作业(九)正弦定理和余弦定理-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角A,B,C 所对的边分别 是a,b,c,R 为△ABC外接圆半径. 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sinA= b sinB = csinC=2R a2=b2+c2- 2bccosA; b2=c2+a2- 2cacosB; c2=a2+b2- 2abcosC 常见 变形 (1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2)sinA=a2R , sinB=b2R , sinC=c2R ; (3)a∶b∶c=sinA∶ sinB∶sinC; (4)asinB=bsinA, bsinC=csinB, asinC=csinA cosA=b 2+c2-a2 2bc ; cosB=c 2+a2-b2 2ac ; cosC=a 2+b2-c2 2ab 2.三角形常用面积公式 (1)S=12a ·ha(ha 表示边a 上的高). (2)S=12absinC= 1 2acsinB= 1 2bcsinA= abc 4R. (3)S=12r (a+b+c)(r为三角形内切圆 半径). 1.(2023·广元高一期中)在△ABC 中,A= 45°,C=75°,BC= 2,则AC= ( ) A.3 B.2 2 C.2 3 D.6 2.(2023·合肥高一期中)在△ABC 中,三个 内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 A=π4 ,a=2,b=3,则B的大小为( ) A.π6 B. π 3 C.π6 或5π 6 D. π 3 或2π 3 3.(2024·房山高一月考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cosA= 6 3 ,b=2 2,c= 3,则a= ( ) A.2 B.2 C.3 D.3 4.(2023· 天津高一期中)在△ABC 中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1, b=2,c= 7,则C= ( ) A.120° B.90° C.60° D.45° 5.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a, b,c,若c= 3,b=1,B=30°,则△ABC 的 面积为 ( ) A.32 B. 3 4 C.32 或 3 D.32 或 3 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 高一数学(配RJB版) 1.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a, b,c,则下列各式中正确的是 ( ) A.asinB= b sinA B.asinA= b cosB C.asinB=bsinA D.asinA= b+c sin(B+C) 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, b,c.若A=π4 ,B=π6 ,a=4,则b= ( ) A.1 B.2 2 C.2 D.2 3.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,且△ABC 的面积为 3,若 b+c=6,则a= ( ) A.2 6 B.5 C.30 D.2 7 4.在△ABC 中,B=π4 ,AB= 2,BC=3,则 sinA= ( ) A.1010 B. 10 5 C.3 1010 D. 5 5 5.(多选)(2023·绵阳高一期中)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解 的是 ( ) A.b=7,c=3,C=π6 B.b=5,c=6,C=π4 C.a=6,b=3 3,B=π3 D.a=20,b=15,B=π6 6.(2023·洛阳高一期末)△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,a=6,C=π3 , csinB=2 3,则b= ,c= . 7.(2024·嘉定高一开学考试)在△ABC 中, 已知角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 且cacosB-bcosA =2b2,则sinAsinB = . 8.(2024·大兴高一统考)已知△ABC 满足 A=30°,b=4,能使△ABC 存在且不唯一 的一个a 值可以是 . 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且sin2B+ 3sinAsinC=sin2A+sin2C. (1)求B 的大小; (2)若b=2 3,A=π4 ,求a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 1.(2023·全国甲卷)在△ABC 中,∠BAC= 60°,AB=2,BC= 6,∠BAC 的角平分线 交BC 于D,则AD= . 2.(2023· 全国乙卷)在△ABC 中,已 知 ∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若 D 为BC 上一点,且∠BAD=90°, 求△ADC的面积. 易错一 忽视隐含条件致错 [示例1] 在锐角三角形ABC 中,a,b,c分 别是内角A,B,C 的对边,若B=2A,则ba 的取值范围是 ( ) A.