作业(三)正弦函数的图象和性质-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

高一数学(配RJB版) 正弦函数的图象和性质 1.正弦函数的图象和性质 函数 y=sinx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 最值 当且仅当x=π2+2kπ ,k∈Z 时,y= sinx 的最大值为ymax=1; 当且仅当x=3π2+2kπ ,k∈Z时,y= sinx 的最小值为ymin=-1 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期:2π 单调性 在区间 -π2+2kπ ,π 2+2kπ (k∈Z) 上递增; 在区间 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ (k∈Z)上 递减 零点 kπ,k∈Z 2.函 数 y=sinx 的 图 象 经 变 换 得 到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径 1.函数f(x)=3sinx4+ π 6 -1的最小正周 期和最大值分别是 ( ) A.π2 和3 B.π2 和2 C.8π和3 D.8π和2 2.若函数y=2sinx+a的最大值为-2,则a 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.-4 3.要得到函数y=3sin2x 的图象,只需将 y=3sin2x+π4 的图象 ( ) A.向左平移π8 个单位 B.向右平移π8 个单位 C.向左平移π4 个单位 D.向右平移π4 个单位 4.在下列区间中,函数f(x)=2sinx+π3 单调递增的是 ( ) A.0,π6 B.π6,π2 C.π2 ,2π 3 D.π3,π2 5.先将函数y=sin2x+π6 的图象上的所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所有点的纵坐标缩短到原来的1 2 (横坐 标不变),所得函数的解析式为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —5— A.y=12sin4x+ π 6 B.y=12sinx+ π 6 C.y=2sinx+π6 D.y=2sin4x+π6 1.y=-sinx 对应的图象是 ( ) 2.已知a=sinπ5 ,b=sinπ7 ,c=sin5π6 ,则a, b,c的大小关系是 ( ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 3.函数f(x)=Asinωx+φ (A>0,ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示,则它的解 析式是 ( ) A.f(x)=sinx+π6 B.f(x)=sinx-π6 C.f(x)=sin2x+π6 D.f(x)=sin2x-π6 4.将函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横 坐标缩短到原来的1 2 (纵坐标不变),再将所 得图象向左平移π 6 个单位后得到的函数图 象关于原点中心对称,则sin2φ= ( ) A.-12 B. 1 2 C.- 32 D. 3 2 5.(多选)下列变换能得到y=sin2x-2 的 图象的是 ( ) A.将函数y=sinx-2 的图象上所有点 的纵坐标不变,横坐标变为原来的1 2 B.将函数y=sinx-4 的图象上所有点 的纵坐标不变,横坐标变为原来的1 2 C.将函数y=sin2x-5 的图象沿x轴向 左平移3个单位 D.将函数y=sin2x+4 的图象沿x轴向 右平移3个单位 6.在[0,2π]内,不等式sinx<- 32 的 解 集是 ( ) A.(0,π) B.π3 ,4π 3 C.4π3 ,5π 3 D.5π3,2π 7.(多选)已知函 数 f(x)=sin2x-π6 , 则下列说法正确的是 ( ) A.直线x=4π3 是函数f(x)图象的一条对 称轴 B.函数f(x)在区间 π4 ,7π 12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上单调递减 C.将函数f(x)图象上的所有点向左平移 π 6 个单位,得到函数y=sin2x+π6 D.若 f(x)-a>f π6 对 任 意 的 x∈ 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 恒成立,则a<-10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —6— 高一数学(配RJB版) 8.函数f(x)=-2cos2x-2sinx+3(x∈R) 的最小值是 . 9.函 数 y=Asin(ωx+φ) 其中A>0, ω>0,|φ|< π 2 的最大值是3,对称轴方 程是x=π6 ,要使函数的解析式为y= 3sin2x+π6 ,还 应 给 出 的 一 个 条 件 是 .(填上你认为正确的一个条件 即可,不必考虑所有可能的情形) 10.已知f(x)=2sin2ωx-π6 ω>0 的最 小正周期为π. (1)求ω 的值,并求 f(x)的单调递增 区间; (2)求f(x)在区间 0,5π12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最大值. 1.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin3x 的图象,只要把函数y=2sin3x+π5 图象 上所有的点 ( ) A.向左平移π5 个单位长度 B.向右平移π5 个单位长度 C.向左平移π15 个单位长度 D.