作业(六)向量的数量积-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

向量的数量积 1.向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角:给定两个非零向量a,b, 在平面内任选一点O,作OA → =a,OB → =b, 则称[0,π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角,记作<a,b>. (2)向量的垂直:当<a,b>=π2 时,称向量 a与向量b垂直,记作a⊥b.规定零向量与 任意向量垂直. (3)向量数量积的定义:一般地,当a与b 都是非零向量时,称|a||b|cos<a,b>为向 量a 与b 的数量积(也称为内积),记作 a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>. (4)向量数量积的几何意义 ①投影向量:设非零向量AB → =a,过 A,B 分别作直线l的垂线,垂 足 分 别 为 A', B',则称向量A'B' → 为向量a在直线l上 的投影向量或投影. ②投影的数量:一般地,如果a,b都是非零 向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量 b上的投影的数量.投影的数量与投影的 长度有关,但是投影的数量既可能是非负 数,也可能是负数. ③两个非零向量a,b的数量积a·b,等于 a在向量b 上的投影的数量与b 的模的 乘积. 2.向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量 a,b的夹角. (1)数 量 积:a·b=|a||b|cosθ= x1x2+y1y2. (2)模:|a|= a·a= x21+y21. (3)夹角:cosθ=a ·b |a||b|= x1x2+y1y2 x21+y21·x22+y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0 ⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等 号成 立)⇔|x1x2+y1y2|≤ x21+y21· x22+y22. 1.(2023·朝阳高一期中)已知a=(-2,1), b=(3,2),则a·(a+b)= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,1),则|2a-b|= ( ) A.5 B.4 C.26 D.6 3.已 知 向 量a=(2,4),b=(-1,m),若 (a-b)⊥b,则实数m 的值是 ( ) A.3或-1 B.-3或1 C.3或1 D.-3或-1 4.已知向量a,b满足a+b= 4,-1 ,2a-b= (2,1),则cos<a-b,b>= . 1.(2023·黄冈高一期中)已知 A(3,-2), B(-1,-5),C(1,2),则cos∠BAC= ( ) A.2 525 B.- 2 5 25 C.525 D.- 5 25 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 高一数学(配RJB版) 2.(2023·孝感高一期中)已知平面向量a= (1,m),b=(n,2),c=(3,6),若a∥c,b⊥c, 则|a+b|= ( ) A.5 B.5 C.2 D.41 3.已知向量a,b满足a= 4,0 ,b= m,1 , 且 a =a·b,则a,b的夹角大小为( ) A.π4 B. π 3 C.π2 D. 3π 4 4.已知向量a,b都是单位向量,且 a-b =1, 则 a+b = ( ) A.1 B.2 C.2 D.3 5.在 梯 形 ABCD 中,AB∥CD,CD =2, ∠BAD=π4 ,若AB →·AC → =2AB →·AD →,则 AD →·AC → = ( ) A.12 B.16 C.20 D.4 10 6.(多选)已知点A(-3,2),B(1,0),C(4,1), D(-2,4),则 ( ) A.AB → =(-4,2) B.AB → ⊥AD → C.AB → ∥DC → D.四边形ABCD 为直角梯形 1.(2023·北京卷)已知向量a,b满足a+b= (2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a= 1,1 , b= 1,-1 ,若 a+λb ⊥ a+μb ,则 ( ) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 易错一 认为a与b 的夹角为锐角(钝角) 等价于a·b>0(<0)致错 [示例1] 已知a= x,1 ,b= 2,2x+3 , 若a,b的夹角为钝角,则x的取值范围为 ( ) A.-34 ,+∞ B.-∞,-2 ∪ -2,-34 C.-∞,-34 D.-2,-34 ∪ -34,+∞ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 当a·b>0(<0)时,a与b 的夹角为锐角(钝角) 或0°(180°)角,所以a与b的夹角为锐角(钝角)等 价于a·b>0(<0)且a与b不共线. 易错二 向量夹角的概念不清致错 [示例2] 已知等边三角形ABC的边长为2, 则AB →·BC → = ( ) A.2 B.-2 C.- 3 D.3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于平面图形中向量的数量积计算问题,要根据 向量夹角的定义,作出图形,准确确定向量的夹 角,然后利用向量数量积的定义计算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 高一数学(配RJB版) tanz∈ - 3,1 .