(-2,2) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,2) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题的易错之处是忽视锐角三角形的各角均为锐 角这一条件而不能准确求出角A 的范围而出现错 误,易只考虑A 是锐角,而不是C 为锐角时角A 的范围,因此涉及锐角三角形时,要综合考虑三个 角均为锐角的条件. 易错二 忽视构成三角形的条件致错 [示例2] 已知△ABC的三条边的长度分别 为4m,5m,6m,将三边都截掉xm后, 剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的 取值范围是 ( ) A.(0,5) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,4) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若要长度分别为4-x,5-x,6-x 的线段构成三 角形,需要满足4-x+5-x>6-x(两边之和大 于第三边),忽视构成三角形的条件是出错的主要 原因. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 所以cosα+π3 = 1-sin2 α+π3 = 63, 所以cosα=cosα+π3- π 3 =12cosα+π3 + 32 sinα+π3 =12× 63+ 32× 33=3+ 66 . 【真题体验】 1.C f(x)=cos2x-sin2x=cos2x, 选项A中:2x∈ -π,-π3 ,此时f(x)单调递增; 选项B中:2x∈ -π2 ,π 6 ,此时f(x)先递增后递减; 选项C中:2x∈ 0,2π3 ,此时f(x)单调递减; 选项D中:2x∈ π2 ,7π 6 ,此时f(x)先递减后递增. 故选C. 2.C 由题,f(x)= 2sin x3+ π 4 ,所以f(x)的最小正周 期为T=2π1 3 =6π,最大值为 2.故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵f(x)= tanx1-tan2x = 12 · 2tanx 1-tan2x = 1 2tan2x ,定义域为 x x≠kπ+π2 且x≠kπ+π4 . ∴f(x)= tanx1-tan2x 的最小正周期为π. 答案 π [示例2] 解析 因为α,β为锐角,所以cosα= 1-sin2α =2 55 ,cosβ= 1-sin2β= 3 10 10 . 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 2 5 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 ,又因为0<α+β<π,所以α+β= π 4. 答案 π4 作业(九) 正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.A 2.D 3.D 4.A 5.D 【综合演练】 1.C 在△ABC中,由正弦定理 asinA= b sinB= c sinC , ∴asinB=bsinA,asinA= b sinB= b+c sinB+sinC , 故A、B、D错误,C正确. 2.B 在△ABC 中,A= π4 ,B= π6 ,a=4,由 正 弦 定 理 得 a sinA= b sinB ,所以b=asinBsinA = 4sinπ6 sinπ4 =2 2 2 =2 2. 3.A 由于A=60°,S△ABC= 1 2bcsinA= 3 4bc , 故有 3 4bc= 3 ,解得bc=4,又b+c=6, 则a= b2+c2-2bccosA= (b+c)2-3bc= 36-12 =2 6,故选A. 4.C 在△ABC中,因为B=π4 ,AB= 2,BC=3, 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosπ4=2+9- 2× 2×3× 22 =5 ,所 以 AC= 5,由 正 弦 定 理 ACsinB= BC sinA ,可得sinA=BCsinBAC = 3× 22 5 =3 1010 . 5.BC A中,由正弦定理,得sinB=bsinCc = 7×12 3 = 7 6>1 , 所以B 不存在,显然错误;B中,因为bsinC=5 22 ,C 为锐 角,所以bsinC<b<c,所 以 该 三 角 形 有 一 解,B正 确; C中,因为asinB=3 3,B 为锐角,所以b=asinB,所以该 三角形有一解,C正确;D中,因为asinB=10,B 为锐角, 所以asinB<b<a,所以该三角形有两解,D错误. 6.解析 由正弦定理得csinB=bsinC= 32b=2 3 ,得b=4. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=36+16-24=28, 得c=2 7. 答案 4 2 7 7.解析 ∵c acosB-bcosA =2b2,∴ 由 余 弦 定 理 可 得 ac·a 2+c2-b2 2ac -bc ·b 2+c2-a2 2bc =2b 2,即a2+c2-b2- b2-c2+a2=4b2,即a2=3b2,则a= 3b,∴ab = 3. 再利用正弦定理可得sinA sinB= 3. 答案 3 8.解析 如下图所示,若△ABC存在且不唯一,则bsinA<a <b,即2<a<4. 答案 3(答案不唯一,只需2<a<4) 9.解析 (1)由正弦定理得b2+ 3ac=a2+c2, 即a2+c2-b2= 3ac, 所以cosB=a 2+c2-b2 2ac = 3 2. 因为0<B<π,所以B=π6. (2)由正弦定理得 asinA= b sinB , 则a=bsinAsinB = 2 3× 22 1 2 =2 6. 【真题体验】 1.