向右平移π15 个单位长度 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线y= 1 2 与曲 线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6 , 则f(π)= . 易错一 忽略两图象的交点致错 [示例1] 方程3sinx=x的实根个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方程3sinx=x的实根个数等于函数y=3sinx与 函数y=x的交点个数,画出图象即可判断有几个 交点,此题考查方程根的个数转化为两函数图象 交点个数问题,关键点是准确画出函数图象较易 求得结果,画图时注意特殊点. 易错二 不理解单调性的概念致错 [示例2] 函数f(x)=2sin -2x+π3 在 [0,π]上的单调递增区间为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用整体代换法求函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0) 的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,应先 利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调 区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —7— 4.B 由sinα=2cosα,显然cosα≠0,可得tanα=2. 所以sinα-sin 3α sinα+π2 =sinα 1-sin 2α cosα =sinαcosα = sinαcosα sin2α+cos2α = tanα tan2α+1 =25 ,故选B. 5.AD ∵当k为偶数时,A=sinαsinα+ cosα cosα+ tanα tanα=3 ; ∵k为奇数时,A=-sinαsinα - cosα cosα+ tanα tanα=-1 , ∴A=3或A=-1. 6.ABD 因为θ∈ 0,π ,cosθ=-35 ,所 以θ∈ π2 ,π , sinθ>0,sinθ= 1-cos2θ= 1- -35 2 =45 , 则sinθ-cosθ=45- - 3 5 =75,tanθ=sinθcosθ= 4 5 -35 =-43 ,则 tanθ 1+tan2θ = -43 1+ -43 2=- 12 25. 故选ABD. 7.解析 由tanα=cosα,得sinαcosα=cosα ,即sinα=cos2α, 则sinα= 1-sinα 1+sinα ,即 11-sinα= 1+sinα sinα , 所以 1 1-sinα- 1 sinα= 1+sinα sinα - 1 sinα=1. 答案 1 8.解 析 因 为 sin2θ + sin θcos θ - 3cos2θ = sin2θ+sinθcosθ-3cos2θ sin2θ+cos2θ =tan 2θ+tanθ-3 tan2θ+1 =35 ,整理得 2tan2θ+5tanθ-18=0,解得tanθ=2或tanθ=-92 , 又因为θ为锐角,则tanθ>0,所以tanθ=2. 答案 2 9.解析 (1)已知sinα=-35 ,且α在第三象限,所以cosα =- 1- -35 2 =-45 ,tanα=sinαcosα= -35 -45 =34. (2)原 式 = -2sinα+cosαsinα+cosα = -2tanα+1 tanα+1 = -32+1 3 4+1 = -27. 【真题体验】 解析 因为θ∈ 0,π2 ,所以sinθ>0,cosθ>0, 又tanθ=sinθcosθ= 1 2 ,则cosθ=2sinθ, 且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1, 解得sinθ= 55 或sinθ=- 55 (舍去), 所以sinθ-cosθ=sinθ-2sinθ=-sinθ=- 55. 故答案为- 55. 答案 - 55 【易误警示】 [示例1] B ∵ θ+π4 + π4-θ =π2, ∴sinθ+π4 =cos π4-θ =-35. 又2kπ-π2<θ<2kπ ,k∈Z, ∴2kπ-π4<θ+ π 4<2kπ+ π 4 ,k∈Z, ∴cosθ+π4 =45,∴sin π4-θ =45, ∴tan π4-θ = sin π4-θ cos π4-θ =-43 , ∴tanθ-π4 =-tan π4-θ =43. [示例2] C 由sinα+cosα=15 ,得 (sinα+cosα)2= 15 2 , ∴2sinαcosα=-2425<0. 又∵-π2<α< π 2 ,∴-π2<α<0 ,则 sinα<0,cosα>0. ∵(cosα-sinα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1+2425= 49 25 ,∴cosα-sinα=75 , ∴ 1 cos2α-sin2α = 1(cosα+sinα)(cosα-sinα)= 25 7. 作业(三) 正弦函数的图象和性质 【基础演练】 1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 【综合演练】 1.C 由题,y=-sinx 为偶函数,且当x>0时, y=-sinx,又y=-sinx为y=sinx的图象沿x 轴翻折. 2.C c=sin5π6=sin π 6 ,∵0<π7< π 6< π 5< π 2 , ∵y=sinx在 0,π2 上单调递增, ∴sinπ7<sin π 6<sin π 5 ,即b<c<a. 3.C 根据函数f(x)=Asinωx+φ 的部分图象知,A=1, 又T 4= 5π 12- π 6 = π 4 ,解 得 T=π,所 以 ω=2πT =2 ;由 f π6 =1,得sin π3+φ =1,解 得 π3+φ= π2+2kπ, k∈Z,所以φ= π 6+2kπ ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ= π 6 ,所 以函数f(x)=sin2x+π6 . 