作业(七)两角和与差的正弦、余弦和正切-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

两角和与差的正弦、余弦和正切 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α∓β)=cosαcosβ±sinαsinβ. (3)tan(α±β)= tanα±tanβ 1∓tanαtanβ . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sinαcosα. (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1- 2sin2α. (3)tan2α= 2tanα 1-tan2α . 3.函数f(x)=asinx+bcosx(a,b为常数), 可以 化 为 f(x)= a2+b2sin(x+φ) 其中tanφ= b a 或f(x)=a2+b2cos(x-φ) 其中tanφ= a b . 1.计算:1-2sin222.5°= ( ) A.- 22 B. 2 2 C.- 32 D. 3 2 2.cos5π12= ( ) A.6- 24 B. 6+ 2 4 C.3+ 24 D. 2- 6 4 3.sin17°cos43°+cos17°sin43°= ( ) A.12 B. 2 2 C.32 D. 2+ 6 4 4.若tanα+π4 =17,则tanα= ( ) A.34 B. 4 3 C.-34 D.- 4 3 5.已知α是锐角,sinα=35 ,则cosπ4+α = ( ) A.- 210 B. 2 10 C.- 25 D. 2 5 1.(2023·济宁高一期中)若sinα= 32 , 则cos2α的值为 ( ) A.12 B.- 1 2 C.1 D.3 2.sinα=35 ,α∈ π2 ,π ,则cos π4-α 的 值为 ( ) A.- 25 B.- 2 10 C.-7 210 D.- 7 2 5 3.已知1-tanA1+tanA=5 ,则tanπ4+A = ( ) A.- 5 B.5 C.- 55 D. 5 5 4.已 知sinβ= 1 3 ,cos(α+β)= -1,则 sin(α+2β)的值为 ( ) A.1 B.-1 C.13 D.- 1 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 高一数学(配RJB版) 5.已知x 是第二象限角,sinx+π8 =35, 则cosx+11π24 = ( ) A.-4+3 310 B.- 4 3+3 10 C.-4-3 310 D. 4 3-3 10 6.2sinπ-α +sin2α 2cos2α2 = ( ) A.sinα B.sin2α C.2sinα D.sinα2 7.方程cos2x-sinx=0在区间 0,2π 上的 所有解的和为 . 8.1874年欧拉第一次提出将角置于圆内,以 有向线段与半径的比值定义三角函数. 如图,在单位圆中,定义角α的正弦为有向 线段 MP,角α 的余弦为有向线段OM. 若在单位圆内,角α和角β均以Ox 轴为始 边,两角的终边关于y轴对称,且对应正弦 的值均为1 3 ,则cos(α-β)= . 9.已知 A,B 均为锐角,tanA=3,sinB= 2 5 5 ,那么A+B= . 10.求下列各式的值. (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α ; (2)2 3tan15°+tan215°; (3)sin10°sin30°sin50°sin70°. 1.(2021·全国乙卷)cos2π12-cos 25π 12= ( ) A.12 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2.(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ+sinθ+π3 =1,则sinθ+π6 = ( ) A.12 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 易错一 不能发现角的关系致错 [示例1] 已知θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , 则cos(2θ-15°)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 不能转化“2θ-15°”为特殊角及已知角的和、差,导 致无法求解或错解. 易错二 忽视角的范围致错 [示例2] 已知sin(π-α)=4 37 ,cos(α-β) =1314 ,0<β<α< π 2 ,则角β的大小是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题容易忽视角的限制条件0<β<α< π 2 ,导致函 数值的符号错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 6.BCD 由题意得AB→=(4,-2),故A错误; AD→=(1,2),因为AB→·AD→=4×1-2×2=0, 所以AB→⊥AD→,故B正确;DC→=(6,-3), 所以AB→=23DC →,所以AB→∥DC→, 且|AB→|≠|DC→|,结合AB→⊥AD→, 可得四边形ABCD 为直角梯形,故C、D正确. 