作业(十三)空间点、直线，平面之间的位置关系-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

高一数学(配RJB版) 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本事实与推论 (1)平面的基本事实(也称为公理) 基本事实1:经过不在一条直线上的3个 点,有且只有一个平面.也可简单说成:不 共线的3点确定一个平面. 基本事实2:如果一条直线上的两个点在 一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一 个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线. (2)平面的基本事实的推论 推论1:经过一条直线与直线外一点,有且 只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个 平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个 平面. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平 行 关 系 图形 语言 符号 语言 a∥b l∥α α∥β 相 交 关 系 图形 语言 符号 语言 a∩b=A m∩α=A α∩β=l 独 有 关 系 图形 语言 符号 语言 a,b是异 面直线 l⊂α 3.平行直线的传递性、等角定理 (1)平行直线的传递性:平行于同一条直线 的两条直线互相平行,用符号可表示为: 如果a∥b,a∥c,则b∥c. (2)等角定理:如果一个角的两边与另一个 角的两边分别对应平行,并且方向相同,那 么这两个角相等. 4.直线与直线所成的角 (1)一般地,如果a,b是空间中的两条异面 直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平 行或重合的直线a',b',则a',b'所成角的 大小,称为异面直线a与b所成角的大小. (2)范围:0,π2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . 1.空间两条互相平行的直线指的是 ( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的 两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条 直线 2.能确定一个平面的条件是 ( ) A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a, N∈b,M∈l,N∈l,则 ( ) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 4.在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中,直 线 A1B 与直线AC 的位置关系为 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 5.空间四点A,B,C,D 共面而不共线,那么 这四点中 ( ) A.必有某三点共线 B.必有某三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 1.在空间中,三条两两相交的直线最多可确 定的平面的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无数 2.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则 “a与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平 面β,且a∩b=P,则P∈l D.若n 条直线中任意两条共面,则它们 共面 3.两条直线a,b分别和异面直线c,d 都相 交,则直线a,b的位置关系是 ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.可能是平行直线 D.可能是异面直线,也可能是相交直线 4.如图,G,H,M,N 均是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点,则表示GH,MN 是异面直 线的图形的序号为 ( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 5.(2024·哈尔滨模拟)已 知 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2, BC=CC1=1,则异面直线AB1 与BC1 的 夹角的余弦值为 . 6.如图,设不全等的△ABC 与△A1B1C1 不 在同 一 个 平 面 内,且 AB∥A1B1,BC∥ B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1 三 线共点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 高一数学(配RJB版) 7.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 AB,CC1 的 中点. (1)求异面直线A1E 与D1F 的夹角的余 弦值; (2)求三棱锥A1 D1EF的体积. (2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P 为B1D1 的中点,则直线PB 与AD1 所成的角为 ( ) A.π2 B. π 3 C.π4 D. π 6 易错一 对基本事实理解不透彻致错 [示例1] 下列说法正确的是 ( ) A.空间中不同的三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个 平面 C.