∴ 函 数 y =tan x-π6 ,x ∈ -π6 ,5π 12 的值域为 - 3,1 ,故选A. 3.B 当x∈ π2 ,π 时,tanx<0<sinx, ∴f(x)=-tanx-sinx+ tanx-sinx =-2tanx, 当x∈ π,3π2 时,tanx>0>sinx, ∴f(x)=-tanx-sinx+ tanx-sinx =-2sinx,由选 项可判定B选项图象正确. 4.BCD f 0 =tan -π3 =- 3,A错误; f(x)=tan2x-π3 的最小正周期为π2,B正确; 当x=2π3 时,f 2π3 =tan2·2π3-π3 =0, 所以 2π 3 ,0 为f(x)的一个对称中心,C正确; 当x∈ 5π12 ,7π 12 时,2x- π3 ∈ π2,5π6 ,y=tanx 在 π 2 ,5π 6 上单调递增,D正确.故选BCD. 5.B 因为函数y=tanωx在 -π2 ,π 2 内是单调函数,所 以最小正周期T≥π,即 πω ≥π ,所以0< ω ≤1. 又函数y=tanωx在 -π2 ,π 2 内是减函数,则根据复合 函数单调性判定知ω<0.综上,-1≤ω<0. 6.解析 不等式tanx≥1的解集为 x kπ+π4≤x<kπ+ π 2 , k∈Z .由tan2x≥1可得kπ+π4≤2x<kπ+π2,k∈Z,解得 kπ 2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z,所以不等式tan2x≥1的解集为 x kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z 答案 x kπ2+ π 8≤x< kπ 2+ π 4 ,k∈Z 7.解析 因为f(x)=tan3x+φ φ ≤ π 4 的图象关于点 -π9 ,0 对称,所以-π3+φ=kπ2,k∈Z,所以φ=π3+ kπ 2 ,k∈Z,因为 φ ≤ π 4 ,所以φ=- π 6. 答案 -π6 8.解析 (1)根据函数f(x)=tan x2- π 3 ,可得x2-π3≠ kπ+π2 ,k∈Z,求 得 x≠2kπ+5π3 ,故 函 数 的 定 义 域 为 x x≠2kπ+5π3 ,k∈Z .周期为π1 2 =2π. 令kπ-π2< x 2- π 3<kπ+ π 2 ,k∈Z, 得2kπ-π3<x<2kπ+ 5π 3 , 故函数的单调递增区间为 2kπ-π3 ,2kπ+5π3 (k∈Z). (2)不等式f(x)≤ 3,即tan x2- π 3 ≤ 3, 所以kπ-π2< x 2- π 3≤kπ+ π 3 , 求得2kπ-π3<x≤2kπ+ 4π 3 , 故不等式的解集为 2kπ-π3 ,2kπ+4π3 (k∈Z). 【真题体验】 解析 因为f(x)=tanx在 0,π2 上单调递增,若0<α0 <β0< π 2 ,则tanα0<tanβ0.取α=2k1π+α0,β=2k2π+β0, k1,k2∈Z,则tanα=tan 2k1π+α0 =tanα0,tanβ= tan2k2π+β0 =tanβ0,即tanα<tanβ. 令k1>k2,则α-β= 2k1π+α0 - 2k2π+β0 =2k1-k2 π + α0-β0 ,因为2k1-k2 π≥2π,- π 2<α0-β0<0 ,则 α-β=2k1-k2 π+ α0-β0 > 3π 2>0 ,即k1>k2,则α> β.不妨取k1=1,k2=0,α0= π 4 ,β0= π 3 , 即α=9π4 ,β= π 3 满足题意. 答案 9π4 π 3 【易误警示】 [示例1] C 在 -π2 ,π 2 这个周期内,- 3<tanx≤-1 所对应的区间是 -π3 ,-π4 ,故在R上,-3<tanx≤-1 的解集为 kπ-π3 ,kπ-π4 (k∈Z). [示例2] D 因为tan5=tan(5-π),π2<5-π<2<3<π , 又函数y=tanx在区间 π2 ,3π 2 上是增函数, 所以tan(5-π)<tan2<tan3, 所以tan5<tan2<tan3. 即c<a<b.故选D. 作业(六) 向量的数量积 【基础演练】 1.A 2.C 3.C 4.- 55 【综合演练】 1.B A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则AB→=(-4,-3), AC→=(-2,4),cos∠BAC= AB →·AC→ |AB→|·|AC→| = 8-12 5×2 5 = -2 525. 2.A 由 于a∥c,b⊥c,所 以 1×6=3m , 3n+12=0, 解 得 m=2,n= -4,所以a+b=(1,2)+(-4,2)=(-3,4),所以|a+b| = (-3)2+42=5. 3.A ∵|a|=4,∴4m=4,解得m=1,即b=(1,1),cos<a,b>= a·b |a||b|= 4 4× 2 = 22 ,又<a,b>∈[0,π],∴a和b 的夹角大 小为π 4. 4.D 向量a,b都是单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)2=a2 +b2-2a·b=2-2a·b=1,解得2a·b=1,所以|a+b| = (a+b)2= a2+b2+2a·b= 3. 5.A 因为AB→·AC→=2AB→·AD→,所以AB→·AC→-AB→·AD→ =AB→·DC→=AB→·AD→,∵AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4, 所以2|AB→|=|AB→|·|AD→|cos π4,可得 AD → =2 2, 所以AC→·AD→=(AD→+DC→)·AD→=AD→2+AD→·DC→=8+ 2 2×2×cosπ4=12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— 6.BCD 由题意得AB→=(4,-2),故A错误; AD→=(1,2),因为AB→·AD→=4×1-2×2=0, 所以AB→⊥AD→,故B正确;DC→=(6,-3), 所以AB→=23DC →,所以AB→∥DC→, 且|AB→|≠|DC→|,结合AB→⊥AD→, 可得四边形ABCD 为直角梯形,故C、D正确. 