作业(十)空间直线、平面的垂直-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

高一数学(配RJA版) 空间直线、平面的垂直 1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都 垂直,就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与 一个平面内的两 条相交直线垂直, 那么该直线与此 平面垂直 m⊂α n⊂α m∩n=P l⊥m l⊥n 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平 面 的 两 条 直 线 平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的角叫做这条直线和这个平面所 成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成 的角是90°;一条直线和平面平行,或在平 面内,则它们所成的角是0°. (2)范围:0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 . 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角; (2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取 一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构 成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围:[0,π]. 4.平面与平面垂直 (1)定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面过 另一个平面的垂 线,那么这两个平 面垂直 a⊂α a⊥β ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直,如 果一个平面内有 一直线垂直于这 两个平面的交线, 那么这条直线与 另一个平面垂直 α⊥β α∩β=a l⊥a l⊂β 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ⇒l⊥α 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于 平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内 的直线 可 能 相 交,可 能 异 面,也 可 能 平行 C.若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α 2.下列条件能使直线m⊥平面α的是( ) A.m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B.m⊥b,b∥α C.m∩b=A,b⊥α D.m∥b,b⊥α 3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β 的关系是 ( ) A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 4.在四棱锥 P ABCD 中,PA⊥底面ABCD, 且ABCD 为正方形, 则此四棱锥表面中互 相垂直的面有 ( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 5.(2023·廊坊高一期中)已知平面α与平面β 交于直线l,且直线a⊂α,直线b⊂β,且直线 a,b,l不重合,则下列命题错误的是 ( ) A.若α⊥β,a⊥b,且b与l不垂直,则a⊥l B.若α⊥β,b⊥l,则a⊥b C.若a⊥b,b⊥l,且a与l不平行,则α⊥β D.若a⊥l,b⊥l,则α⊥β 1.下面四个说法:①如果一条直线垂直于一 个平面内的无数条直线,那么这条直线和 这个平面垂直;②过空间一定点有且只有 一条直线和已知平面垂直;③垂直于同一 平面的两条直线互相平行;④经过一个平 面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正 确说法的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,三棱柱ABC A1B1C1 中,底面三角 形A1B1C1 是正三角形,E 是BC 的中点, 则下列叙述正确的是 ( ) A.直线CC1 与直线B1E 相交 B.CC1 与AE 共面 C.AE 与B1C1 是异面直线但不垂直 D.平面AB1E 垂直于平面CBB1C1 3.如 图,在 四 棱 锥 P ABCD 中,底 面 ABCD 是 边 长 为a 的正方形,PA⊥平 面ABCD.若 PA= a,则直线 PB 与平 面PCD 所成的角的大小为 ( ) A.π6 B. π 4 C.π3 D. π 2 4.(多选)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,BC= AC,AC1⊥A1B,M,N 分别 是A1B1,AB 的中点,那么 下列结论正确的有 ( ) A.B1C1⊥平面AA1C1C B.A1B⊥NB1 C.平面A1BC⊥平面AMC1 D.平面AMC1∥平面CNB1 5.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱AA1⊥ 底 面 ABC,底 面 是 以 ∠ABC为直角的等腰三 角形,AC=2,BB1=3, D 是A1C1 的中点,点F 在线段 AA1 上,当 AF= 时, CF⊥平面B1DF. 6.在四棱锥P ABCD 中, AB∥CD,AD=2,AB= 2,CD=2 2,△PAD 为等边三角形,∠PDC= ∠ADC=45°. (1)证明:平面PDC⊥平面PBC; (2)求点C到平面PAB 的距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 高一数学(配RJA版) 7.