 连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, M 是A1D 的中点,所以 M 为AD1 中点, 又 N 是D1B 的中点,所以 MN∥AB, MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以 MN∥平面ABCD. 因为AB 不垂直于BD,所以 MN 不垂直于BD, 则 MN 不垂直于平面BDD1B1,所以选项B,D不正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AD1⊥A1D, AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D, AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABD1, 所以A1D⊥平面ABD1, D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B, 且直线A1D 与D1B 是异面直线, 所以选项C错误,选项A正确.故选A. 2.(1)证明 过点E 作EE'⊥AB 于点E',过点F 作FF'⊥ BC于点F',连接E'F'(图略). ∵底面ABCD 是边长为8的正方形,△EAB,△FBC 均为 正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直, ∴EE'⊥AB,FF'⊥BC, ∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD, ∴EE'∥FF', 又EE'=FF'=8× 32=4 3 , ∴四边形EE'F'F 为平行四边形. ∴EF∥E'F', ∴E'F'⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2)解析 同理,过点G,H 分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA, 交CD,DA 于 点G',H',连 接 F'G',G'H',H'E',AC(图 略),由(1)及 题 意 可 知,G',H'分 别 为CD,DA 的 中 点, EFGH E'F'G'H'为长方体,故该包装盒可分成一个长方 体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD 是边长为8的正方形可得E'F'=H'E'= 1 2AC=4 2 , ∴所求该包装盒的容积为V=VEFGH E'F'G'H'+4VAEE'H'H =E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H × 1 4AC=4 2× 4 2×4 3+13×4 3×4 2×8 2= 640 3 3 . 【易误警示】 [示例1] 解析 如图,连接BC1,交 B1D 于 点F,连 接 EF.因 为 平 面 A1BC1∩平面B1DE=EF,A1B∥ 平面B1DE,所以 A1B∥EF,所以 A1E EC1 =BFFC1 . 因为 BC∥B1C1,易 得 △BDF∽ △C1B1F,所以 BF C1F = BDC1B1 .因为D 是BC 的中点, 所以 BD C1B1 =12 ,所以A1E EC1 =12. 答案 12 [示例2] D 根据题意作出图形,如图,其中,E,F,G,H, P,Q,M,N 分别为所在棱的中点,所以PN∥B1D1.因为 PN⊄平面DBB1D1,B1D1⊂平面 DBB1D1,所以PN∥平 面DBB1D1.同 理 可 证 GF∥平 面 DBB1D1.因 为 四 边 形 BCC1B1 是平行四边形,N,F 分别是B1C1,BC 的中点,所 以 NF∥BB1.又 因 为 NF⊄平 面 DBB1D1,BB1⊂平 面 DBB1D1,所以 NF∥平面 DBB1D1.同理可证 PG∥平面 DBB1D1.又因为PN∩NF=N,PN,NF⊂平面 PNFG, 所以平面PNFG∥平面DBB1D1.因为PF⊂平面PNFG, NG⊂平面 PNFG,所以 PF∥平面 DBB1D1,NG∥平 面 DBB1D1.同理可证QM,ME,EH,HQ,QE,MH 也与平面 DBB1D1 平行,所 以 与 平 面 DBB1D1 平 行 的 直 线 共 有 12条. 作业(十五) 空间中的垂直关系 【基础演练】 1.AC 2.D 3.D 4.B 5.D 【综合演练】 1.C 如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直,这 条直线可能在平面内,可能与平面平行,也可能与平面斜 交,故①错误; 由线面垂直的性质可知,过空间一定点有且只有一条直线 和已知平面垂直,故②正确; 由线面垂直的性质可知,垂直同一平面的两条直线互相平 行,故③正确; 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平面 与这个平面垂直,故④正确. 2.A 在 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,CE∥B1C1,且 CE= 1 2B1C1 ,所以四 边 形 CEB1C1 为 梯 形,直 线 CC1 与 直 线 B1E 相交,故A正确; 由几何图形易知CC1 与AE 为异面直线,故B错误; AE 与B1C1 是 异 面 直 线,且 三 角 形 ABC 是 正 三 角 形, AE⊥BC,又BC∥B1C1,则AE⊥B1C1,故C错误; 在三棱柱中未给出侧面CBB1C1 与上下底面的关系,不能 判断 AE 是 否 与 平 面CBB1C1 垂 直,故 无 法 判 断 平 面 AB1E 与平面CBB1C1 是否垂直,故D错误;故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85—