【真题体验】 1.B 向 量a,b满 足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所 以 |a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1. 2.D 因为a= 1,1 ,b= 1,-1 , 所以a+λb= 1+λ,1-λ ,a+μb= 1+μ,1-μ , 由 a+λb ⊥ a+μb 可得,a+λb ·(a+μb)=0, 即 1+λ 1+μ + 1-λ 1-μ =0, 整理得λμ=-1.故选D. 【易误警示】 [示例1] B ∵a,b夹角为钝角,∴cos<a,b>= a ·b a · b <0且a,b不共线,即a·b=4x+3<0且x 2x+3 ≠2, 解得x<-34 且x≠-2,∴x的取值范围为 -∞,-2 ∪ -2,-34 . [示例2] B 因为向量AB→,BC→的夹角为2π3, 所以AB→·BC→=2×2×cos2π3=-2,故选B. 作业(七) 两角和与差的正弦、余弦和正切 【基础演练】 1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 【综合演练】 1.B 因 为sinα= 32 ,所 以cos2α=1-2sin2α=1-2× 3 2 2 =1-2×34=- 1 2. 2.B ∵sinα=35 且α∈ π2 ,π ,∴cosα=-45, ∴cos π4-α =cosπ4cosα+sinπ4sinα=- 210. 3.D 因为1+tanA1-tanA= 5 5 ,所以 tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 , 即tan π4+A = tanπ4+tanA 1-tanπ4tanA = 55 ,故选D. 4.D 由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sinβ= 1 3 , 所以sin(α+2β)=sin(α+β+β) =sin(α+β)·cosβ+cos(α+β)·sinβ=- 1 3. 5.A ∵x是第二象限角,sinx+π8 =35>0, ∴x+π8 是第二象限角, ∴cosx+π8 =- 1-sin2 x+π8 =-45, ∴cosx+11π24 =cos x+π8 +π3 =cosx+π8 · cosπ3-sin x+ π 8 sin π3 = - 45 × 12 - 35 × 32 = -4+3 310 . 6.C 根据题意可知,利用诱导公式可得2sin π-α +sin2α 2cos2 α2 =2sinα+sin2α 2cos2 α2 .再 由 二 倍 角 的 正 弦 和 余 弦 公 式 可 得 2sinα+sin2α 2cos2 α2 =2sinα 1+cosα 2cos2 α2 =2sinα 1+cosα 1+cosα = 2sinα,即2sin π-α +sin2α 2cos2 α2 =2sinα. 7.解析 由cos2x-sinx=0,即1-2sin2x-sinx=0,解得 sinx=-1或sinx=12. 在 0,2π 上,当sinx=-1时, x=3π2 ;当sinx=12 时,x=π6 或x=5π6 ,所以所有解的和 为3π 2+ π 6+ 5π 6= 5π 2. 答案 5π2 8.解析 由题意得:sinα=sinβ= 1 3 ,cosα=- 1-sin2α= -2 23 ,cosβ= 2 2 3 ,故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =-2 23 × 2 2 3 + 1 3× 1 3=- 7 9. 答案 -79 9.解析 因为B 为锐角,sinB=2 55 , 所以cosB= 1-sin2B= 55 ,tanB=sinBcosB=2 , 故tan A+B =tanA+tanB1-tanAtanB= 3+2 1-3×2=-1 , 因为A,B 均为锐角, 所以A+B∈ 0,π ,故A+B=3π4. 答案 3π4 10.解析 (1) 2cos 2α-1 2tan π4-α sin2 π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π2- π4+α = cos2α 2tan π4-α cos2 π4-α = cos2α 2sin π4-α cos π4-α = cos2α sin2× π4-α = cos2α sin π2-2α =cos2αcos2α=1. (2)2 3tan15°+tan215°= 3tan30° 1-tan215° + tan215°= 3× 33 × 1-tan 215° +tan215°=1- tan215°+tan215°=1. (3)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80° =2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20° = sin40°cos40°cos80° 4sin20° =2sin40°cos40°cos80°8sin20° = 2sin80°cos80° 16sin20° = sin160° 16sin20°= sin20° 16sin20°= 1 16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05—