作业(十五)事件的相互独立性-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

高一数学(配RJA版) 事件的相互独立性 1.相互独立事件的概念:对任意两个事件A 与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则 称事件 A 与 事 件B 相 互 独 立,简 称 为 独立. 2.相互独立事件的性质:若事件A,B 独立, 则A 与􀭺B,􀭿A 与B,􀭿A 与􀭺B 也独立. 1.袋中有黑、白两种颜色的球,从中进行有放 回地摸球,用A1 表示第一次摸得黑球,A2 表示第二次摸得黑球,则A1 与􀭿A2 是 ( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 2.若P(AB)=19 ,P(􀭿A)=23 ,P(B)=13 ,则 事件A 与B 的关系是 ( ) A.事件A 与B 互斥 B.事件A 与B 对立 C.事件A 与B 相互独立 D.事件A 与B 既互斥又相互独立 3.小红、小明、小芳参加技能展示比赛,他们 约定用“石头、剪子、布”的方式确定出场的 先后顺序.问在1个回合中3个人都出 “布”的概率是 ( ) A.19 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 27 4.某校进行定点投篮训练,甲、乙、丙三个同 学在固定的位置投篮,投中的概率分别1 2 , 2 3 ,p,已知每个人投篮互不影响,若这三个 同学各投篮一次,至少有一人投中的概率 为7 8 ,则p= ( ) A.25 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 4 1.(2023·邵阳高一期中)抛掷两枚质地均匀 的硬币,设事件 M=“第一枚硬币正面向 上”,N=“第二枚硬币反面向上”,则下列 结论正确的是 ( ) A.M 与N 是对立事件 B.M 与N 是互斥事件 C.M 与N 相互独立 D.M 与N 既不互斥也不独立 2.甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别 为1 4 ,2 3 ,若甲、乙分别去完成这项任务且 相互之间不受影响,则甲完成此任务而乙 没有完成此任务的概率为 ( ) A.112 B. 1 6 C. 1 4 D. 2 3 3.一个电路如图所示,A,B,C 为3个开关, 其闭合的概率均为2 3 ,且是相互独立的,则 灯亮的概率是 ( ) A.1627 B. 8 27 C. 11 27 D. 19 27 4.(多选)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为 Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现 的基本结果;记A=“Ⅰ号骰子出现的点数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 为1”;B=“Ⅱ号骰子出现的点数为2”; C=“两个点数之和为8”;D=“两个点数 之和为7”,则以下判断不正确的是 ( ) A.A 与B 相互独立 B.A 与D 相互独立 C.B 与C 相互独立 D.C与D 相互独立 5.某农户要种植甲、乙两种蔬菜,需要先播种 培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两 种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5,0.6, 移栽后成活的概率分别为0.6,0.8,则恰 好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概 率为 . 6.甲、乙两人进行体育比赛,比赛共设三个项 目,每个项目胜方得1分,负方得0分,没 有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的 人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的 概率分别为1 2 ,p,q(p<q),各项目的比赛 结果相互独立,甲得0分的概率是350 ,甲得 3分的概率是425. (1)求p,q的值; (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性 大? 并说明理由. 1.(2021·新高考全国卷Ⅰ)有6个相同的 球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放 回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事 件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示 事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表 示事件“两次取出的球的数字之和是8”, 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”,则 ( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 2.(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子 的概率分别为1 2 和1 3. 假定两球是否落入 盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的 概率为 ;甲、乙两球至少有一个落 入盒子的概率为 . 