作业(十一)随机抽样与统计图表-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

随机抽样与统计图表 1.简单随机抽样 抽签 法 和 随 机 数 法 是 比 较 常 用 的 两 种 方法. 2.分层随机抽样 一般地,按一个或多个变量把总体划分成 若干个子总体,每个个体属于且仅属于一 个子总体,在每个子总体中独立地进行简 单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样 本合在一起作为总样本,这样的抽样方法 称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. 3.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折 线图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差; ②决定组距与组数; ③将数据分组; ④列频率分布表; ⑤画频率分布直方图. 1.下列抽样试验中,适合用抽签法的是 ( ) A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件 进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中 抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件) 产品中抽取6件进行质量检验 D.从 某 厂 生 产 的3000件 产 品 中 抽 取 10件进行质量检验 2.(2023·遵义高一期中)某工厂为了对产品 质量进行严格把关,从500件产品中随机 抽出50件进行检验,对这500件产品进行 编号001,002,…,500,从下列随机数表的 第二行第三组第一个数字开始,每次从左 往右选取三个数字,则抽到第四件产品的 编号为 ( ) 2839 3125 8395 9524 7232 8995 7216 2884 3660 1073 4366 7575 9436 6118 4479 5140 9694 9592 6017 4951 4068 7516 3241 4782 A.447 B.366 C.140 D.118 3.(2023·渭南高一期中)某工厂生产的A, B,C三种不同型号的产品数量之比为2∶ 3∶5,为研究这三种产品的质量,现用分层 抽样的方法从该工厂生产的A,B,C 三种 产品中抽出100件进行测试,则应该抽取 的A 型号产品的件数为 ( ) A.20 B.30 C.50 D.80 4.(2023·绍兴高一开学考试)某中学为了解 高三男生的体能情况,通过随机抽样,获得了 200名男生的100米体能测试成绩(单位: 秒),将数据按照[11.5,12),[12,12.5),…, [15.5,16]分成9组,制成了如图所示的频 率分布直方图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— 高一数学(配RJA版) 由直方图可估计本校高三男生100米体能 测试成绩小于13.5秒的人数为 ( ) A.47 B.54 C.67 D.94 1.某学校高中部共有学生2100名,高中部 各年级男、女生人数如下表.已知在高中部 学生中随机抽取1名学生,抽到高三年级 女生的概率是0.2,现用分层抽样的方法 在高中部抽取60名学生,则应在高二年级 抽取的学生人数为 ( ) 性别 年级 高一年级 高二年级 高三年级 女生 372 y x 男生 327 z 420 A.12 B.16 C.18 D.24 2.某大型商场从参与购物的人群中随机选出 200人,并将这200人按年龄分组,得到的 频率分布直方图如图所示,则在这200人 中年龄在[25,35)的人数n及直方图中a 值是 ( ) A.n=35,a=0.032 B.n=35,a=0.32 C.n=30,a=0.035 D.n=30,a=0.35 3.(多选)(2023·汉中高一期中)某地教育局 为了解“双减”政策的落实情况,在辖区内 高三年级在校学生中抽取100名学生,调 查他们课后完成作业的时间,根据调查结 果绘制的频率分布直方图如图所示,下列 结论正确的是 ( ) A.所抽取的学生中有25人在2小时至 2.5小时之间完成作业 B.该地高三年级学生完成作业的时间超 过3小时的概率估计为35% C.估计该地高三年级有一半以上的学生 完成作业的时间超过2.6小时 D.估计该地高三年级有一半以上的学生 完成作业的时间在2小时至3小时 之间 4.某大学艺术专业400名学生参加某次测 评,根据男、女学生人数比例,使用分层随 机抽样的方法从中随机抽取了100名学 生,记录他们的分数,将数据分成7组: [20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得 到如下频率分布直方图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— (1)样本中分数小于70的频率; (2)已知样 本 中 分 数 小 于40的 学 生 有 5人,试估计样本中分数在区间[40,50)内 的人数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小于70的男女生人数 相等.试估计样本中男生和女生人数的 比例. 1.(2021·天津卷)从某网络平台推荐的影视 作品中抽取400部,统计其评分数据,将所 得400个评分数据分为8组:[66,70), [70,74),…,[94,98],并整理得到如下的 频率分布直方图,则评分在区间[82,86)内 的影视作品数量是 ( ) A.20 B.40 C.64 D.80 2.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情 况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查, 将农户家庭年收入的调查数据整理得到如 下频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论中不正 确的是 ( ) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的 农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元 的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不 超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年 收入介于4.5万元至8.5万元之间 易错一 忽视频率分布直方图的特征致错 [示例1] 为了解人们对环保知识的认知情 况,某调查机构对A地区随机选取n个居 民进行了环保知识问卷调查(满分为100 分),并根据问卷成绩(不低于60分记为及 格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分 为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100]六组),若问卷成绩最后 三组频数之 和 为360,则 下 列 结 论 正 确 的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— 高一数学(配RJA版) A.n=600 B.问卷成绩在[70,90)内的频率为0.5 C.a=0.3 D.以样本估计总体,若对A地区5000人 进行问卷调查,则约有2000人及格 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在本题的求解过程中或初学频率分布直方图时, 易把频率分布直方图的纵轴误当成频率,解决此 类问题一定要注意纵轴为 频率 组距. 