4.C y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)得到f(x)=sin2x+φ ,再将所得图象 向 左 平 移 π 6 个 单 位 后 得 到 的 函 数 是 g (x)= sin2x+π3+φ ,由题意得:π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ= -π3+kπ ,k∈Z,故sin2φ=sin - 2π 3+2kπ =- 32. 5.AD 函数y=sin(x-2)图象上所有的点纵坐标不变,横 坐标变为原来的1 2 ,得函数y=sin(2x-2)的图象,故 A 正确;函数y=sin(x-4)图象上所有的点纵坐标不变,横 坐标变为原来的1 2 ,得函数y=sin(2x-4)的图象,故B错 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64— 高一数学(配RJB版) 误;函数y=sin(2x-5)的图象沿x轴向左平移3个单位, 得函数y=sin 2x+3 -5 =sin 2x+1 的图象,故C 错误;函数y=sin(2x+4)的图象沿x 轴向右平移3个单 位,得函数y=sin[2(x-3)+4]=sin(2x-2)的图象,故 D正确. 6.C 画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象. ∵sinπ3= 3 2 ,∴sin π+π3 =- 32, sin2π-π3 =- 32. 即在[0,2π]内,满足sinx=- 32 的x值为4π3 或5π 3. 可知不等式sinx<- 32 的解集是 4π 3 ,5π 3 . 7.AC 函 数 f(x)=sin 2x-π6 ,对 于 A:f 4π3 = sin 8π3- π 6 =1,故A正确;对于B:由于x∈ π4,7π12 , 所以2x-π6∈ π 3 ,π ,故函数在该区间上有增有减,故 B错误;对于C:将函数f(x)=sin 2x-π6 图象上的所 有 点 向 左 平 移 π 6 个 单 位,得 到 函 数 y = sin2x+π6 -π6 =sin 2x+π6 的图象,故C正确; 对于D:函数f(x)-a>f π6 ,整理得a<sin2x-π6 -12 ,求出函数g(x)=sin2x-π6 -12的最小值即可, 由于x∈ 0,π2 ,所以2x-π6∈ -π6,5π6 ,故当x=0 时,g(x)取得最小值-1,故a<-1,故D错误. 8.解析 f(x)=-2cos2x-2sinx+3=-21-sin2x - 2sinx+3=2sin2x-2sinx+1,令y=2sin2x-2sinx+1, t=sinx,y=2t2-2t+1,t∈ -1,1 ,当t=--24 = 1 2 时,ymin=2× 1 4-2× 1 2+1= 1 2. 答案 12 9.解析 若给出条件:周期 T=π,则ω=2ππ=2 ,此时y= 3sin2x+φ .由 对 称 轴 方 程 是x= π 6 ,则2× π6+φ= π 2+kπ ,k∈Z.取k=0,得φ= π 6. 此时y=3sin2x+π6 , 符合题意. 答案 周期T=π(答案不唯一) 10.解析 (1)由f(x)=2sin2ωx-π6 的最小正周期为π, 得 2π 2ω =π , ∵ω>0,∴ω=1,f(x)=2sin 2x-π6 ,令-π2+2kπ≤ 2x-π6≤ π 2+2kπ ,得-π6+kπ≤x≤ π 3+kπ , 故f(x)的单调递增区间为 -π6+kπ ,π 3+kπ k∈Z . (2)因为x∈ 0,5π12 ,所以2x-π6∈ -π6,2π3 , 所以当2x-π6= π 2 ,即x=π3 时,f(x)取得最大值2. 【真题体验】 1.D 因为y=2sin3x=2sin 3x-π15 +π5 ,所以把函 数y=2sin3x+π5 图象上的所有点向右平移π15个单位 长度即可得到函数y=2sin3x的图象.故选D. 2.解析 设A x1, 1 2 ,B x2,12 ,则x2-x1=π6, ωx2+φ-(ωx1+φ)= 5 6π- π 6= 2π 3 ,ω(x2-x1)= 2π 3 , ∴ω=4,f 23π =sin 8π3+φ =0,8π3+φ=kπ(k∈Z), φ=- 8 3π+kπ (k∈Z),k=2时,φ= - 2 3π ,f(x)= sin4x-23π 满足条件. ∴f(π)=sin -23π =- 32. 答案 - 32 【易误警示】 [示例1] C 方 程3sinx=x 的 实 根 个 数 等 于 函 数y= 3sinx与函数y=x的交点个数,做出函数y=3sinx与函 数y=x的图象,如下图所示. 由图可知,函数y=3sinx与函数y=x的图象的交点个数 为3个.故选C. [示例2] 解析 函数f(x)=2sin-2x+π3 =-2sin2x-π3 , 令π 2+2kπ≤2x- π 3≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,解得5π12+kπ≤x≤ 11π 12+kπ ,k∈Z,令k=0得5π12≤x≤ 11π 12 ,所以函数f(x)= 2sin -2x+π3 在[0,π]上的单调递增区间为 5π12,11π12 . 答案 5π12 ,11π 12 作业(四) 余弦函数的图象和性质 【基础演练】 1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 【综合演练】 1.C f(x)=cos2x+φ 0<φ<π 为奇函数,则φ= π 2+ kπ,k∈Z,又0<φ<π,故φ= π 2. 2.C 选项A、B、C中函数的最小正周期都是π,而选项D中 函数不是周期函数,其图象如图所示, 排除D; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74—