【真题体验】 1.B 向 量a,b满 足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所 以 |a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1. 2.D 因为a= 1,1 ,b= 1,-1 , 所以a+λb= 1+λ,1-λ ,a+μb= 1+μ,1-μ , 由 a+λb ⊥ a+μb 可得,a+λb ·(a+μb)=0, 即 1+λ 1+μ + 1-λ 1-μ =0, 整理得λμ=-1.故选D. 【易误警示】 [示例1] B ∵a,b夹角为钝角,∴cos<a,b>= a ·b a · b <0且a,b不共线,即a·b=4x+3<0且x 2x+3 ≠2, 解得x<-34 且x≠-2,∴x的取值范围为 -∞,-2 ∪ -2,-34 . [示例2] B 因为向量AB→,BC→的夹角为2π3, 所以AB→·BC→=2×2×cos2π3=-2,故选B. 作业(七) 两角和与差的正弦、余弦和正切 【基础演练】 1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 【综合演练】 1.B 因 为sinα= 32 ,所 以cos2α=1-2sin2α=1-2× 3 2 2 =1-2×34=- 1 2. 2.B ∵sinα=35 且α∈ π2 ,π ,∴cosα=-45, ∴cos π4-α =cosπ4cosα+sinπ4sinα=- 210. 3.D 因为1+tanA1-tanA= 5 5 ,所以 tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 , 即tan π4+A = tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 ,故选D. 4.D 由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sinβ= 1 3 , 所以sin(α+2β)=sin(α+β+β) =sin(α+β)·cosβ+cos(α+β)·sinβ=- 1 3. 5.A ∵x是第二象限角,sinx+π8 =35>0, ∴x+π8 是第二象限角, ∴cosx+π8 =- 1-sin2 x+π8 =-45, ∴cosx+11π24 =cos x+π8 +π3 =cosx+π8 · cosπ3-sin x+ π 8 sin π3 = - 45 × 12 - 35 × 32 = -4+3 310 . 6.C 根据题意可知,利用诱导公式可得2sin π-α +sin2α 2cos2 α2 =2sinα+sin2α 2cos2 α2 .再 由 二 倍 角 的 正 弦 和 余 弦 公 式 可 得 2sinα+sin2α 2cos2 α2 =2sinα 1+cosα 2cos2 α2 =2sinα 1+cosα 1+cosα = 2sinα,即2sin π-α +sin2α 2cos2 α2 =2sinα. 7.解析 由cos2x-sinx=0,即1-2sin2x-sinx=0,解得 sinx=-1或sinx=12. 在 0,2π 上,当sinx=-1时, x=3π2 ;当sinx=12 时,x=π6 或x=5π6 ,所以所有解的和 为3π 2+ π 6+ 5π 6= 5π 2. 答案 5π2 8.解析 由题意得:sinα=sinβ= 1 3 ,cosα=- 1-sin2α= -2 23 ,cosβ= 2 2 3 ,故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =-2 23 × 2 2 3 + 1 3× 1 3=- 7 9. 答案 -79 9.解析 因为B 为锐角,sinB=2 55 , 所以cosB= 1-sin2B= 55 ,tanB=sinBcosB=2 , 故tan A+B =tanA+tanB1-tanAtanB= 3+2 1-3×2=-1 , 因为A,B 均为锐角, 所以A+B∈ 0,π ,故A+B=3π4. 答案 3π4 10.解析 (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π2- π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π4-α = cos2α 2sin π4-α cos π4-α = cos2α sin2× π4-α = cos2α sin π2-2α =cos2αcos2α=1. (2)2 3tan15°+tan215°= 3tan30° 1-tan215° + tan215°= 3× 33 × 1-tan 215° +tan215°=1- tan215°+tan215°=1. (3)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80° =2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20° = sin40°cos40°cos80° 4sin20° =2sin40°cos40°cos80°8sin20° = 2sin80°cos80° 16sin20° = sin160° 16sin20°= sin20° 16sin20°= 1 16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 高一数学(配RJB版) 【真题体验】 1.D 由题意,cos2 π12-cos 25π 12=cos 2 π 12-cos 2 π 2- π 12 = cos2 π12-sin 2 π 12=cos π 6= 3 2. 