作业(十六)空间向量及其线性运算-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

高一数学(配RJA版) 第二部分 新知预习 空间向量及其线性运算 知识点1 空间向量的概念 1.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间 向量,空间向量的大小叫做空间向量的长 度或模. 空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向 线段表示,有向线段的长度表示空间向量 的模,若向量a的起点是A,终点是B,则 向量a 也可以记作AB →,其模记为|a|或 |AB → |. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量,记 为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向 量,叫做a的相反向量,记为-a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段 所在的直线互相平行或重合,那么这 些向量叫做共线向量或平行向量.规 定:零向量与任意向量平行,即对于 任意向量a,都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等 向量.在空间,同向且等长的有向线 段表示同一向量或相等向量 [注意] (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个向量相等的充要条件为长度相等, 方向相同. (3)向量不能比较大小. (4)向 量 共 线 不 具 备 传 递 性(非 零 向 量 除外). [即学即练] 1.(多选)下列命题是真命题的是 ( ) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都 不能比较大小 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点 也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 2.下列关于空间向量的说法正确的是( ) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向 相同或相反 C.若向量AB →,CD → 满足|AB → |>|CD → |,则 AB → >CD → D.相等向量其方向必相同 知识点2 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接,首指向尾 为和 图形叙述 平行四 边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作 平行四边形,共起点对角 线为和 图形叙述 减法 运算 三角形 法则 语言叙述 共起点,连终点,方向指 向被减向量 图形叙述 运算 律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— [注意] (1)求向量和时,可以首尾相接,也可共起点; 求向量差时,需要共起点. (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量 中也适用. [即学即练] 1.化简PM → -PN → +MN → 所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C.0 D.MN → 2.(多选)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1 中,下列各式运算结果为BD1 → 的是 ( ) A.A1D1 → -A1A → -AB → B.BC → +BB1 → -D1C1 → C.AD → -AB → -DD1 → D.B1D1 → -A1A → +DD1 → 知识点3 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积 λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0,其方向是任意的 λa 的 长 度 是 a 的 长 度的|λ|倍 运算 律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb [注意] (1)当λ=0或a=0时,λa=0. (2)λ的正负影响着向量λa 的方向,λ的绝对 值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. [即学即练] 1.如图,在空间四边形 OABC 中,OA → =a, OB → =b,OC → =c,点M,N 分别为OA,BC的 中点,则MN → 等于 ( ) A.12a- 1 2b+ 1 2c B.-12a+ 1 2b+ 1 2c C.12a+ 1 2b- 2 3c D.12a+ 1 2b- 1 2c 2.在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正 方形,E 为PD 的中点,若PA → =a,PB → =b, PC → =c,则BE → = . 知识点4 向量共线的充要条件 1.对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的 充要条件是存在实数λ,使a=λb. 2.如图,O是直线l上一点,在直 线l上取非零向量a,则对于 直线l上任意一点P,由数乘向量的定义 及向量共线的充要条件可知,存在实数λ, 使得OP → =λa,把与向量a平行的非零向量 称为直线l的方向向量,直线l上任意一 点都可以由直线l上的一点和它的方向向 量表示. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 高一数学(配RJA版) [注意] (1)直线可以由其上一点和它的方向向量 确定. (2)向量a,b共线时,表示向量a,b的两条 有向线段不一定在同一条直线上. [即学即练] 1.已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任 意一点,若OC → =mOA → +nOB →,则m+n= . 2.设a,b是空间中两个不共线的向量,已知 AB → =9a+mb,BC → =-2a-b,DC → =a-2b, 且 A,B,D 三 点 共 线,则 实 数 m = . 知识点5 向量共面的充要条件 1.