作业(二)同角三角函数的基本关系式及诱导公式-2024年高一数学暑假作业(人教B版)

高一数学(配RJB版) 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:sinαcosα=tanαα≠ π 2+kπ , k∈Z . 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 角 2kπ+α (k∈Z) -α π-α π+α 正弦 sinα -sinα sinα -sinα 余弦 cosα cosα -cosα -cosα 正切 tanα -tanα -tanα tanα 口诀 函数名不变,符号看象限 公式 五 六 七 八 角 π 2-α π 2+α 3π 2+α 3π 2-α 正弦 cosα cosα -cosα -cosα 余弦 sinα -sinα sinα -sinα 正切 口诀 函数名改变,符号看象限 1.若角α终边在第一象限,则下列三角函数 值中不是sinα的是 ( ) A.cosα-π2 B.cosπ2-α C.-cosα+π2 D.cosα+π2 2.已知α 是第三象限的角,cosα=-1213 , 则sinα= ( ) A.513 B.- 5 13 C.512 D.- 5 12 3.cos570°等于 ( ) A.- 32 B. 1 2 C.-12 D. 3 2 4.已 知 角 α∈ π2 ,3π 2 ,且 sinα= 33, 则tanα= ( ) A.63 B.- 6 3 C.22 D.- 2 2 5.已知cosα-π5 =513,则sinα-7π10 = ( ) A.-513 B. 5 13 C.-1213 D. 12 13 1.若 cosα= 45 ,α 为 第 四 象 限 角,则 tanπ-α = ( ) A.-43 B. 4 3 C.34 D.- 3 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 2.已知sinθ-sin π2+θ = 2,则tanθ= ( ) A.- 2 B.-1 C.1 D.2 3.已 知sin π3+θ =14,-π2<θ<π6,则 sin5π6+θ = ( ) A.-14 B.- 15 4 C.154 D. 1 4 4.已知sinα=2cosα,则sinα-sin 3α sinα+π2 =( ) A.35 B. 2 5 C.-25 D.- 3 5 5.(多选)已知A=sinkπ+α sinα + coskπ+α cosα + tankπ+α tanα (k∈Z),则A的值可以是 ( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 6.(多选)已知θ∈ 0,π ,cosθ=-35 ,则下 列结论正确的是 ( ) A.θ∈ π2 ,π B.sinθ-cosθ=75 C.tanθ=-34 D. tanθ 1+tan2θ =-1225 7.已知tanα=cosα,则 11-sinα- 1 sinα= . 8.已知θ为锐角,满足sin2θ+sinθcosθ- 3cos2θ=35 ,则tanθ= . 9.已知sinα=-35 ,且α在第三象限,求: (1)cosα和tanα; (2)2sinπ+α +cos2π+α cosα-π2 +sin π2+α . (2023·全国乙卷)若θ∈ 0,π2 ,tanθ=12, 则sinθ-cosθ= . 易错一 不能确定角之间的特殊关系致错 [示例1] (2024·沈阳高一月考)已知θ是 第四 象 限 角,且 sinθ+π4 = -35,则 tanθ-π4 = ( ) A.-43 B. 4 3 C.- 3 4 D. 3 4 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决此类问题的关键是发现已知角θ+π4 与未知角 π 4-θ 之间的关系,然后利用诱导公式解决问题. 易错二 不能精确确定角的取值范围致错 [示例2] 已知-π2<α< π 2 ,sinα+cosα=15 , 则 1 cos2α-sin2α 的值为 ( ) A.75 B.± 7 5 C. 25 7 D.± 25 7 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若不能把角α的范围由-π2<α< π 2 精确到-π2< α<0,则导致多解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 高一数学(配RJB版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 任意角与弧度制、 任意角的三角函数 【基础演练】 1.C 2.C 3.C 4.A 5.C 【综合演练】 1.C 因为α=563°=360°+203°,又180°<203°<270°,所以 α的终边在第三象限. 