易错二 不能沟通各类统计图表间的联系 致错 [示例2] (2023·安阳高一期中)郑州市某家 保险公司的保险产品有以下五种:甲,一年期 短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期 寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约 定进行参保与理赔,该保险公司对五个险种 的参保客户进行抽样调查,得到如图所示的 统计图,则以下说法正确的是 ( ) A.42~53周岁客户人数不低于54周岁的 客户人数的4倍多 B.不低于54周岁客户参保总费用最多 C.丁险种人均参保费用最低 D.戊险种参保人都是42~53周岁的客户 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若需要解答的题目中含有两种或以上统计图表, 首先弄清楚各种统计图表的纵轴、横轴表示的含 义,然后再沟通这几种统计图表,把其所表达的信 息相互沟通联系,然后求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— 高一数学(配RJA版) (2)如图所示, 过点A1作A1O⊥CC1,垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,平面ACC1A1∩平 面BCC1B1=CC1,A1O⊂平面ACC1A1, 所以A1O⊥平面BCC1B1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC,A1C⊥AC, 又A1B=AB,BC为公共边, 所以△ABC与△A1BC全等,所以A1C=AC. 设A1C=AC=x,则A1C1=x, 所以O 为CC1中点,OC1= 1 2AA1=1 , 又A1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA12, 即x2+x2=22,解得x= 2,即A1C1= 2, 所以A1O= A1C12-OC12= (2)2-12=1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 【易误警示】 [示例1] 解析 连接 AC,A1C1,A1B,AD1,D1C,A1P (图略).因 为 AA1∥CC1,AA1=CC1,所 以 四 边 形 AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.又因为AC⊄ 平面 A1BC1,A1C1⊂平 面 A1BC1,所 以 AC∥ 平 面 A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1.又因为AC⊂平 面ACD1,AD1⊂平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平 面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1,所以 A1P∥平面 ACD1,故②正确.因为 BC1∥AD1,所 以 BC1∥平面 ACD1,所以点 P 到平面ACD1 的距离不 变.又因为VAD1PC=VPACD1,所以三棱锥A D1PC的 体积不变,故①正确.连接DB,DC1,DP,B1D(图略). 因为DB=DC1,所以当P 为BC1 的中点时才有DP⊥ BC1,故③ 错 误.因 为 BB1⊥平 面 ABCD,AC⊂平 面 ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB1∩BD= B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D. 因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理可证 B1D⊥AD1.又 因 为 AC⊂平 面 ACD1,AD1⊂平 面 ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1.又因为 B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④ 正确. 答案 ①②④ [示例2] D 若α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得 m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交. 设α∩β=a,过空间内一点P,作m'∥m,n'∥n,则m'与 n'相交,m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m,l⊥n,所以 l⊥m',l⊥n',所以l⊥γ. 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 作业(十一) 随机抽样与统计图表 【基础演练】 1.B 选项A中总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适 合用抽签法; 选项B中总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂 生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法; 选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大, 不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法; 选项D中总体中的个体数较大,不适合用抽签法. 2.A 从第二行第三组第一个数字开始,每次从左往右选 取三个数字,依次可得:366,010,118,447,…,故选A. 3.A 某工厂生产的A,B,C 三种不同型号产品的数量之 比为2∶3∶5,则A 被抽的抽样比为 22+3+5= 1 5 ,所以 抽出100件产品中A 型号产品的件数为100×15=20 , 故选A. 4.D 由题意,得(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+ 0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.40,由图得本 校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的频率为 (0.08+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.47, 估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的 人数为200×0.47=94. 【综合演练】 1.B 因为在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高三 年级女生的概率是0.2, 所以 x 2100=0.2 ,解得x=420, 所以高二年级的学生人数为2100-372-327-420- 420=561(人), 所以用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生,则应 在高二年级抽取的学生人数为60× 5612100≈16 (人),故 选B. 2.C 由图知,年龄在[25,35)的小矩形的面积为0.015× 10=0.15, 即年龄在[25,35)的频率为0.15,所以年龄在[25,35)的 人数n=0.15×200=30. 由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得 0.010×10+0.015×10+a×10+0.030×10+0.010× 10=1,解得a=0.035. 3.ABC 频率分布直方图中2小时至2.5小时之间的频 率为(2.5-2)×0.5=0.25,故抽取的学生中有100× 0.25=25人 在2小 时 至2.5小 时 之 间 完 成 作 业,A 正确; 频率分布直方图中超过3小时的频率为0.5×(0.3+ 0.2+0.1+0.1)=0.35,B正确; 由频率分 布 直 方 图 可 得 不 超 过2.6小 时 的 频 率 为 (0.1+0.3+0.5)×0.5+0.1×0.4=0.49, 则超过2.6小 时 的 频 率 为1-0.49=0.51>0.5,C 正确; 频率分布直方图中2小 时 至3小 时 之 间 的 频 率 和 为 0.5×(0.5+0.4)=0.45<0.5,D错误,故选ABC. 