作业(十六)空间向量及其线性运算-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

高一数学(配RJB版) 第二部分 新知预习 空间向量及其线性运算 知识点1 空间向量的概念 1.空间中既有大小又有方向的量称为空间向 量,向量的大小也称为向量的模(或长度). 空间向量可用有向线段表示,有向线段的 长度表示向量的模,向量a 的始点是A, 终点是B,则向量a也可记作AB →,其模记 为|a|或|AB → |. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量, 记为0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a 大小相等、方向相反的向 量,称为a的相反向量,记为-a 向量共线 如果两个非零向量的方向相同或者 相反,则称这两个向量平行(也称为 两个向量共线) 相等的 向量 大小相等、方向相同的向量称为相等 的向量 3.共面向量:一般地,空间中的多个向量, 如果表示它们的有向线段通过平移之后, 都能在同一平面内,则称这些向量共面; 否则,称这些向量不共面. [注意] (1)向量的模可以比较大小,任意两个向量可 以相等,但不能比较大小. (2)共线向量不一定具有传递性,比如0. (3)向量书写时必须加“→”. (4)单位向量方向不确定. [即学即练] 1.(多选)下列命题是真命题的是 ( ) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都 不能比较大小 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点 也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 2.下列关于空间向量的说法正确的是( ) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向 相同或相反 C.若向量AB →,CD → 满足|AB → |>|CD → |,则 AB → >CD → D.相等向量其方向必相同 知识点2 空间向量的加减运算 加 法 运 算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和, 若封闭,和为0 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四 边形,共起点对角线为和 图形 叙述 减 法 运 算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减 向量 图形 叙述 运 算 律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93— [注意] (1)两个向量的减法运算可以看成是一个向 量加上另一个向量的相反向量. (2)共起点的两个向量相减,其差为减向量的 终点指向被减向量的终点的向量. (3)向量的加法和减法运算结果仍是向量. [即学即练] 1.化简PM → -PN → +MN → 所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C.0 D.MN → 2.(多选)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1 中,下列各式运算结果为BD1 → 的是 ( ) A.A1D1 → -A1A → -AB → B.BC → +BB1 → -D1C1 → C.AD → -AB → -DD1 → D.B1D1 → -A1A → +DD1 → 知识点3 空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a 相乘的运算简称为 数乘向量 几何 意义 λ>0 且a≠0 λa 与向量a 的方向 相同 λ<0 且a≠0 λa 与向量a 的方向 相反 λ=0 或a=0 λa=0,其 方 向 是 任 意的 |λa|= |λ|·|a| 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb [注意] (1)当λ=0或a=0时,λa=0. (2)λ的正负影响着向量λa 的方向,λ的绝对 值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定共线. (4)空间向量的加法、减法与数乘运算,以及 它们的混合运算,统称为空间向量的线性 运算. [即学即练] 1.如图,在空间四边形OABC中,OA → =a,OB → =b,OC → =c,点 M,N 分别为OA,BC 的中 点,则MN → 等于 ( ) A.12a- 1 2b+ 1 2c B.-12a+ 1 2b+ 1 2c C.12a+ 1 2b- 2 3c D.12a+ 1 2b- 1 2c 2.在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正 方形,E 为PD 的中点,若PA → =a,PB → =b, PC → =c,则BE → = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —04— 过点A1 作A1O⊥CC1,垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1, 平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1, A1O⊂平面ACC1A1, 所以A1O⊥平面BCC1B1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC,A1C⊥AC, 又A1B=AB,BC为公共边, 所以△ABC与△A1BC全等,所以A1C=AC. 