2.C 角α与β终边相同,则α=k·360°+β,k∈Z,只有C选 项满足,故选C. 3.B 200°=200× π180rad= 10π 9 rad ,因 为 半 径 为1,所 以 200°的圆心角所对的弧长为10π9 ,故选B. 4.C 因为角α的终边过点B m,-2 m≠0 ,所以sinα= -2 m2+4 <0,即C正确;又cosα= m m2+4 ,符号不确定, 即A、B不正确;tanα=-2m ,符号不确定,即D不正确. 5.BC 1s时,点A 按逆时针方向运动1rad,点B 按逆时针 方向运动2rad,此时∠BOA 的弧度数为π3-1 ,故A不正 确;π 12s 时,∠BOA 的弧度数为π12+ π 3-2× π 12= π 4 ,故 扇形 AOB 的 弧 长 为 π4 ×1= π 4 ,故 B正 确;π6 s 时, ∠BOA 的弧度数为π6+ π 3-2× π 6= π 6 ,故扇形AOB 的 面积为S=12× π 6×1 2=π12 ,故C正确;设ts时,点A,点 B 在单位圆上第一次重合,则t+π3=2t ,解得t=π3 s , 故D不正确.故选BC. 6.解析 由题设tanα=-3m = 5 12 ,则m=-365 ,所以sinα= -3 -365 2 + -3 2 =- 3 1296 25 +9 =-339 5 =-513. 答案 -513 7.解析 角β的终边顺时针旋转 2π 3 得到β- 2π 3 ,它与3β边重 合,所以3β=β- 2π 3+2kπ ,k∈Z,所以β=- π 3+kπ ,k∈Z, 又0<β<π,所以只能令k=1,β= 2π 3. 答案 2π3 8.解析 由cosα≤0,sinα>0,可知 3a-9≤0 , a+2>0, 解得-2<a ≤3,故实数a的取值范围是(-2,3]. 答案 -2,3 9.解析 在角α的终边上任取一点P(x,y), 则y= 2x.当x>0时,r= x2+y2= 3x, sinα+cosα=yr + x r = 6 3+ 3 3= 6+ 3 3 ; 当x<0时,r= x2+y2=- 3x,sinα+cosα=yr + x r =- 63- 3 3=- 6+ 3 3 . 【真题体验】 D 由 题 意,知- π2+2kπ<α<2kπ (k∈Z),所 以-π+ 4kπ<2α<4kπ(k∈Z),所 以cos2α≤0或cos2α>0, sin2α<0,故选D. 【易误警示】 [示例1] C 因为集合 M 表示终边在第一、三象限或第二、 四象限的角平分线上的角的集合,集合 N 表示终边在坐 标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角 平分线上的角的集合,故 M⫋N. [示例2] 解析 当角α的终边在射线y=-34x (x>0)上 时,取终边上一点P(4,-3),所以点P 到坐标原点的距离 r=|OP|=5,所以sinα=yr = -3 5 =- 3 5 ,cosα=xr = 4 5 ,tanα=yx =- 3 4. 所以sinα-3cosα+tanα=-35- 12 5- 3 4=- 15 4. 当角α的终边在射线y=-34x (x<0)上时,取终边上一 点P'(-4,3), 所以点P'到坐标原点的距离r=|OP'|=5,所以sinα= y r = 3 5 ,cosα=xr =- 4 5 ,tanα=yx = 3 -4=- 3 4. 所以sinα-3cosα+tanα=35-3× - 4 5 -34=35+ 12 5- 3 4= 9 4. 综上,sinα-3cosα+tanα的值为-154 或9 4. 作业(二) 同角三角函数的基本关系式 及诱导公式 【基础演练】 1.D 2.B 3.A 4.D 5.A 【综合演练】 1.C 由 题 设 得 sinα= - 35 ,所 以 tanα= -34 ,则 tan π-α =-tanα=34. 2.B 因为sinθ-sin π2+θ =sinθ-cosθ= 2,由题意可 得 sinθ-cosθ= 2, sin2θ+cos2θ=1, 解得 sinθ= 22 , cosθ=- 22 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因此,tanθ=sinθcosθ=-1. 3.C ∵sin 5π6+θ =sin π3+θ+π2 =cos π3+θ , ∵-π2<θ< π 6 ,∴-π6< π 3+θ< π 2 , 且sin π3+θ =14>0, ∴cos π3+θ = 1- 14 2 = 154 , 即sin 5π6+θ =cos π3+θ = 154 .故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54— 4.B 由sinα=2cosα,显然cosα≠0,可得tanα=2. 所以sinα-sin 3α sinα+π2 =sinα 1-sin 2α cosα =sinαcosα = sinαcosα sin2α+cos2α = tanα tan2α+1 =25 ,故选B. 5.AD ∵当k为偶数时,A=sinαsinα+ cosα cosα+ tanα tanα=3 ; ∵k为奇数时,A=-sinαsinα - cosα cosα+ tanα tanα=-1 , ∴A=3或A=-1. 