4.解析 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小 于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. (2)根 据 题 意,得 样 本 中 分 数 不 小 于 50 的 频 率 为 (0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 所以分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55— (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12=30 , 所以样本中的男生人数为30×2=60, 女生人数为100-60=40, 所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 【真题体验】 1.D 由频率分布直方图可知,评分在区间[82,86)内的 影视作品数量为400×0.050×4=80. 2.C 因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图 的高度等于频率.样本频率分布直方图中的频率即可作 为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计 值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计 值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确; 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的 比率估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%> 50%,故D正确; 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+ 4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+ 9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13× 0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C错 误.故选C. 【易误警示】 [示例1] A 10×(0.010+0.015+0.015+a+0.025+ 0.005)=1,解得a=0.03,故C错误; n= 36010×(0.03+0.025+0.005)=600 ,故A正确; 问卷成绩在[70,90)内的频率为10×(0.03+0.025)= 0.55,故B错误; 不低于60分的频率为1-10×(0.010+0.015)=0.75, 则约有5000×0.75=3750人及格,故D错误.故选A. [示例2] A 对于 A,观察参保人年龄分布的扇形图, 42~53周岁客户人数占比33%,不低于54周岁的客户 人数占比8%,42~53周岁客户人数不低于54周岁的 客户人数的4倍多,故A正确; 对于B,统计图显示的是人均参保费用,由于人数未知, 故不能确定哪个年龄段参保总费用最多,故B错误; 对于C,由参保险种比例,丁险种参保比例最高,但统计 图看不出丁险种的人均参保费用,故C错误; 对于D,戊险种的参保人占比33%,42~53周岁客户人 数占比33%,但统计图看不出两者相同,故D错误.故 选A. 作业(十二) 用样本估计总体 【基础演练】 1.ACD 由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可 以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之 无关,故B不正确,A、C、D正确. 2.D 将数据由小到大进行排列为:5,5,6,7,8,8,8, 因此,这组数据的众数为8,中位数为7. 3.D 由题知,6个数分别减去214,得0,-1,0,1,2,-2, 这6个数的平均数为0,所以6个数平均数为214,又 1 6 [0+(-1)2+0+1+22+(-2)2]≈1.67,所以方差 为1.67,故选D. 4.A 因为数据x1,x2,x3,…,xn 的方差s2=4,则数据 3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差为32×4,标 准差为 32×4=6. 【综合演练】 1.C 由题意可知,平均数 􀭺x=79+79+84+84+86+84+87+90+90+9710 =86 , 众数为84. 2.A 由题意,15 (6+7+8+a+10)=8,解得a=9,故此 组数据的方差为1 5 (22+12+12+22)=2,所以此组数 据的标准差为 2,故选A. 3.B 设这组数据分别为x1,x2,…,xn, 则x1+x2+…+xn=3n,(x1-3)2+(x2-3)2+…+ (xn-3)2=4n, 所以(x21+x22+…+x2n)-6(x1+x2+…+xn)+(32+ 32+…+32)=4n, 所以(x21+x22+…+x2n)-18n+9n=4n, 从而x21+x22+…+x2n=13n. 因为这组数据的平方和是这组数据和的平方的1 9 , 所以13n=19× 3n 2=n2,解得n=13或n=0(舍去). 4.ACD 一队每场比赛平均失球个数是1.5,二队每场比 赛平均失球个数是2.1,平均说来一队比二队防守技术 好,A正确; 一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛 失球个数的标准差为0.4,二队比一队技术水平更稳 定,B错误; 一队有时表现很差,有时表现又非常好,二队很少不失 球,故C、D正确. 5.解析 ∵7×50%=3.5,∴其50%分位数是第4个数据 为8.5. 答案 8.5 【真题体验】 1.BD 对于选项A:设x2,x3,x4,x5 的平均数为m,x1, x2,…,x6的平均数为n, 则n-m= x1+x2+x3+x4+x5+x6 6 - x2+x3+x4+x5 4 = 2x1+x6 - x2+x3+x4+x5 12 , 因为没法确定2x1+x6 ,x2+x3+x4+x5 的大小关 系,所以无法判断m,n的大小, 例如:1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5; 例如1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2; 例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,n=116 ;故A错误; 对于选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 可知x2,x3,x4,x5 的中位数等于x1,x2,…,x6 的中位 数均为 x3+x4 2 ,故B正确; 对于选项C:因为x1是最小值,x6是最大值, 则x2,x3,x4,x5 的波动性不大于x1,x2,…,x6 的波动 性,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,…,x6的标 准差, 例如:2,4,6,8,10,12,则平均数n=16 (2+4+6+8+ 10+12)=7, 标准差s1= 1 6 2-7 2+ 4-7 2+ 6-7 2+ 8-7 2+ 10-7 2+ 12-7 2 = 1053 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65—