作业(十三)随机事件与概率-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

随机事件与概率 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点:我们把随机试验E 的每个可能 的基本结果称为样本点,常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E 的样本空 间,常用Ω表示. ②有限样本空间:如果一个随机试验有n 个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义:将样本空间Ω 的子集称为随机事 件,简称事件. ②表示:大写字母A,B,C,…. ③随机事件的极端情形:必然事件、不可能 事件. 2.两个事件的关系和运算 事件的关 系或运算 含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 A⊆B 相等关系 B⊇A 且A⊇B A=B 并事件 (和事件) A 与B 至少一个 发生 A∪B 或A+B 交事件 (积事件) A 与B 同时发生 A∩B 或AB 互斥 (互不相容) A 与B 不能同时 发生 A∩B=⌀ 互为对立 A 与B 有且仅有 一个发生 A∩B=⌀, A∪B=Ω 3.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离 概率的幅度会缩小,即事件A 发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳 定性. (2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A) 估计概率P(A). 1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有 一次中靶”的对立事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 2.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的 五个小球,这些小球除标注的数字外完全 相同,现从中随机取出2个小球,则取出小 球标注的数字之差的绝对值为2或4的事 件包含的样本点个数为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000 次,其中有496次正面朝上,504次反面朝 上,则抛掷一次硬币正面朝上的概率为 . 4.先后两次抛掷同一枚硬币,若正面向上记 为1;若反面向上,则记为0,则这个试验的 样本空间中有 个样本点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 高一数学(配RJA版) 1.下列说法正确的是 ( ) A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,事件发生的频率 一般会稳定于概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为 事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( ) A.A⊆B B.A=B C.A∪B 表示向上的点数是1或2或3 D.AB 表示向上的点数是1或2或3 3.(多选)依次抛掷两枚骰子,所得点数之和 记为X,那么 X=4表示的随机试验的样 本点是 ( ) A.第一枚是3点,第二枚是1点 B.第一枚是1点,第二枚是3点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 4.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.若事件A 与B 互斥,则A∪B 是必然 事件 B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼 梦》是我国四大名著.若在这四大名著 中,甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅 读,设事件E=“甲取到《红楼梦》”,事 件F=“乙取到《红楼梦》”,则E 与F 是 互斥但不对立事件 C.掷一枚骰子,记录其向上的点数,记事 件A=“向上的点数不大于5”,事件B= “向上的点数为质数”,则B⊆A D.10个产品中有2个次品,从中抽取一个 产品检查其质量,则样本空间含有2个 样本点 5.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只, 直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚 数.则该试验的样本空间Ω= . 6.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300 双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的 销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋 的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组 的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为 6,7,9.若第5组表示的是尺码为40~42 的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为 40~42的皮鞋约为 双. 7.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取 3个球,设事件A={3个球中有1个红球, 2个白球},事件B={3个球中有2个红 球,1个白球},事件C={3个球中至少有 1个红球},事件D={3个球中既有红球又 有白球}. (1)事件D 与A,B 是什么样的运算关系? (2)事件C与A 的积事件是什么事件? 8.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数 分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的 方法从这三个协会中抽取6名运动员组队 参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动 员的人数; (2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分 别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运 动员中随机抽取2人参加双打比赛. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— ①用所给编号列出所有样本点; ②设A 为事件“编号为A5和A6的两名运 动员中至少有1人被抽到”,写出该事件的 集合表示. 1.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学 生,其中高一、高二年级各2名.从这4名 学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这 2名学生来自不同年级的概率为 ( ) A.16 B. 1 3 C.12 D. 2 3 2.(2020·全国卷Ⅱ改编)某超市开通网上销 售业务,每天能完成1200份订单的配货, 由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解 决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工 作.