故选D. 2.B 由题意可得sinθ+12sinθ+ 3 2cosθ=1 ,则3 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,从而有sinθcosπ6+ cosθsinπ6= 3 3 ,即sinθ+π6 = 33. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , ∴sin(θ+15°)=45. ∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425 , cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=- 7 25. ∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)· cos45°+sin(2θ+30°)sin45°= - 725× 2 2 + 24 25× 2 2 =17 250 . 答案 17 250 [示例2] 解析 因为sin(π-α)=4 37 ,所以sinα=4 37 . 因为0<α<π2 ,所以cosα= 1-sin2α=17. 因为cos(α-β)= 13 14 ,且0<β<α< π 2 ,所以0<α-β< π 2 , 所以sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 3 3 14. 所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= 1 7× 13 14+ 4 3 7 × 3 3 14= 1 2. 因为0<β< π 2 ,所以β= π 3. 答案 π3 作业(八) 三角恒等变换的应用 【基础演练】 1.C 2.C 3.A 4.-π12+ kπ 3 ,k∈Z 5.kπ-π3 ,kπ+π6 (k∈Z) 【综合演练】 1.D 因为cosθ=725=2cos 2 θ 2-1 ,所 以2cos2 θ2= 32 25 , 则cos2θ2= 16 25. 因为θ∈ 0,π ,所以θ2∈ 0 ,π 2 , 即cosθ2>0 ,故cosθ2= 4 5. 所以sin π2+ θ 2 =cosθ2=45. 2.D f -x =2cos -x -cos2 -x =2cosx-cos2x =f(x),所 以 函 数 为 偶 函 数.f(x)=2cosx-cos2x= -2cos2x+2cosx+1=-2 cosx-12 2 +32 ,所 以 当 cosx=12 时,f(x)取最大值32. 3.A 因为cosxcosy+sinxsiny=12 ,所以cos(x-y)= 1 2 ,因为sin2x+sin2y=23 ,所以2sin(x+y)cos(x-y) =23 ,所以2sin(x+y)·12= 2 3 ,所以sin(x+y)=23 , 故选 A. 4.B sin(α+β)sin(β-α)= cos[(α+β)-(β-α)]-cos[(α+β)+(β-α)] 2 = cos2α-cos2β 2 =m. 5.BD f(x)= 32sin2x- 1 2cos2x=sin 2x- π 6 .对选项 A:y= f(x) 的图象是由f(x)的图象的x轴下方的部分 向上翻折形成,周期减半,故T=12× 2π 2= π 2 ,故A错误; 对选项B:当x=π3 时,2x-π6= π 2 ,故y=f(x)的图象关 于x=π3 对称,故B正确;对 选 项C:平 移 后 的 解 析 式 为 g(x)=sin 2x-φ - π 6 =sin 2x-2φ-π6 ,函数关 于原点对称,则-2φ- π 6=kπ ,k∈Z,即φ=- π 12- kπ 2 , k∈Z,当k=-1时,φ=- π 12+ π 2= 5π 12 满足条件,故C错 误;对 选 项 D:当 x ∈ -π6 ,π 2 时,2x - π6 ∈ -π2 ,5π 6 ,故f(x)∈ -1,1 ,故D正确;故选BD. 6.解析 设顶角α∈ 0,π ,则sinα=2425 ,cosα=± 1- 2425 2 =±725 ,∴sinα2= 1-cosα 2 = 3 5 或4 5 ,则其底角的余 弦值为cos π2- α 2 =sinα2=35或45. 答案 35 或4 5 7.解析 由sinα+sinβ= 1 4 ,得2sinα+β2 cos α-β 2 = 1 4 , 由cosα+cosβ= 1 3 ,得2cosα+β2 cos α-β 2 = 1 3 ,所 以 tanα+β2 = 3 4 ,所 以tan(α+β)= 2tanα+β2 1-tan2α+β2 = 2×34 1-916 =247. 答案 247 8.解析 (1)f(x)=-12cos2x+ 3 2sin2x=sin2x- π 6 ,令 2x- π6 ∈ - π 2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z,解 得 x∈ -π6+kπ ,π 3+kπ ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为 -π6+kπ ,π 3+kπ ,k∈Z. (2)f α2+ π 4 =sin 2 α2+π4 -π6 =sinα+π3 = 3 3 ,由-π2<α<0 得-π6<α+ π 3< π 3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15—