作业(十四)古典概型、概率的基本性质-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

高一数学(配RJA版) 古典概型、概率的基本性质 1.古典概型 (1)有 限 性:样 本 空 间 的 样 本 点 只 有 有 限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性 相等. 2.古典概型的概率公式 一般地,设试验E 是古典概型,样本空间Ω 包含n个样本点,事件A 包含其中的k 个 样本点,则定义事件 A 的概率P(A)= k n= n(A) n(Ω). 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A 和样 本空间Ω 包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件 的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0; 性质3:如果事件A 与事件B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B); 性质4:如果事件A 与事件B 互为对立事 件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B); 性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由 该性质可得,对于任意事件 A,因为⌀⊆ A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1. 性质6:设A,B 是一个随机试验中的两个 事件,有 P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(A∩B). 1.某射手在一次射击中,射中10环,9环, 8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手 在一次射击中不够8环的概率为 ( ) A.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.4 2.欧几里得大约生活在公元前330—前275 年之间,著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲 线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍 中任意抽取2部,则抽到《几何原本》的概 率为 ( ) A.12 B. 1 3 C. 1 4 D. 5 6 3.(2023·梅州高一期中)从数字1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数, 则这个两位数大于40的概率为 ( ) A.15 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 4.抛掷一枚骰子,记A 为事件“出现点数是奇 数”,B 为事件“出现点数是3的倍数”,则 P(A∪B)= ,P(A∩B)= . 1.(多选)下列试验是古典概型的是 ( ) A.在适宜的条件下种一粒种子,发芽的 概率 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个 球除颜色外完全相同,从中任取一球为 白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点 落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人 发言,甲被选中的概率 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 2.(2023·沈阳高一期中) 珠算是以算盘为工具进 行数字计算的一种方法,算盘的每个档(挂 珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面 的两颗珠叫“上珠”,下面的5颗珠叫“下 珠”,从最右边两档的14颗算珠中任取 1颗,则这一颗是上珠的概率为 ( ) A.14 B. 2 5 C. 2 7 D. 1 5 3.(2023·桂林高一期中)甲、乙、丙三人排 队,甲排在末位的概率为 ( ) A.14 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4.不透明箱子中有形状、大小都相同的5个 球,其中2个白球,3个红球,现从箱子中 随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概 率为 ( ) A.310 B. 2 5 C. 3 5 D. 7 10 5.(2023·哈尔滨高一期中)据史料推测,算 筹最晚出现在春秋晚期战国初年,是充分 体现我国劳动人民智慧的一种计数方法. 在算筹计数法中,用一根根同样长短和粗 细的小棍子(用竹子,木头,兽骨,象牙,金 属等材料制成)以不同的排列方式来表示 数字,如果用五根小木棍随机摆成图中的 两个数(小木棍全部用完),那么这两个数 的和不小于9的概率为 . 6.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均 属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和 丙级品的概率分别是0.05和0.03,则抽 检一件是甲级品的概率为 . 1.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4, 5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张, 则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍 数的概率为 ( ) A.15 B. 1 3 C. 2 5 D. 2 3 2.(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排 成一行,则2个0不相邻的概率为 ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 易错一 不能正确理解频率与概率的关系 致错 [示例1] 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果 连续抛掷1000次,那么第999次出现正 面朝上的概率是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 随机事件的频率与概率的关系中,概率是客观存在 的,与试验次数无关,而频率是随机的,随着试验次 数的增多,频率越来越接近概率,频率在随机试验 前是不能确定的,而概率在随机试验前就能确定 的,因此本题求解的是概率和抛掷次数是无关的. 易错二 不能正确理解古典概型中的“放 回”与“不放回”致错 [示例2] 小李在做一份调查问卷,共有5道 题,其中有两种题型,一种是选择题,共 3道,另一种是填空题,共2道.