解析 如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 高一数学(配RJB版) 法一 由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6, 因为b>0,解得b=1+ 3,由S△ABC =S△ABD +S△ACD 可得, 1 2×2×b×sin60°= 1 2×2×AD×sin30°+ 1 2×AD× b×sin30°,解得AD= 3b 1+b2 = 2 3 1+ 3 3+ 3 =2. 法二 由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos60°=6,因 为b>0,解得b=1+ 3,由正弦定理可得, 6sin60°= b sinB = 2sinC ,解得sinB= 6+ 24 ,sinC= 22 ,因 为1+ 3> 6> 2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°,又∠BAD =30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2. 答案 2 2.解析 (1)由余弦定理可得BC2=a2=b2+c2-2bccosA= 4+1-2×2×1×cos120°=7,则 BC= 7,cosB= a2+c2-b2 2ac = 7+4-1 2×2× 7 =5 714 ,sinB = 1-cos2B = 1-2528= 21 14 . (2)由三角形面积公式可得 S△ABD S△ACD = 1 2×AB×AD×sin90° 1 2×AC×AD×sin30° = 4,则 S△ACD = 1 5S△ABC = 1 5 × 12 ×2×1×sin120° = 310. 【易误警示】 [示例1] C ∵B=2A,∴sinB=sin2A, 由正弦定理得b a = sinB sinA= sin2A sinA =2cosA. ∵0<2A<π2 ,0<π-3A<π2 ,∴π6<A< π 4 , ∴ 22<cosA< 3 2 ,2<2cosA< 3,即 2<ba < 3. 故选C. [示例2] C 根据题意,将三边都截掉xm后,三角形的三 边长分别为(4-x)m、(5-x)m、(6-x)m,且0<x<4. 设长为(6-x)m的边所对的角为α,则α为钝角. ∵4-x>0,5-x>0,6-x>0, cosα= (4-x)2+(5-x)2-(6-x)2 2(4-x)(5-x) <0 ,∴1<x<4. ∵4-x+5-x>6-x,∴x<3,∴1<x<3, 故x的取值范围是(1,3).故选C. 作业(十) 正弦定理与余弦定理的应用 【基础演练】 1.B 2.D 3.A 4.74 【综合演练】 1.C 因为在塔顶部测得A,B 两点的俯角分别为45°和30°, 所以在直角三角形 PAO 中,∠PAO=45°,可得 AO=PO =20m,在直角三角形PBO 中,∠PBO=30°,可得BO= PO tan30°=20 3m , 在△AOB 中,由题知∠AOB=150°,由余弦定理得AB2= OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=400+1200-2× 20×20 3× - 32 =2800,得到AB=20 7m. 2.A sin15°=sin 45°-30° =sin45°cos30°-cos45°sin30°= 2 2× 3 2- 2 2× 1 2= 6- 2 4 , 由题意知∠CAM=45°,∠AMC=105°,所以∠ACM=30°, 在Rt△ABM 中,AM= ABsin∠AMB= 10(3-3) 6-2 4 =206(m), 在△ACM 中,由正弦定理得 AMsin∠ACM= CM sin∠CAM , 所以CM=AM ·sin∠CAM sin∠ACM = 20 6× 22 1 2 =40 3(m), 在Rt△DCM 中,CD=CM·sin∠CMD=403× 32=60 (m). 3.B 如图所示,设在点C处相遇,设BC=x,则AC= 3x, 由题知∠ABC=120°,由正弦定理得 xsin(60°-θ)= 3x sin120° , 解得sin 60°-θ =12. 因为0°<60°-θ<60°, 所以60°-θ=30°,即θ=30°. 4.解析 由正弦定理得 BCsinA= AC sinB ,∴sinB=37sin 2π 3= 3 3 14 ,∵A=2π3 ,∴B,C都是锐角, ∴cosB=1314 ,sinC=sin π3-B =sin π3cosB- cosπ3sinB= 5 3 14 ,sin ∠ADC=sin B+∠DAB = sin π3+B =4 37 ,在△ADC 中,由正弦定理得 ADsinC= AC sin∠ADC ,∴AD=AC· sinCsin∠ADC= 15 8. 答案 158 5.解析 (1)由 题 意 可 得sin2A-sin2B= 3sinAsinC- sin2C,根 据 正 弦 定 理 可 得 a2 -b2 = 3ac-c2,所 以 c2+a2-b2 ac = 3 ,又根据余弦定理可得cosB=c 2+a2-b2 2ac = 32 ,因为B∈ 0,π ,所以B=π6. (2)因为S△ABC= 1 2a (b-2c)=12acsinB ,即b=52c ,由正 弦定理可得sinB=52sinC ,所以sinC=25sinB= 1 5. 【真题体验】 1.C 由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA= sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin A+B =sinA· cosB+sinBcosA,整 理 可 得sinBcosA=0,由 于 B∈ 0,π ,故sinB>0,据此可得cosA=0,A=π2 ,则B= π-A-C=π-π2- π 5= 3π 10. 故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35—