设A1C=AC=x,则A1C1=x, 所以O 为CC1 中点,OC1= 1 2AA1=1 , 又A1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA12, 即x2+x2=22,解得x= 2,即A1C1= 2, 所以A1O= A1C12-OC12= (2)2-12=1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 【易误警示】 [示例1] 解析 连接 AC,A1C1,A1B,AD1,D1C,A1P(图 略).因为AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C 是 平行四边形,所以 AC∥A1C1.又因为 AC⊄平面 A1BC1, A1C1⊂平 面 A1BC1,所 以 AC∥平 面 A1BC1.同 理 可 证 AD1∥平面A1BC1.又因为AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面 ACD1,且AC∩AD1=A,所以平面 ACD1∥平面 A1BC1. 因为A1P⊂平面 A1BC1,所以 A1P∥平面 ACD1,故②正 确.因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,所以点P 到 平面ACD1 的距离不变.又因为VAD1PC =VPACD1,所以三 棱锥A D1PC 的 体 积 不 变,故 ① 正 确.连 接 DB,DC1, DP,B1D(图略).因为DB=DC1,所以当P 为BC1 的中点 时才 有 DP⊥BC1,故 ③ 错 误.因 为 BB1⊥平 面 ABCD, AC⊂平 面 ABCD,所 以 AC⊥BB1.又 因 为 AC⊥BD, BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,所以 AC⊥平面 BB1D1D.因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理 可证B1D⊥AD1.又 因 为 AC⊂平 面 ACD1,AD1⊂平 面 ACD1,AC∩AD1=A,所 以 B1D⊥平 面 ACD1.又 因 为 B1D⊂平 面 PDB1,所 以 平 面 PDB1⊥平 面 ACD1,故 ④ 正确. 答案 ①②④ [示例2] D 若α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得m∥n, 这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交. 设α∩β=a,过空间内一点P,作m'∥m,n'∥n,则 m'与n' 相交,m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m,l⊥n,所以l⊥ m',l⊥n',所以l⊥γ. 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 第二部分 新知预习 作业(十六) 空间向量及其线性运算 知识点1 【即学即练】 1.ABC 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量 或相反向量. 2.D A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定; C中,向量不能比较大小. 知识点2 【即学即练】 1.C PM→-PN→+MN→=NM→+MN→=NM→-NM→=0. 2.AB A中,A1D1 →-A1A→-AB→=AD1→-AB→=BD1→; B中,BC→+BB1→-D1C1→=BC1→+C1D1→=BD1→; C中,AD→-AB→-DD1→=BD→-DD1→=BD→-BB1→=B1D→≠BD1→; D中,B1D1 →-A1A→+DD1→=BD→+AA1→+DD1→=BD1→+AA1→ ≠BD1 →. 知识点3 【即学即练】 1.B MN→=MA→+AB→+BN→=12a+(b-a)+ 1 2 (c-b)= -12a+ 1 2b+ 1 2c. 2.解析 BE→=12(BP →+BD→)=12(-b+BA →+BC→) =-12b+ 1 2 (PA→-PB→+PC→-PB→) =-12b+ 1 2 (a+c-2b)=12a- 3 2b+ 1 2c. 答案 12a- 3 2b+ 1 2c 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标为 (2,-2),在第四象限.故选D. 2.B sin46°cos16°-sin44°sin164°=sin46°cos16°- cos46°sin16°=sin(46°-16°)=sin30°=12 ,故选B. 3.B 因为向量a=(3,1),b=(x,-3),b⊥a, 所以 3x-3=0,解得x= 3,所以b=(3,-3),则a-b= (0,4),设a-b与a 的夹角为θ,则cosθ= (a-b)·a a-b a = 4 4×2= 1 2 ,因为θ∈[0,π],所以θ=π3 ,即θ=60°,故选B. 4.C 由正弦定理 asinA= b sinB 可得sinA=asinBb = 3×23 4 =12. 5.A 由sinα-cosα=15 平方得1-2sinαcosα=125⇒2sinα · cosα=2425 , sin2α+2cos2 π2+α 1-tan(π-α) = 2sinαcosα+2sin2α 1+tanα =2sinα (cosα+sinα) cosα+sinα cosα =2sinαcosα=2425. 6.C 由题意可得圆锥体的母线长为l= 62+42=2 13, 所以圆 锥 体 的 侧 面 积 为 1 2 ·12π·2 13=12 13π, 圆柱体的侧面积为12π×6=72π,圆柱的底面面积为π× 62=36π,所以此陀螺的表面积为12 13π+72π+36π= (108+12 13)π(cm2),故选C. 7.A f(x)=m·n=12sinωx+ 3 2cosωx=sin ωx+ π 3 (ω>0), ∵f(x)的 一 条 对 称 轴 为 x=5π6 ,f(x)一 个 对 称 中 心 为 π 3 ,0 , ∴ (2n+1)T 4 = 5π 6- π 3= π 2 ,n∈N, ∴ω=2n+1,n∈N, ∴ω为正奇数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—