作业(十二)用样本估计总体-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

用样本估计总体 1.百分位数 一般地,一组数据的第p百分位数是这样 一个值,它使得这组数据中至少有p%的 数据小于或等于这个值,且至少有(100- p)%的数据大于或等于这个值. 2.平均数、中位数和众数 (1)平均数:􀭺x=1n (x1+x2+…+xn). (2)中位数:将一组数据按从小到大或从大 到小的顺序排列,处在最中间的一个数据 (当数据个数是奇数时)或最中间两个数据 的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数:一组数据中出现次数最多的数据 (即频数最大值所对应的样本数据). 3.方差和标准差 (1)方差:s2=1n [(x1-􀭵x)2+(x2-􀭵x)2+…+ (xn-􀭵x)2]= 1 n∑ n i=1 (xi-􀭵x)2 或 1 n∑ n i=1 (x2i-􀭵x2). (2)标准差: s= 1n [(x1-􀭵x)2+(x2-􀭵x)2+…+(xn-􀭵x)2]. 4.总体(样本)方差和总体(样本)标准差 (1)一般式:如果总体中所有个体的变量值 分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为􀭺Y,则 总体方差S2=1N∑ N i=1 (Yi-􀭺Y)2. (2)加权式:如果总体的N 个变量值中,不同 的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…, Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k), 则总体方差为S2=1N∑ k i=1 (Yi-􀭺Y)2. 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.数据的极差越小,样本数据分布越集 中、稳定 B.数据的平均数越小,样本数据分布越集 中、稳定 C.数据的标准差越小,样本数据分布越集 中、稳定 D.数据的方差越小,样本数据分布越集 中、稳定 2.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛, 每人投10个,投中的个数分别为:8,5,7, 5,8,6,8,则这组数据的众数和中位数分 别为 ( ) A.5,7 B.6,7 C.8,5 D.8,7 3.小明体育测试6次立定跳远成绩分别为 214,213,214,215,216,212,则6次成绩的 平均值与方差为 ( ) A.213,1.67 B.214,1.66 C.214,1.29 D.214,1.67 4.数据x1,x2,x3,…,xn 的平均数为􀭺x=2, 方差s2=4,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+ 1,…,3xn+1的标准差为 ( ) A.6 B.7 C.12 D.36 1.2024年某高一学生下学期政治考试成绩 为:79,79,84,84,86,84,87,90,90,97,则 该生政治考试成绩的平均数和众数依次为 ( ) A.85,84 B.84,85 C.86,84 D.84,86 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 高一数学(配RJA版) 2.一组数据6,7,8,a,10的平均数为8,则此 组数据的标准差为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.4 3.已知一组数据的平均数是3,方差是4,且 这组数据的平方和是这组数据和的平方的 1 9 ,则这组数据的个数是 ( ) A.10 B.13 C.15 D.16 4.(多选)在某年的足球联赛中,一队每场比 赛平均失球个数是1.5,全年比赛失球个 数的标准差为1.1;二队每场比赛平均失 球个数是2.1,全年比赛失球个数的标准 差为0.4,则下列说法正确的是 ( ) A.平均说来一队比二队防守技术好 B.一队比二队技术水平更稳定 C.一队有时表现差,有时表现又非常好 D.二队很少不失球 5.某歌手电视大奖赛中,七位评委对某选手 打出如下分数:7.9,8.1,8.4,8.5,8.5, 8.7,9.9,则其50%分位数为 . 1.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数 据x1,x2,…,x6,其中x1 是最小值,x6 是 最大值,则 ( ) A.x2,x3,x4,x5 的平均数等于x1,x2,…, x6 的平均数 B.x2,x3,x4,x5 的中位数等于x1,x2,…, x6 的中位数 C.x2,x3,x4,x5 的标准差不小于x1,x2,…, x6 的标准差 D.x2,x3,x4,x5 的极差不大于x1,x2,…, x6 的极差 2.(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高 精产品的设备,为检验新设备生产产品的 某项指标有无提高,用一台旧设备和一台 新设备各生产了10件产品,得到各件产品 该项指标数据如下: 旧设备 9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样 本平均数分别记为􀭺x 和􀭵y,样本方差分别 为s21 和s22. (1)求􀭺x,􀭵y,s21,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均 值较旧设备是否有显著提高(如果􀭵y-􀭵x≥ 2 s21+s22 10 ,则认为新设备生产产品的该项 指标的均值较旧设备有显著提高,否则不 认为有显著提高). 易错一 不能正确理解平均数、方差的计 算公式致错 [示例1] 已知样本数据x1,x2,…,x2024的平 均数与方差分别是m 和n,若yi=-xi+2 (i=1,2,…,2024),且样本数据的 y1, y2,…,y2024平均数与方差分别是n和m, 则x21+x22+…+x22024= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题的易错之处是不能灵活地运用平均数与 方差的变形公式,即要将公式s2=1n∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 变形为s2=1n∑ n i=1 (x2i-􀭵x2),从而得到x21+x22+…+ x2n=ns2+n􀭺x2. 易错二 记错众数、中位数、平均数的公式 致错 [示例2] (多选)体育王老师记录了16名 同学各10次投篮的命中次数,记录如下表 命中次数 4 5 6 7 8 9 命中人数 1 2 2 4 5 2 则根据这16名同学投篮数据,以下说法正 确的是 ( ) A.众数为7.5 B.中位数为7.5 C.75%分位数为8 D.平均数为7 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用表格中的数据求样本的中位数和百分位数 时,首先要将所给的数字按照从小到大的顺序排 列,本题的易错之处就是忘记将数据从小到大 排序. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12=30 , 所以样本中的男生人数为30×2=60, 女生人数为100-60=40, 所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 【真题体验】 1.D 由频率分布直方图可知,评分在区间[82,86)内的 影视作品数量为400×0.050×4=80. 2.C 因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图 的高度等于频率.样本频率分布直方图中的频率即可作 为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计 值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计 值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确; 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的 比率估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%> 50%,故D正确; 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+ 4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+ 9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13× 0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C错 误.故选C. 【易误警示】 [示例1] A 10×(0.010+0.015+0.015+a+0.025+ 0.005)=1,解得a=0.03,故C错误; n= 36010×(0.03+0.025+0.005)=600 ,故A正确; 问卷成绩在[70,90)内的频率为10×(0.03+0.025)= 0.55,故B错误; 不低于60分的频率为1-10×(0.010+0.015)=0.75, 则约有5000×0.75=3750人及格,故D错误.故选A. [示例2] A 对于 A,观察参保人年龄分布的扇形图, 42~53周岁客户人数占比33%,不低于54周岁的客户 人数占比8%,42~53周岁客户人数不低于54周岁的 客户人数的4倍多,故A正确; 对于B,统计图显示的是人均参保费用,由于人数未知, 故不能确定哪个年龄段参保总费用最多,故B错误; 对于C,由参保险种比例,丁险种参保比例最高,但统计 图看不出丁险种的人均参保费用,故C错误; 对于D,戊险种的参保人占比33%,42~53周岁客户人 数占比33%,但统计图看不出两者相同,故D错误.故 选A. 作业(十二) 用样本估计总体 【基础演练】 1.ACD 由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可 以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之 无关,故B不正确,A、C、D正确. 2.D 将数据由小到大进行排列为:5,5,6,7,8,8,8, 因此,这组数据的众数为8,中位数为7. 3.D 由题知,6个数分别减去214,得0,-1,0,1,2,-2, 这6个数的平均数为0,所以6个数平均数为214,又 1 6 [0+(-1)2+0+1+22+(-2)2]≈1.67,所以方差 为1.67,故选D. 4.A 因为数据x1,x2,x3,…,xn 的方差s2=4,则数据 3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差为32×4,标 准差为 32×4=6. 【综合演练】 1.C 由题意可知,平均数 􀭺x=79+79+84+84+86+84+87+90+90+9710 =86 , 众数为84. 2.A 由题意,15 (6+7+8+a+10)=8,解得a=9,故此 组数据的方差为1 5 (22+12+12+22)=2,所以此组数 据的标准差为 2,故选A. 3.B 设这组数据分别为x1,x2,…,xn, 则x1+x2+…+xn=3n,(x1-3)2+(x2-3)2+…+ (xn-3)2=4n, 所以(x21+x22+…+x2n)-6(x1+x2+…+xn)+(32+ 32+…+32)=4n, 所以(x21+x22+…+x2n)-18n+9n=4n, 从而x21+x22+…+x2n=13n. 因为这组数据的平方和是这组数据和的平方的1 9 , 所以13n=19× 3n 2=n2,解得n=13或n=0(舍去). 4.ACD 一队每场比赛平均失球个数是1.5,二队每场比 赛平均失球个数是2.1,平均说来一队比二队防守技术 好,A正确; 一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛 失球个数的标准差为0.4,二队比一队技术水平更稳 定,B错误; 一队有时表现很差,有时表现又非常好,二队很少不失 球,故C、D正确. 5.解析 ∵7×50%=3.5,∴其50%分位数是第4个数据 为8.5. 答案 8.5 【真题体验】 1.BD 对于选项A:设x2,x3,x4,x5 的平均数为m,x1, x2,…,x6的平均数为n, 则n-m= x1+x2+x3+x4+x5+x6 6 - x2+x3+x4+x5 4 = 2x1+x6 - x2+x3+x4+x5 12 , 因为没法确定2x1+x6 ,x2+x3+x4+x5 的大小关 系,所以无法判断m,n的大小, 例如:1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5; 例如1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2; 例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,n=116 ;故A错误; 对于选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 可知x2,x3,x4,x5 的中位数等于x1,x2,…,x6 的中位 数均为 x3+x4 2 ,故B正确; 对于选项C:因为x1是最小值,x6是最大值, 则x2,x3,x4,x5 的波动性不大于x1,x2,…,x6 的波动 性,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,…,x6的标 准差, 例如:2,4,6,8,10,12,则平均数n=16 (2+4+6+8+ 10+12)=7, 标准差s1= 1 6 2-7 2+ 4-7 2+ 6-7 2+ 8-7 2+ 10-7 2+ 12-7 2 = 1053 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— 高一数学(配RJA版) 4,6,8,10,则平均数m=14 4+6+8+10 =7 , 标准差s2= 1 4 4-7 2+ 6-7 2+ 8-7 2+ 10-7 2 = 5, 显然 105 3 > 5 ,即s1>s2;故C错误; 对于选项D:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 则x6-x1≥x5-x2,当且仅当x1=x2,x5=x6 时,等号 成立,故D正确.