若小李从 中任选2道题解答,每一次选1题(不放 回),则所选的题不是同一种题型的概率为 ;若小李从中任选2道题解答,每 一次选1题(有放回),则所选的题不是同 一种题型的概率为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求解“放回”与“不放回”问题时应注意:(1)对于放回 抽样,应注意连续取两次的过程中,因先后顺序不 同,(4,5),(5,4)并不是同一个样本点.(2)对于不放 回抽样,计算样本点的个数时,既可以看作是有顺 序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致 的,但无论是选择哪一种方式,观察角度必须一致. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共6个,其中来自不 同年级 的 样 本 点 有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1), (A2,B2)共4个, 所以这2名学生来自不同年级的概率为46= 2 3. 故选D. 2.B 由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货, 如果没 有 志 愿 者 帮 忙,则 超 市 第 二 天 共 会 积 压 超 过 500+(1600-1200)=900(份)订单的概率为0.05,因 此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率 不小于0.95,至少需要志愿者90050=18 (名).故选B. 【易误警示】 [示例1] BD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情 况有:“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色” “1张为红色,1张为绿色”“1张为红色,1张为蓝色” “1张为绿色,1张为蓝色”,选项中给出的四个事件中与 “2张都为红色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色” “2张都为绿色”,其中“2张至少一张为红色”包含事件 “2张都为红色”,并非互斥,“2张不全为红色”是对立事件. [示例2] 解析 (1)由题意,停靠的站由南至北分别为 S1,S2,…,S10站, 所以样本空间Ω 表示乘客所有可能到达的站,则 Ω= S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 . (2)由题意,甲在S3站买票,乙在S6站买票, 则A= S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 , B= S7,S8,S9,S10 . (3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种, 从S2站发车的车票共计8种, … 从S9站发车的车票1种, 共计9+8+…+2+1=45(种). 作业(十四) 古典概型、概率的基本性质 【基础演练】 1.D 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则 P(A)=1-P(􀭿A)=1-0.6=0.4. 2.A 记4部书籍分别为a,b,c,d,则从4部书籍中任意 抽取2部的样本点为ab,ac,ad,bc,bd,cd共有6个,抽 到《几何原本》的样本点为ab,ac,ad 共有3个,所以抽 到《几何原本》的概率为P=36= 1 2. 3.B 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个 两位数, 共有5×4=20种方法,这个两位数大于40的共有41, 42,43,45,51,52,53,54,共8种, 故这个两位数大于40的概率为820= 2 5 ,故选B. 4.解析 抛掷一枚骰子,样本空间出现的点数是{1,2,3, 4,5,6},共6个样本点. 事件A∪B 包括出现的点数是{1,3,5,6},共4个样本 点,故P(A∪B)=23 ; 事件A∩B 包括出现的点数是{3},共1个样本点,故 P(A∩B)=16. 答案 23 1 6 【综合演练】 1.BD A:在适宜的条件下种一粒种子,发芽的概率,不符 合等可能性; B:从中任取一球的事件有限,且任取一球为白球或黑球 的概率是等可能的; C:向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的 概率,不符合有限性; D:老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限, 甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选BD. 2.C 总共14颗算珠,其中上珠4颗,故从最右边两档的 14颗 算 珠 中 任 取 1颗,则 这 一 颗 是 上 珠 的 概 率 为 4 14= 2 7. 3.B 甲、乙、丙三人排队,有{(甲,乙,丙)、(甲,丙,乙), (乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共 6个样本点; 其中甲排在末位的有:{(乙,丙,甲),(丙,乙,甲)},共2 个样本点. ∴甲排在末位的概率P=26= 1 3. 4.B 由题设,若白球为1,2,红球为a,b,c, 则摸出 两 球 的 可 能 有(1,2),(1,a),(1,b),(1,c), (2,a),(2,b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种;其中 两个球同色有(1,2),(a,b),(a,c),(b,c),共4种; 所以随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概率为25. 5.解析 用五根小木棍摆成两个数,共有两种摆放方法. 第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4,1与8, 其和分别为5,9,共2种; 第二种是用2根和3根小木棍可以组成:2与3,2与7, 6与3,6与7,其和分别为5,9,9,13,共4种, 故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数,有2+4=6 种不同的组合,其中两个数的和不小于9的有4种, ∴这两个数的和不小于9的概率为P=46= 2 3. 答案 23 6.解析 记抽捡的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事 件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,且事件 A 和事件B∪C是对立事件,因而所求概率为P(A)= 1-P(B)-P(C)=0.92. 