如图,在三棱锥P ABC 中,PA⊥平面ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证: BC⊥AB. 1.(多选)(2021·新高考全国卷Ⅱ)如图,在 正方体中,O为底面的中心,P 为所在棱的 中点,M,N 为 正 方 体 的 顶 点.则 满 足 MN⊥OP的是 ( ) 2.(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C; (2)设 AB=A1B,AA1 =2,求 四 棱 锥 A1-BB1C1C的高. 易错一 对面面垂直的判定定理理解不到 位致错 [示例1] 如图,点P 在正 方体ABCD A1B1C1D1 的面对角线BC1 上运动, 有下面四个结论:①三棱 锥A D1PC 的体积不变;②A1P∥平面 ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面 ACD1.其中正确结论的序号是 . (写出所有你认为正确结论的序号) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题易忽视点P 在BC1 上运动时,平面PDB1 内 的B1D⊥平面ACD1,导致无法证明平面PDB1⊥ 平面ACD1 而漏选④.一条直线与一个平面垂直, 则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线,线 线垂直、线面垂直和面面垂直之间是可以相互转 化的,应准确掌握,灵活应用. 易错二 对线面垂直的性质应用不当致错 [示例2] 已知m,n为异面直线,m⊥平面α, n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α, l⊄β,则 ( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线与l垂直 D.α与β相交,且交线与l平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题时,容易忽视α∥β时,可由条件推出m∥ n,与m,n为异面直线矛盾,导致错选A.也容易忽 视构造辅助平面γ,无法利用线面垂直的性质定理 证明线线平行,导致错选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 高一数学(配RJA版) 【易误警示】 [示例1] 解析 如图,连接BC1, 交B1D 于点F,连接EF.因为平 面 A1BC1∩平 面 B1DE=EF, A1B∥平面 B1DE,所以 A1B∥ EF,所以 A1E EC1 =BFFC1 . 因为BC∥B1C1,易得△BDF∽△C1B1F, 所以BF C1F = BDC1B1 . 因为D 是BC 的中点,所以 BDC1B1 =12 , 所以 A1E EC1 =12. 答案 12 [示例2] D 根据题意作出图形,如图,其中,E,F,G, H,P,Q,M,N 分别为所在棱的中点,所以PN∥B1D1. 因为PN⊄平面DBB1D1,B1D1⊂平面DBB1D1,所以 PN∥平面DBB1D1.同理可证GF∥平面DBB1D1.因 为四边形BCC1B1 是平行四边形,N,F 分别是B1C1, BC 的 中 点,所 以 NF∥BB1.又 因 为 NF⊄ 平 面 DBB1D1,BB1 ⊂ 平 面 DBB1D1,所 以 NF ∥ 平 面 DBB1D1.同理可证PG∥平面DBB1D1.又因为PN∩ NF=N,PN,NF⊂平面PNFG,所以平面PNFG∥平 面DBB1D1.因为PF⊂平面PNFG,NG⊂平面PNFG, 所以PF∥平面DBB1D1,NG∥平面DBB1D1.同理可 证QM,ME,EH,HQ,QE,MH 也与平面DBB1D1 平 行,所以与平面DBB1D1平行的直线共有12条. 作业(十) 空间直线、平面的垂直 【基础演练】 1.AC 由线面垂直的定义知,A正确;当l⊥α时,l与α 内的 直线相交或异面,但不会平行,故B错误;C显然是正确的; 而D中,a可能在α内,所以D错误. 2.D 由直线与平面垂直的判定定理的推论知,选项 D 正确. 3.D 若a⊂β,b⊥β,可证得a⊥b; 若a∥β,过a作平面α,α∩β=c,b⊥β,c⊂β, 则b⊥c,a∥c,于是b⊥a.故答案为D. 4.B 因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,AB,PA⊂ 平面PAB,所以DA⊥平面PAB, 同 理 BC⊥ 平 面 PAB,AB⊥ 平 面 PAD,CD⊥ 平 面PAD; 所以 平 面 ABCD⊥ 平 面 PAD,平 面 ABCD⊥ 平 面 PAB,平面PBC⊥平面PAB, 平面 PDC⊥平 面 PAD,平 面 PAD⊥平 面 PAB,共 5对. 5.D 依题意α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,且直线a,b,l 不重合, 对于A选项,α⊥β,a⊥b,且b与l不垂直, 设c⊂β,c⊥l,则b,c相交,根据面面垂直的性质定理可 知c⊥α,所以c⊥a, 由于a⊥b,b,c相交,所以a⊥β,所以a⊥l.所以A选项 正确. 对于B选项,α⊥β,b⊥l,根据面面垂直的性质定理可知 b⊥α,所以b⊥a,所以B选项正确. 对于C选项,a⊥b,b⊥l,且a与l不平行,则a,l相交, 所以b⊥α,由于b⊂β,所以α⊥β,所以C选项正确. 对于D选项,a⊥l,b⊥l,α与β不一定垂直,所以D选项 错误. 