6.ABD 因为θ∈ 0,π ,cosθ=-35 ,所 以θ∈ π2 ,π , sinθ>0,sinθ= 1-cos2θ= 1- -35 2 =45 , 则sinθ-cosθ=45- - 3 5 =75,tanθ=sinθcosθ= 4 5 -35 =-43 ,则 tanθ 1+tan2θ = -43 1+ -43 2=- 12 25. 故选ABD. 7.解析 由tanα=cosα,得sinαcosα=cosα ,即sinα=cos2α, 则sinα= 1-sinα 1+sinα ,即 11-sinα= 1+sinα sinα , 所以 1 1-sinα- 1 sinα= 1+sinα sinα - 1 sinα=1. 答案 1 8.解 析 因 为 sin2θ + sin θcos θ - 3cos2θ = sin2θ+sinθcosθ-3cos2θ sin2θ+cos2θ =tan 2θ+tanθ-3 tan2θ+1 =35 ,整理得 2tan2θ+5tanθ-18=0,解得tanθ=2或tanθ=-92 , 又因为θ为锐角,则tanθ>0,所以tanθ=2. 答案 2 9.解析 (1)已知sinα=-35 ,且α在第三象限,所以cosα =- 1- -35 2 =-45 ,tanα=sinαcosα= -35 -45 =34. (2)原 式 = -2sinα+cosαsinα+cosα = -2tanα+1 tanα+1 = -32+1 3 4+1 = -27. 【真题体验】 解析 因为θ∈ 0,π2 ,所以sinθ>0,cosθ>0, 又tanθ=sinθcosθ= 1 2 ,则cosθ=2sinθ, 且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1, 解得sinθ= 55 或sinθ=- 55 (舍去), 所以sinθ-cosθ=sinθ-2sinθ=-sinθ=- 55. 故答案为- 55. 答案 - 55 【易误警示】 [示例1] B ∵ θ+π4 + π4-θ =π2, ∴sinθ+π4 =cos π4-θ =-35. 又2kπ-π2<θ<2kπ ,k∈Z, ∴2kπ-π4<θ+ π 4<2kπ+ π 4 ,k∈Z, ∴cosθ+π4 =45,∴sin π4-θ =45, ∴tan π4-θ = sin π4-θ cos π4-θ =-43 , ∴tanθ-π4 =-tan π4-θ =43. [示例2] C 由sinα+cosα=15 ,得 (sinα+cosα)2= 15 2 , ∴2sinαcosα=-2425<0. 又∵-π2<α< π 2 ,∴-π2<α<0 ,则 sinα<0,cosα>0. ∵(cosα-sinα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1+2425= 49 25 ,∴cosα-sinα=75 , ∴ 1 cos2α-sin2α = 1(cosα+sinα)(cosα-sinα)= 25 7. 作业(三) 正弦函数的图象和性质 【基础演练】 1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 【综合演练】 1.C 由题,y=-sinx 为偶函数,且当x>0时, y=-sinx,又y=-sinx为y=sinx的图象沿x 轴翻折. 2.C c=sin5π6=sin π 6 ,∵0<π7< π 6< π 5< π 2 , ∵y=sinx在 0,π2 上单调递增, ∴sinπ7<sin π 6<sin π 5 ,即b<c<a. 3.C 根据函数f(x)=Asinωx+φ 的部分图象知,A=1, 又T 4= 5π 12- π 6 = π 4 ,解 得 T=π,所 以 ω=2πT =2 ;由 f π6 =1,得sin π3+φ =1,解 得 π3+φ= π2+2kπ, k∈Z,所以φ= π 6+2kπ ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ= π 6 ,所 以函数f(x)=sin2x+π6 . 4.C y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变)得到f(x)=sin2x+φ ,再将所得图象 向 左 平 移 π 6 个 单 位 后 得 到 的 函 数 是 g (x)= sin2x+π3+φ ,由题意得:π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ= -π3+kπ ,k∈Z,故sin2φ=sin - 2π 3+2kπ =- 32. 5.AD 函数y=sin(x-2)图象上所有的点纵坐标不变,横 坐标变为原来的1 2 ,得函数y=sin(2x-2)的图象,故 A 正确;函数y=sin(x-4)图象上所有的点纵坐标不变,横 坐标变为原来的1 2 ,得函数y=sin(2x-4)的图象,故B错 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64—