答案 0.92 【真题体验】 1.C 无放回随机抽取2张方法有(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之 积为4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5), (4,6)共6种,故P=615= 2 5 ,故选C. 2.C 将3个1和2个0随机排成一行,可以是 00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110, 11001,11010,11100,共10种排法, 其中2个0不相邻的排列方法为 01011,01101,01110,10101,10110,11010, 共6种方法, 故2个0不相邻的概率为610=0.6 , 故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 抛掷一枚质地均匀的硬币,要么正面朝 上,要么反面朝上,因此第999次出现正面朝上的概率 是1 2. 答案 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— 高一数学(配RJA版) [示例2] 解析 将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填 空题依次编号为4,5. ①从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放 回),样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1), (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4)},共20个样本点,这20个样本点发生的可能性 是相等的.设事件A 为“所选的题不是同一种题型”,则 事件A 包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),共12个,所以P(A)=1220=0.6. ②从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放 回),样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样 本点,这25个样本点发生的可能性是相等的.设事件B 为“所选的题不是同一种题型”,则事件B 包含的样本 点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1), (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个,所 以 P(B)=1225=0.48. 答案 0.6 0.48 作业(十五) 事件的相互独立性 【基础演练】 1.A 由题意可得􀭿A2 表示第二次摸到的不是黑球, 即􀭿A2 表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球, 故每次是否摸到白球互不影响,故事件A1 与􀭿A2 是相互独 立事件, 由于A1 与􀭿A2 可能同时发生,故不是互斥事件也不是对立 事件. 2.C ∵P(A)=1-P(􀭿A)=1-23= 1 3 , ∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0 , ∴事件 A 与B 相互独立,事件 A 与B 不互 斥,故 不 对立. 3.D 由题,三个人各自出“布”的概率为13 , 所以1个回合中3个人都出“布”的概率为 13 3 =127 , 故选D. 4.D 由题意可知1- 1-12 1-23 (1-p)=78, 解得p=14. 【综合演练】 1.C 由于事件 M 与事件N 能同时发生,所以不为互斥 事件,也不是对立事件,A、B错误; 两个事件可以同时发生,也可以都不发生,M 事件发生 与否对N 事件没有影响,是相互独立事件,C正确,D错 误. 2.A 依题意,甲、乙分别去完成这项任务相互独立,则甲 完成 此 任 务 而 乙 没 有 完 成 此 任 务 的 概 率 为 1 4 × 1-23 =112,故选A. 3.A 因为A 开关闭合概率为23 ,B,C至少有一个闭合概 率为1- 1-23 × 1-23 =89,所以灯亮的概率是 P=23× 8 9= 16 27. 4.CD 抛掷两枚质地均匀的骰子的结果用数对表示,其 中Ⅰ号在前,Ⅱ号在后,不同的结果有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6),共36个, 依题意,P(A)=16 ,P(B)=16 , 事件C含有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个, P(C)=536 ; 事件D 含有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), 共6个,P(D)=636= 1 6. 对于 A,事 件 AB 只 有 结 果(1,2),P(AB)= 136= P(A)·P(B),A 与B 相互独立,A正确; 对于B,事 件 AD 只 有 结 果(1,6),P(AD)= 136= P(A)·P(D),A 与D 相互独立,B正确; 对于C,事件BC只有结果(6,2),P(BC)=136≠P (B)· P(C),B 与C 相互不独立,C不正确; 对于D,事件CD 是不可能事件,P(CD)=0≠P(C)· P(D),C与D 相互不独立,D不正确.故选CD. 5.解析 记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A, “乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B, 则P A =0.5×0.6=0.3,P B =0.6×0.8=0.48, P 􀭿A =0.7,P 􀭺B =0.52, 故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 P A􀭺B +P 􀭿AB =P A P 􀭺B +P 􀭿A P B = 0.3×0.52+0.7×0.48=0.492. 答案 0.492 6.解析 (1)因为 1 2 1-p 1-q = 3 50 , 1 2pq= 4 25 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 且p<q,解得 p=25 , q=45. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)甲得2分的概率 P1= 1 2× 2 5× 1- 4 5 +12× 1-25 ×45+ 1-12 ×25×45=1125, 所以甲得2分或3分的概率P=1125+ 4 25= 3 5 , 那么乙得2分或3分的概率为25 , 所以甲获得最终胜利的可能性大. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95—