【综合演练】 1.C 如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直, 这条直线可能在平面内,可能与平面平行,也可能与平 面斜交,故①错误; 由线面垂直的性质可知,过空间一定点有且只有一条直 线和已知平面垂直,故②正确; 由线面垂直的性质可知,垂直同一平面的两条直线互相 平行,故③正确; 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平 面与这个平面垂直,故④正确. 2.A 在三棱柱ABC A1B1C1 中,CE∥B1C1,且CE= 1 2B1C1 ,所以四边形CEB1C1为梯形,直线CC1 与直线 B1E 相交,故A正确; 由几何图形易知CC1与AE 为异面直线,故B错误; AE 与B1C1是异面直线,且三角形ABC 是正三角形, AE⊥BC, 又BC∥B1C1,则AE⊥B1C1,故C错误; 在三棱柱中未给出侧面CBB1C1与上下底面的关系,不 能判断AE 是否与平面CBB1C1垂直,故无法判断平面 AB1E 与平面CBB1C1是否垂直,故D错误;故选A. 3.A 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平 面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD 是边 长为a的正方形, 所以 CD⊥AD,又 PA∩AD=A,PA⊂平 面 PAD, AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以CD⊥PD, 设B 到平面PCD 的距离为h,直线PB 与平面PCD 所 成的角为θ, 则PB= 2a,PD= 2a, 所以VBPCD=VPBCD, 即1 3× 1 2× 2a×a×h= 1 3× 1 2×a×a×a , 所以h= 2a2 ,所以sinθ= hPB= 2a 2 2a =12 , 又θ∈ 0,π2 ,所以θ=π6. 4.BCD 因为B1C1与A1C1不一定垂直,所以B1C1与平 面AA1C1C不一定垂直,故A错误. 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M.由B1C1= A1C1及 M 为A1B1的中点,可得C1M⊥A1B1. 又因为AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面A1ABB1, 所以C1M⊥平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1,从而 C1M⊥A1B. 已知 AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M,AC1⊂平 面 AMC1,所以A1B⊥平面AMC1,从而平面A1BC⊥平面 AMC1,A1B⊥AM. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 又 MB1∥AN,MB1=AN,所以 ANB1M 是平行四边 形,所以AM∥NB1,A1B⊥NB1,所以B和C正确. AM∥NB1,AM⊄平面CNB1,NB1⊂平面CNB1,所以 AM∥平面CNB1, 同理MC1∥平面CNB1,MC1∩AM=M,MC1,AM⊂平 面AMC1,所以平面AMC1∥平面CNB1,故D正确. 5.解析 由已 知 得 B1D⊥平 面 ACC1A1,又CF⊂平 面 ACC1A1,所以B1D⊥CF,若CF⊥平面B1DF,则必有 CF⊥DF, 设 AF=x(0<x<3),则 CF2=x2+4,DF2=1+ (3-x)2,CD2=12+32=10, 所以由CF2+DF2=CD2,得x2+4+1+(3-x)2=10, 解得x=1或x=2, 所以当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF. 答案 1或2 6.(1)证明 取CD 的中点E,连接PE,AE,如图, 易知DE= 2,PD=2,∠PDE=45°, 在△PDE 中,由 余 弦 定 理 得,PE2=PD2+DE2- 2PD·DEcos∠PDE=2, 则DE2+PE2=PD2,故PE⊥CD, 由AD=2,DE= 2,∠ADE=45°,同理可得AE= 2, 且AE⊥CD, 故∠AEP 为二面角A DC P 的平面角, 又PA=2,则AE2+PE2=PA2,故∠PEA=90°, 故平面PDC⊥平面ABCD, 又CE 与AB 平行且相等,且∠AEC=90°, 则四边形ABCE 为矩形, 故BC⊥CD.又 BC⊂平 面 ABCD,平 面 PDC∩平 面 ABCD=CD, 故BC⊥平面PDC,又BC⊂平面PBC, 则平面PDC⊥平面PBC. (2)解析 连接AC,设点C到平面PAB 的距离为h, 由(1)得平面ABCD⊥平面PCD,PE⊥CD,由面面垂直 的性质定理,同理可得PE⊥平面ABCD, VCPAB=VPABC,即 1 3S△PAB ·h=13S△ABC ·PE, ∵PE⊥CD,AE⊥CD,PE∩AE=E,PE,AE⊂平 面 AEP,则CD⊥平面AEP, 又AB∥CD,故AB⊥平面AEP,PA⊂平面AEP, 故PA⊥AB, 故S△PAB= 1 2×2× 2= 2 ,故 2 3 ·h=13× 1 2× 2× 2× 2,解得h=1. 即点C到平面PAB 的距离为1. 7.证明 在平面PAB 内,作AD⊥PB 于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB, ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC, 又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAB, ∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB. 【真题体验】 1.BC 设正方体的棱长为2, 对于A,如图1所示,连接AC, 则 MN∥AC, 故∠POC(或其补角)为异面直 线OP,MN 所成的角, 直 角 三 角 形 OPC,OC = 2, CP=1,故tan∠POC=1 2 = 22 , 故 MN⊥OP 不成立,故A错误. 对于B,如图2所示,取NT 的 中 点 为 Q,连 接 PQ,OQ,则 OQ⊥NT,PQ⊥MN, 由正方体SBCM-NADT 可得 SN⊥平面NADT,而OQ⊂平 面NADT, 故SN⊥OQ,而SN∩MN= N,故OQ⊥平面SNTM, 又 MN⊂平面SNTM,OQ⊥MN,而OQ∩PQ=Q, 所以 MN⊥平面OPQ,而 PO⊂平面 OPQ,故 MN⊥ OP,故B正确. 