空间中有三个角为直角的四边形一定 是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一 定在同一个平面内 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 忽视基本事实1中的关键词“不在一条直线上”, 就会错选A;若对两两相交的三条直线的情况考 虑不全,就会错选B;空间想象能力不够,就会错 选C. 易错二 利用基本事实忽略前提条件致错 [示例2] 已知A,B,C,D,E 五点中,A,B, C,D 共面,B,C,D,E 共面,则A,B,C,D, E 五点的位置关系是 ( ) A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解本题时易误认为因为A,B,C,D 共面,所以点A 在B,C,D 所确定的平面内.因为B,C,D,E 共面, 所以点E 也在B,C,D 所确定的平面内,所以点 A,E 都在B,C,D 所确定的平面内,即A,B,C,D, E 五点一定共面,以上错解忽略了“不在一条直线 上的三个点”这个重要条件,实际上B,C,D 三点 有可能共线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— PC2-OC2= 3 3 2 2 - 3 2 2 = 6,所以圆锥的体积 V=13π×OA 2×PO=13π× (3) 2 × 6= 6π. 故选B. 2.C 如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m), 所以该棱台的体积V=13×9× (140+ 140×180+180) ×106=60×(16+3 7)×106≈60×(16+3×2.65)× 106=1.437×109≈1.4×109(m3),故选C. 【易误警示】 [示例1] B 由题图可知,AB⊥AC, AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2, 所以S△ABC= 1 2×1×2=1. 故选B. [示例2] 解析 如图,旋转之后形 成的图形为圆台去掉一个半球体. 则旋转一周所形成的几何体的体积 为1 3×4× (4π+25π+ 4π×25π)- 1 2× 4 3π×2 3=140π3 . 答案 140π3 作业(十三) 空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 【综合演练】 1.C 在空间中,两两相交的三条直线 最多可以确定3个平面,如图所示. PA,PB,PC相交于一点P,若PA, PB,PC不共面,则PA,PB 确定一 个平面PAB,PB,PC 确 定 一 个 平 面 PBC,PA,PC 确 定 一 个 平 面PAC. 2.AC 对于A,正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b相 交”,也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,正方体 的侧棱 任 意 两 条 都 共 面,但 这4条 侧 棱 却 不 共 面,故 D 错误. 3.D 已知直线c与d 是异面直线,设 直线a与直线c 和直线d 分别交于 点A,B,直线b与直线c和直线d 分 别交于点C,D,根据题意可得当点D 与点B 重合时,两条直线相交,当点 D 与点B 不重合时,两条直线异面, 所以直线a,b的位置 关 系 是 异 面 或 相交. 4.D 在题图②④中,直线GH,MN 是异 面直线;在题图①中,由G,M 均为所在 棱的中点,易得GH∥MN;在题图③中, 连接GM,由G,M 均为所在棱的中点, 所以 GM∥NH,且 GM=12NH ,易得 四边形 GMNH 为 梯 形,则 GH 与 MN 相交. 5.解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD A1B1C1D1, 则所 求 角 为 ∠BC1D 或 其 补 角,∵BC1 = 2,BD = 22+1-2×2×1×cos60°= 3,C1D=AB1= 5,易 得 C1D2=BD2+BC21,即BC1⊥BD,因此cos∠BC1D= BC1 C1D = 2 5 = 105 . 答案 105 6.证明 不妨设AB≠A1B1,则四边形AA1B1B 为梯形, ∴AA1 与BB1 相交,设其交点为S,则S∈AA1,S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1. 同理可证,S∈平面ACC1A1,∴点S 在平面BCC1B1 与平 面ACC1A1 的交线上, 即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1 三线共点. 7.解析 (1)如 图,设 BB1 的 中 点 为 H,连 接 HF,EH,A1H,因 为 F 是 CC1 的中点,所以A1D1∥CB∥HF, A1D1 =CB = HF,因 此 四 边 形 A1D1FH 是平行四边形,所以D1F∥ A1H,D1F=A1H,因此∠EA1H 是异 面直线A1E与D1F的夹角或其补角, 因为正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为2,E 是AB 的中 点,所以A1E=A1H= 22+12= 5,EH= 12+12= 2, 由余 弦 定 理 可 知,cos∠EA1H= A1E2+A1H2-EH2 2A1E·A1H = 5+5-2 2× 5× 5 =45 ,所以异面直线 A1E 与D1F 的夹角的余 弦值为4 5. (2)因 为 A1D1∥HF,HF⊄平 面 A1D1E,A1D1⊂平 面 A1D1E,所 以 HF∥平 面 A1D1E,因 此 点 H,F 到 平 面 A1D1E 的距 离 相 等,即VA1 D1EF =VFA1D1E =VH A1D1E = VD1 A1EH,VD1-A1EH = 1 3 D1A1 ·S△A1EH = 1 3 ×2× 22-12×2×1×2- 1 2×1×1 =1,所以三棱锥A1 D1EF 的体积为1. 【真题体验】 D 如图,∠PBC1 为直线PB 与AD1 所成的角. 