故选BD. 2.解析 (1)各项所求值如下所示. 􀭺x=110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+ 10.1+10.2+9.7)=10.0, 􀭵y=110 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+ 10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3, s21= 1 10× [(9.7-10.0)2+2×(9.8-10.0)2+(9.9- 10.0)2+2×(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2× (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036, s22= 1 10× [(10.0-10.3)2+3×(10.1-10.3)2+(10.3- 10.3)2+2×(10.4-10.3)2+2×(10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2]=0.04. (2)由(1)中 数 据 得􀭵y-􀭺x=2 0.152=2 0.0225, 2 s21+s22 10 =2 0.0076. 显然􀭵y-􀭺x>2 s21+s22 10 . 所以可认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设 备有显著提高. 【易误警示】 [示例1] 解析 由题意得 -m+2=n , m=n, ,解得m=1,n=1, ∴ 12024 [(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x2024-1)2]=1, ∴x21+x22+…+x22024+2024-2(x1+x2+…+x2024) =2024, ∴x21+x22+…+x22024=2(x1+x2+…+x2024)=2× 2024=4048. 答案 4048 [示例2] CD 对于A,16名同学中,命中8次的人数最 多,则众数为8,A错误; 对于B,将数据从小到大排序,则中位数为7,B错误; 对于C,16×75%=12,将数据从小到大排序,则第12 个数据和第13个数据都是8,故75%分位数为8,C 正确; 对于D,平均数为116× (4+10+12+28+40+18)=7,D 正确. 作业(十三) 随机事件与概率 【基础演练】 1.D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”. 2.B 从5个小球中任取2个,其中数字之差的绝对值为 2或4的事件包含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个样 本点. 3.解析 抛掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 答案 0.5 4.解析 这 个 试 验 的 样 本 空 间 为 Ω={(1,1),(1,0), (0,1),(0,0)},共4个样本点. 答案 4 【综合演练】 1.C 不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故A 错误;频率是由试验的次数决定的,故B错误;概率是频 率的稳定值,故C正确,D错误. 2.C 由题意,可知A={1,2},B={2,3}, 则A∩B={2},A∪B={1,2,3},∴A∪B 表示向上的 点数为1或2或3. 3.ABD X=4表示两次抛掷所得总数之和为4,则随机 试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第 一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”. 4.BCD 对于A,事件A 与B 互斥时,A∪B 不一定是必 然事件,故A不正确;对于B,事件E 与F 不会同时发 生,所以E 与F 是互斥事件,但除了事件E 与F 之外还 有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”,所以E 与F 不是 对立事件,故E 与F 是互斥但不对立事件,故B正确; 对于C,事件A={1,2,3,4,5},事件B={2,3,5},所以 B 包含于A,故C正确;对于D,样本空间Ω={正品,次 品},含有2个样本点,故D正确. 5.解析 最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡 的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能 是8,6,4,2,0. 答案 {0,2,4,6,8} 6.解析 ∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9, ∴第1,2,4组 的 频 率 分 别 为640=0.15 ,7 40=0.175 , 9 40=0.225. ∵第3组的频率为0.25,∴第5组的频率是1-0.25- 0.15-0.175-0.225=0.2, ∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0. 2×300=60(双). 答案 60 7.解析 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白 球或2个红球,1个白球,故D=A+B. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2 个红球,1个白球或3个红球,故CA=A. 8.解析 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27+ 9+18=54, 则应从甲协会抽取27×654=3 (人), 从乙协会抽取9×654=1 (人), 从丙协会抽取18×654=2 (人). 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3, 1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所 有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5), (A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6), (A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6), (A5,A6),共15种. ②事 件 A 可 用 集 合 表 示 为 {(A1,A5),(A1,A6), (A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5), (A4,A6),(A5,A6)}. 【真题体验】 1.D 设高一2名学生为A1,A2,高二2名学生为B1,B2, 从中随机选2名的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—