已知该超市某日积压500份订单未配 货,预计第二天的新订单超过1600份的概 率为0.05,志愿者每人每天能完成50份 订单的配货,为使第二天完成积压订单及 当日订单的配货的概率不小于0.95,则至 少需要志愿者 ( ) A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 易错一 不理解互斥事件、对立事件的概 念致错 [示例1] (多选)不透明的口袋内装有红 色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出 2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互 斥而不对立的事件有 ( ) A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色 C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在一次试验中,不可能同时发生的事件为互斥事件, 在互斥事件中必有一个发生的事件为对立事件,理解 二者的含义、区别和联系,有必要时可列举出每个事 件所包含的样本点来判断,才不至于出错. 易错二 列举样本点时重复或遗漏致错 [示例2] 设有一列北上的火车,已知停靠 的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.若 甲在S3 站买票,乙在S6 站买票,设样本空 间Ω表示乘客所有可能到达的站,令A 表 示甲可能到达的站的集合,B 表示乙可能 到达的站的集合. (1)写出样本空间Ω; (2)分别写出事件A、事件B 所包含的样 本点; (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的 车票? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 列举样本点的关键是理解事件的含义,按照一定 的顺序写,要保证所有的样本点不重不漏. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 高一数学(配RJA版) 4,6,8,10,则平均数m=14 4+6+8+10 =7 , 标准差s2= 1 4 4-7 2+ 6-7 2+ 8-7 2+ 10-7 2 = 5, 显然 105 3 > 5 ,即s1>s2;故C错误; 对于选项D:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 则x6-x1≥x5-x2,当且仅当x1=x2,x5=x6 时,等号 成立,故D正确.故选BD. 2.解析 (1)各项所求值如下所示. 􀭺x=110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+ 10.1+10.2+9.7)=10.0, 􀭵y=110 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+ 10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3, s21= 1 10× [(9.7-10.0)2+2×(9.8-10.0)2+(9.9- 10.0)2+2×(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2× (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036, s22= 1 10× [(10.0-10.3)2+3×(10.1-10.3)2+(10.3- 10.3)2+2×(10.4-10.3)2+2×(10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2]=0.04. (2)由(1)中 数 据 得􀭵y-􀭺x=2 0.152=2 0.0225, 2 s21+s22 10 =2 0.0076. 显然􀭵y-􀭺x>2 s21+s22 10 . 所以可认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设 备有显著提高. 【易误警示】 [示例1] 解析 由题意得 -m+2=n , m=n, ,解得m=1,n=1, ∴ 12024 [(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x2024-1)2]=1, ∴x21+x22+…+x22024+2024-2(x1+x2+…+x2024) =2024, ∴x21+x22+…+x22024=2(x1+x2+…+x2024)=2× 2024=4048. 答案 4048 [示例2] CD 对于A,16名同学中,命中8次的人数最 多,则众数为8,A错误; 对于B,将数据从小到大排序,则中位数为7,B错误; 对于C,16×75%=12,将数据从小到大排序,则第12 个数据和第13个数据都是8,故75%分位数为8,C 正确; 对于D,平均数为116× (4+10+12+28+40+18)=7,D 正确. 作业(十三) 随机事件与概率 【基础演练】 1.D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”. 2.B 从5个小球中任取2个,其中数字之差的绝对值为 2或4的事件包含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个样 本点. 3.解析 抛掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 答案 0.5 4.解析 这 个 试 验 的 样 本 空 间 为 Ω={(1,1),(1,0), (0,1),(0,0)},共4个样本点. 答案 4 【综合演练】 1.C 不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故A 错误;频率是由试验的次数决定的,故B错误;概率是频 率的稳定值,故C正确,D错误. 2.C 由题意,可知A={1,2},B={2,3}, 则A∩B={2},A∪B={1,2,3},∴A∪B 表示向上的 点数为1或2或3. 3.ABD X=4表示两次抛掷所得总数之和为4,则随机 试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第 一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”. 4.BCD 对于A,事件A 与B 互斥时,A∪B 不一定是必 然事件,故A不正确;对于B,事件E 与F 不会同时发 生,所以E 与F 是互斥事件,但除了事件E 与F 之外还 有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”,所以E 与F 不是 对立事件,故E 与F 是互斥但不对立事件,故B正确; 对于C,事件A={1,2,3,4,5},事件B={2,3,5},所以 B 包含于A,故C正确;对于D,样本空间Ω={正品,次 品},含有2个样本点,故D正确. 5.解析 最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡 的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能 是8,6,4,2,0. 答案 {0,2,4,6,8} 6.解析 ∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9, ∴第1,2,4组 的 频 率 分 别 为640=0.15 ,7 40=0.175 , 9 40=0.225. ∵第3组的频率为0.25,∴第5组的频率是1-0.25- 0.15-0.175-0.225=0.2, ∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0. 2×300=60(双). 答案 60 7.解析 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白 球或2个红球,1个白球,故D=A+B. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2 个红球,1个白球或3个红球,故CA=A. 8.解析 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27+ 9+18=54, 则应从甲协会抽取27×654=3 (人), 从乙协会抽取9×654=1 (人), 从丙协会抽取18×654=2 (人). 