易知△A1BC1 为 正 三 角 形,又 P 为 A1C1 中 点,所 以 ∠PBC1= π 6. 【易误警示】 [示例1] D 空间中共线的三点 不能确定一个平面,所以选项 A 错误;空间中两两相交的三条直 线交于同一点时,可能确定一个 平面也可能确定三个平面,所以选项B错误;空间中有三 个角为直角的四边形可能是空间图形,所以选项C错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— 高一数学(配RJB版) 选项D正确,如图,因为a∥b,所以直线a,b确定一个平面 α.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平面β.因为l⊂α,l⊂ β,由“经过两条相交直线,有且只有一个平面”可知α与β 重合,所以a,b,c,l共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共线, 则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以点A 在 平面α内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平面α内. 所以 点 A,E 都 在 平 面α 内,即 A,B,C,D,E 五 点 一 定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C,D, E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一定 共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也可 能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(十四) 空间中的平行关系 【基础演练】 1.D 2.C 3.D 4.D 5.BCD 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项 A不正确;当 m∥α,n⊂α时,m,n可以是异面直线,因此选项B不正确; 当m∥n,n∥α时,存在 m⊂α这一情况,所以选项C不正 确;根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ,∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.A 分别取CD,SC的中点M,N,连接 MN,ME,NE, 又∵E 是BC 的中点,∴EM∥BD,EN∥SB, ∵EM,EN⊄平面SBD,BD,SB⊂平面SBD, ∴EM∥平面SBD,EN∥平面SBD, 又∵EM∩EN=E,EM,EN⊂平面EMN, ∴平面EMN∥平面SBD, ∴当P 在MN 上移动时,PE⊂平面EMN,此时能够保持 PE∥平面SBD, 则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是选项A. 4.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于 点N,M,连接 MN, 由面面平行的性质得 MN∥平面ABCD,由于平面KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 5.BC 选项A,在△ABC中,因为E,F 分别是边AB,BC 的 中点,所以EF∥AC 且EF=12AC ,当λ=μ= 1 2 时,H,G 分别为DA,DC 中点,所以在△DAC 中可得 HG∥AC 且 HG=12AC ,所以EF∥HG且EF=HG,所以四边形EFGH 是平行四边形,又E,H 分别为AB,AD 的中点,所以EH ∥BD,又EF∥AC,当BD⊥AC 时有EH⊥EF,平行四边 形EFGH 为矩形,所以四边形EFGH 不一定是矩形,A错 误;选项B,当λ=μ= 2 3 时,DG DC= DH DA = 2 3 ,所以 HG= 2 3AC ,且 HG∥AC,则由 A可知EF∥HG 且EF≠HG, 所以四边形EFGH 是梯形,B正确;选项C,当λ≠μ 时, EF 不平 行 于 HG,又 因 为 HG⊂平 面 ADC,EF⊄平 面 ADC,所以 HG,EF 是异面直线,四边形EFGH 是空间四 边形,C正确;选项D,不妨设直线EH,FG,BD 相交于一 点O, 因为EF∥AC,AC⊂平面ADC,EF⊄平面ADC,所以EF ∥平面ADC,又因为直线EH,FG 相交于点O,所以EF⊂ 平面EHGF,因为平面EHGF∩平面ADC=HG,所以EF ∥HG∥AC,所以可得λ=μ,矛盾,D错误.故选BC. 6.解析 将①②作条件,③作结论:若 m∥α,α∥β,则 m⊂β. 此命题为假命题(结论应为m⊂β或m∥β); 将①③作条件,②作结论:若 m∥α,m⊂β,则α∥β.此命题 为假命题(结论应为α与β相交或α∥β); 将②③作条件,①作结论:若α∥β,m⊂β,则 m∥α.由两平 面平行的性质可知此命题为真命题. 答案 若α∥β,m⊂β,则m∥α 7.解析 如图,连接 AC 交BD 于点O,连接CN 交BM 于 点G, 由AN∥平面BDM,可得AN∥OG, ∵OA=OC,∴CG=NG,∴G 为CN 的中点, 作 HN∥BM,∴CM=HM, ∵PM∶MC=4∶1,则PH∶HM=3∶1, ∴PN∶NB=PH∶HM=3∶1. 答案 3∶1 8.证明 连接BD. 因为 E,F 分 别 是 棱AC,BC 的 中 点,所以EF∥AB. 因为EF⊂平 面 C1EF,AB⊄平 面 C1EF,所以AB∥平面C1EF. 因为D,F 分别是棱B1C1,BC 的中 点,所以BF∥C1D,BF=C1D, 所 以 四 边 形 BDC1F 是 平 行 四 边形, 则BD∥C1F. 因为C1F⊂平面C1EF,BD⊄平面C1EF, 所以BD∥平面C1EF. 因为BD⊂平面ABD,AB⊂平面ABD,且 AB∩BD=B, 所以平面ABD∥平面C1EF, 因为AD⊂平面ABD,所以AD∥平面C1EF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—