向量与平面平行:如果表示向量a的有向 线段OA → 所在的直线OA 平行于平面α 或 在平面α内,那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面 的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面 的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x,y),使p=xa+yb [即学即练] 1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它 们一定是 ( ) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 2.(多选)下列条件中,使 M 与A,B,C 一定 共面的是 ( ) A.OM → =3OA → -OB → -OC → B.OM → =15OA → +13OB → +12OC → C.MA → +MB → +MC → =0 D.OM → +OA → +OB → +OC → =0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93— 【真题体验】 1.B P(甲)=16 ,P(乙)=16 ,P(丙)=536 , P(丁)=636= 1 6 ,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), P(甲丁)=136=P (甲)P(丁), P(乙丙)=136≠P (乙)P(丙), P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙), 故选B. 2.解析 甲、乙两球落入盒子的概率分别为12 ,1 3 ,且两 球是否落入盒子互不影响, 所以甲、乙都落入盒子的概率为1 2× 1 3= 1 6 , 甲、乙 两 球 都 不 落 入 盒 子 的 概 率 为 1-12 × 1-13 =13, 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3. 答案 16 2 3 【易误警示】 [示例] A 由题意可知,甲队在第一场比赛输了,若甲 队在0∶1落后的情况下最后获胜,分以下几种情况 讨论: ①甲队在第二、三、四场比赛都获胜,概率为P1=0.4× 0.52=0.1; ②甲队在第二场比赛输了,在第三、四、五场比赛获胜, 概率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06; ③甲队在第二、四、五场比赛获胜,在第三场比赛输了, 概率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04; ④甲队在第二、三、五场比赛获胜,在第四场比赛输了, 概率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04. 综上所述,所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24. 第二部分 新知预习 作业(十六) 空间向量及其线性运算 知识点1 [即学即练] 1.ABC 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等 向量或相反向量. 2.D A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,|a|=|b|只 能 说 明a,b 的 长 度 相 等 而 方 向 不 确定; C中,向量不能比较大小. 知识点2 [即学即练] 1.C PM→-PN→+MN→=NM→+MN→=NM→-NM→=0. 2.AB A中,A1D1 →-A1A →-AB→=AD1 →-AB→=BD1 →; B中,BC→+BB1 →-D1C1 →=BC1 →+C1D1 →=BD1 →; C中,AD→-AB→-DD1 →=BD→-DD1 →=BD→-BB1 →= B1D →≠BD1 →; D中,B1D1 →-A1A →+DD1 →=BD→+AA1 →+DD1 →=BD1 →+ AA1 →≠BD1 →. [知识点3] [即学即练] 1.B MN→=MA→+AB→+BN→=12a+ (b-a)+12 (c-b)= -12a+ 1 2b+ 1 2c. 2.解析 BE→=12 (BP→+BD→)=12 (-b+BA→+BC→) =-12b+ 1 2 (PA→-PB→+PC→-PB→) =-12b+ 1 2 (a+c-2b)=12a- 3 2b+ 1 2c. 答案 12a- 3 2b+ 1 2c 知识点4 [即学即练] 1.解析 由于 A,B,C 三点共线,所以存在实数λ,使得 AC→=λAB→,即OC→-OA→=λ(OB→-OA→), 所以OC→=(1-λ)OA→+λOB→, 所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1. 答案 1 2.解析 因为BC→=-2a-b,DC→=a-2b. 所以BD→=BC→+CD→=BC→-DC→=-2a-b-(a-2b)= -3a+b, 因为A,B,D 三 点 共 线,所 以 存 在 实 数λ,使 得AB→= λBD→, 即9a+mb=λ(-3a+b). 所以 9=-3λ , m=λ, 解得m=λ=-3. 答案 -3 知识点5 [即学即练] 1.A 由向量共面定理可知,三个向量a,b,2a-b为共面 向量. 2.AC A选项中,3-1-1=1,四点共面, C选项中,MA→=-MB→-MC→,∴点 M,A,B,C共面. 第三部分 综合检测 1.D z=-4i1-i= -4i(1+i) 2 =2-2i ,对应的复平面的坐标 为(2,-2),在第四象限.故选D. 2.A 按题意,从第一行第5列,两个两个数字取数,抽样 编号依次为43,36,47,46,24,第5个是24,故选A. 3.B 由已知得a+2b=(5,2-4λ),a-b=(-7,2+2λ), ∵(a+2b)∥(a-b),∴5×(2+2λ)-(-7)×(2-4λ) =0,解得λ=43. 4.C 由 正 弦 定 理 asinA= b sinB 可 得sinA=asinBb = 3×23 4 = 1 2. 5.B 如图,记正六边形ABC- DEF 的 中 心 为 点 O,连 接 OB,OD, 显然△OBC 和△ODC 均 为 等边三角形,所以OB=OD =CD=BC,即 四 边 形 OB- CD 为 菱 形,且 点 P 恰 为 其 中 心,则 FP→ = 32 FO → = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—