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3, 1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所 有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5), (A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6), (A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6), (A5,A6),共15种. ②事 件 A 可 用 集 合 表 示 为 {(A1,A5),(A1,A6), (A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5), (A4,A6),(A5,A6)}. 【真题体验】 1.D 设高一2名学生为A1,A2,高二2名学生为B1,B2, 从中随机选2名的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共6个,其中来自不 同年级 的 样 本 点 有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1), (A2,B2)共4个, 所以这2名学生来自不同年级的概率为46= 2 3. 故选D. 2.B 由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货, 如果没 有 志 愿 者 帮 忙,则 超 市 第 二 天 共 会 积 压 超 过 500+(1600-1200)=900(份)订单的概率为0.05,因 此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率 不小于0.95,至少需要志愿者90050=18 (名).故选B. 【易误警示】 [示例1] BD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情 况有:“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色” “1张为红色,1张为绿色”“1张为红色,1张为蓝色” “1张为绿色,1张为蓝色”,选项中给出的四个事件中与 “2张都为红色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色” “2张都为绿色”,其中“2张至少一张为红色”包含事件 “2张都为红色”,并非互斥,“2张不全为红色”是对立事件. [示例2] 解析 (1)由题意,停靠的站由南至北分别为 S1,S2,…,S10站, 所以样本空间Ω 表示乘客所有可能到达的站,则 Ω= S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 . (2)由题意,甲在S3站买票,乙在S6站买票, 则A= S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10 , B= S7,S8,S9,S10 . (3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种, 从S2站发车的车票共计8种, … 从S9站发车的车票1种, 共计9+8+…+2+1=45(种). 作业(十四) 古典概型、概率的基本性质 【基础演练】 1.D 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则 P(A)=1-P(􀭿A)=1-0.6=0.4. 2.A 记4部书籍分别为a,b,c,d,则从4部书籍中任意 抽取2部的样本点为ab,ac,ad,bc,bd,cd共有6个,抽 到《几何原本》的样本点为ab,ac,ad 共有3个,所以抽 到《几何原本》的概率为P=36= 1 2. 3.B 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个 两位数, 共有5×4=20种方法,这个两位数大于40的共有41, 42,43,45,51,52,53,54,共8种, 故这个两位数大于40的概率为820= 2 5 ,故选B. 4.解析 抛掷一枚骰子,样本空间出现的点数是{1,2,3, 4,5,6},共6个样本点. 事件A∪B 包括出现的点数是{1,3,5,6},共4个样本 点,故P(A∪B)=23 ; 事件A∩B 包括出现的点数是{3},共1个样本点,故 P(A∩B)=16. 答案 23 1 6 【综合演练】 1.BD A:在适宜的条件下种一粒种子,发芽的概率,不符 合等可能性; B:从中任取一球的事件有限,且任取一球为白球或黑球 的概率是等可能的; C:向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的 概率,不符合有限性; D:老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限, 甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选BD. 2.C 总共14颗算珠,其中上珠4颗,故从最右边两档的 14颗 算 珠 中 任 取 1颗,则 这 一 颗 是 上 珠 的 概 率 为 4 14= 2 7. 3.B 甲、乙、丙三人排队,有{(甲,乙,丙)、(甲,丙,乙), (乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共 6个样本点; 其中甲排在末位的有:{(乙,丙,甲),(丙,乙,甲)},共2 个样本点. ∴甲排在末位的概率P=26= 1 3. 4.B 由题设,若白球为1,2,红球为a,b,c, 则摸出 两 球 的 可 能 有(1,2),(1,a),(1,b),(1,c), (2,a),(2,b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种;其中 两个球同色有(1,2),(a,b),(a,c),(b,c),共4种; 所以随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概率为25. 5.解析 用五根小木棍摆成两个数,共有两种摆放方法. 第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4,1与8, 其和分别为5,9,共2种; 第二种是用2根和3根小木棍可以组成:2与3,2与7, 6与3,6与7,其和分别为5,9,9,13,共4种, 故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数,有2+4=6 种不同的组合,其中两个数的和不小于9的有4种, ∴这两个数的和不小于9的概率为P=46= 2 3. 答案 23 6.解析 记抽捡的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事 件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,且事件 A 和事件B∪C是对立事件,因而所求概率为P(A)= 1-P(B)-P(C)=0.92. 答案 0.92 【真题体验】 1.C 无放回随机抽取2张方法有(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之 积为4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5), (4,6)共6种,故P=615= 2 5 ,故选C. 2.C 将3个1和2个0随机排成一行,可以是 00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110, 11001,11010,11100,共10种排法, 其中2个0不相邻的排列方法为 01011,01101,01110,10101,10110,11010, 共6种方法, 故2个0不相邻的概率为610=0.6 , 故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 抛掷一枚质地均匀的硬币,要么正面朝 上,要么反面朝上,因此第999次出现正面朝上的概率 是1 2. 答案 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85—