易错 不能正确分解事件致错 [示例] 甲、乙两队进行篮球比赛,采取五场 三胜制(先胜三场者获胜,比赛结束),根据 前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为 “客客主主客”,设甲队主场取胜的概率为 0.5,客场取胜的概率为0.4,且各场比赛 相互独立,则甲队在0∶1落后的情况下最 后获胜的概率为 ( ) A.0.24 B.0.25 C.0.2 D.0.3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答较复杂的相互独立事件的概率问题,要首先 把事件分解为若干个互斥事件的和,然后分别利 用相互独立事件的概率公式计算其概率求和即 可.此类问题的易错之处为分解事件时遗漏部分 事件或分解得到的事件不是互斥的事件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 高一数学(配RJA版) [示例2] 解析 将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填 空题依次编号为4,5. ①从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放 回),样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1), (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4)},共20个样本点,这20个样本点发生的可能性 是相等的.设事件A 为“所选的题不是同一种题型”,则 事件A 包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),共12个,所以P(A)=1220=0.6. ②从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放 回),样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样 本点,这25个样本点发生的可能性是相等的.设事件B 为“所选的题不是同一种题型”,则事件B 包含的样本 点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1), (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个,所 以 P(B)=1225=0.48. 答案 0.6 0.48 作业(十五) 事件的相互独立性 【基础演练】 1.A 由题意可得􀭿A2 表示第二次摸到的不是黑球, 即􀭿A2 表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球, 故每次是否摸到白球互不影响,故事件A1 与􀭿A2 是相互独 立事件, 由于A1 与􀭿A2 可能同时发生,故不是互斥事件也不是对立 事件. 2.C ∵P(A)=1-P(􀭿A)=1-23= 1 3 , ∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0 , ∴事件 A 与B 相互独立,事件 A 与B 不互 斥,故 不 对立. 3.D 由题,三个人各自出“布”的概率为13 , 所以1个回合中3个人都出“布”的概率为 13 3 =127 , 故选D. 4.D 由题意可知1- 1-12 1-23 (1-p)=78, 解得p=14. 【综合演练】 1.C 由于事件 M 与事件N 能同时发生,所以不为互斥 事件,也不是对立事件,A、B错误; 两个事件可以同时发生,也可以都不发生,M 事件发生 与否对N 事件没有影响,是相互独立事件,C正确,D错 误. 2.A 依题意,甲、乙分别去完成这项任务相互独立,则甲 完成 此 任 务 而 乙 没 有 完 成 此 任 务 的 概 率 为 1 4 × 1-23 =112,故选A. 3.A 因为A 开关闭合概率为23 ,B,C至少有一个闭合概 率为1- 1-23 × 1-23 =89,所以灯亮的概率是 P=23× 8 9= 16 27. 4.CD 抛掷两枚质地均匀的骰子的结果用数对表示,其 中Ⅰ号在前,Ⅱ号在后,不同的结果有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6),共36个, 依题意,P(A)=16 ,P(B)=16 , 事件C含有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个, P(C)=536 ; 事件D 含有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), 共6个,P(D)=636= 1 6. 对于 A,事 件 AB 只 有 结 果(1,2),P(AB)= 136= P(A)·P(B),A 与B 相互独立,A正确; 对于B,事 件 AD 只 有 结 果(1,6),P(AD)= 136= P(A)·P(D),A 与D 相互独立,B正确; 对于C,事件BC只有结果(6,2),P(BC)=136≠P (B)· P(C),B 与C 相互不独立,C不正确; 对于D,事件CD 是不可能事件,P(CD)=0≠P(C)· P(D),C与D 相互不独立,D不正确.故选CD. 5.解析 记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A, “乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B, 则P A =0.5×0.6=0.3,P B =0.6×0.8=0.48, P 􀭿A =0.7,P 􀭺B =0.52, 故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 P A􀭺B +P 􀭿AB =P A P 􀭺B +P 􀭿A P B = 0.3×0.52+0.7×0.48=0.492. 答案 0.492 6.解析 (1)因为 1 2 1-p 1-q = 3 50 , 1 2pq= 4 25 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 且p<q,解得 p=25 , q=45. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)甲得2分的概率 P1= 1 2× 2 5× 1- 4 5 +12× 1-25 ×45+ 1-12 ×25×45=1125, 所以甲得2分或3分的概率P=1125+ 4 25= 3 5 , 那么乙得2分或3分的概率为25 , 所以甲获得最终胜利的可能性大. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 【真题体验】 1.B P(甲)=16 ,P(乙)=16 ,P(丙)=536 , P(丁)=636= 1 6 ,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), P(甲丁)=136=P (甲)P(丁), P(乙丙)=136≠P (乙)P(丙), P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙), 故选B. 2.解析 甲、乙两球落入盒子的概率分别为12 ,1 3 ,且两 球是否落入盒子互不影响, 所以甲、乙都落入盒子的概率为1 2× 1 3= 1 6 , 甲、乙 两 球 都 不 落 入 盒 子 的 概 率 为 1-12 × 1-13 =13, 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3. 答案 16 2 3 【易误警示】 [示例] A 由题意可知,甲队在第一场比赛输了,若甲 队在0∶1落后的情况下最后获胜,分以下几种情况 讨论: ①甲队在第二、三、四场比赛都获胜,概率为P1=0.4× 0.52=0.1; ②甲队在第二场比赛输了,在第三、四、五场比赛获胜, 概率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06; ③甲队在第二、四、五场比赛获胜,在第三场比赛输了, 概率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04; ④甲队在第二、三、五场比赛获胜,在第四场比赛输了, 概率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04. 综上所述,所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24. 第二部分 新知预习 作业(十六) 空间向量及其线性运算 知识点1 [即学即练] 1.ABC 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等 向量或相反向量. 2.D A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,|a|=|b|只 能 说 明a,b 的 长 度 相 等 而 方 向 不 确定; C中,向量不能比较大小. 知识点2 [即学即练] 1.C PM→-PN→+MN→=NM→+MN→=NM→-NM→=0. 2.AB A中,A1D1 →-A1A →-AB→=AD1 →-AB→=BD1 →; B中,BC→+BB1 →-D1C1 →=BC1 →+C1D1 →=BD1 →; C中,AD→-AB→-DD1 →=BD→-DD1 →=BD→-BB1 →= B1D →≠BD1 →; D中,B1D1 →-A1A →+DD1 →=BD→+AA1 →+DD1 →=BD1 →+ AA1 →≠BD1 →. [知识点3] [即学即练] 1.B MN→=MA→+AB→+BN→=12a+ (b-a)+12 (c-b)= -12a+ 1 2b+ 1 2c. 2.解析 BE→=12 (BP→+BD→)=12 (-b+BA→+BC→) =-12b+ 1 2 (PA→-PB→+PC→-PB→) =-12b+ 1 2 (a+c-2b)=12a- 3 2b+ 1 2c. 答案 12a- 3 2b+ 1 2c 知识点4 [即学即练] 1.解析 由于 A,B,C 三点共线,所以存在实数λ,使得 AC→=λAB→,即OC→-OA→=λ(OB→-OA→), 所以OC→=(1-λ)OA→+λOB→, 所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1. 答案 1 2.解析 因为BC→=-2a-b,DC→=a-2b. 所以BD→=BC→+CD→=BC→-DC→=-2a-b-(a-2b)= -3a+b, 因为A,B,D 三 点 共 线,所 以 存 在 实 数λ,使 得AB→= λBD→, 即9a+mb=λ(-3a+b). 所以 9=-3λ , m=λ, 解得m=λ=-3. 答案 -3 知识点5 [即学即练] 1.A 由向量共面定理可知,三个向量a,b,2a-b为共面 向量. 2.AC A选项中,3-1-1=1,四点共面, C选项中,MA→=-MB→-MC→,∴点 M,A,B,C共面. 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标 为(2,-2),在第四象限.故选D. 2.A 按题意,从第一行第5列,两个两个数字取数,抽样 编号依次为43,36,47,46,24,第5个是24,故选A. 3.B 由已知得a+2b=(5,2-4λ),a-b=(-7,2+2λ), ∵(a+2b)∥(a-b),∴5×(2+2λ)-(-7)×(2-4λ) =0,解得λ=43. 4.C 由 正 弦 定 理 asinA= b sinB 可 得sinA=asinBb = 3×23 4 = 1 2. 5.B 如图,记正六边形ABC- DEF 的 中 心 为 点 O,连 接 OB,OD, 显然△OBC 和△ODC 均 为 等边三角形,所以OB=OD =CD=BC,即 四 边 形 OB- CD 为 菱 形,且 点 P 恰 为 其 中 心,则 FP→ = 32 FO → = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—