对于 C,如 图3,连 接 BD,则 BD∥MN,由 B的 判 断 可 得 OP⊥BD, 故OP⊥MN,故C正确. 对于D,如图4,取AD 的中点 Q,AB 的 中 点 K,连 接 AC, PQ,OQ,PK,OK, 则AC∥MN, 因为DP=PC,故PQ∥AC,故PQ∥MN, 所以∠QPO 或其补角为异面直线PO,MN 所成的角, 因为 正 方 体 的 棱 长 为 2,故 PQ= 12 AC = 2 ,OQ = AO2+AQ2= 1+2= 3, PO= PK2+OK2= 4+1= 5,OQ2 <PQ2 + PO2,故 ∠QPO 不是直角, 故PO,MN 不垂直,故D错误.故选BC. 2.(1)证明 因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC, 又∠ACB=90°,即AC⊥BC, A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C, 所以BC⊥平面ACC1A1, 又BC⊂平面BCC1B1, 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 高一数学(配RJA版) (2)如图所示, 过点A1作A1O⊥CC1,垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,平面ACC1A1∩平 面BCC1B1=CC1,A1O⊂平面ACC1A1, 所以A1O⊥平面BCC1B1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC,A1C⊥AC, 又A1B=AB,BC为公共边, 所以△ABC与△A1BC全等,所以A1C=AC. 设A1C=AC=x,则A1C1=x, 所以O 为CC1中点,OC1= 1 2AA1=1 , 又A1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA12, 即x2+x2=22,解得x= 2,即A1C1= 2, 所以A1O= A1C12-OC12= (2)2-12=1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 【易误警示】 [示例1] 解析 连接 AC,A1C1,A1B,AD1,D1C,A1P (图略).因 为 AA1∥CC1,AA1=CC1,所 以 四 边 形 AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.又因为AC⊄ 平面 A1BC1,A1C1⊂平 面 A1BC1,所 以 AC∥ 平 面 A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1.又因为AC⊂平 面ACD1,AD1⊂平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平 面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1,所以 A1P∥平面 ACD1,故②正确.因为 BC1∥AD1,所 以 BC1∥平面 ACD1,所以点 P 到平面ACD1 的距离不 变.又因为VAD1PC=VPACD1,所以三棱锥A D1PC的 体积不变,故①正确.连接DB,DC1,DP,B1D(图略). 因为DB=DC1,所以当P 为BC1 的中点时才有DP⊥ BC1,故③ 错 误.因 为 BB1⊥平 面 ABCD,AC⊂平 面 ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB1∩BD= B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D. 因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理可证 B1D⊥AD1.又 因 为 AC⊂平 面 ACD1,AD1⊂平 面 ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1.又因为 B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④ 正确. 答案 ①②④ [示例2] D 若α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得 m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交. 设α∩β=a,过空间内一点P,作m'∥m,n'∥n,则m'与 n'相交,m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m,l⊥n,所以 l⊥m',l⊥n',所以l⊥γ. 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 作业(十一) 随机抽样与统计图表 【基础演练】 1.B 选项A中总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适 合用抽签法; 选项B中总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂 生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法; 选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大, 不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法; 选项D中总体中的个体数较大,不适合用抽签法. 2.A 从第二行第三组第一个数字开始,每次从左往右选 取三个数字,依次可得:366,010,118,447,…,故选A. 3.A 某工厂生产的A,B,C 三种不同型号产品的数量之 比为2∶3∶5,则A 被抽的抽样比为 22+3+5= 1 5 ,所以 抽出100件产品中A 型号产品的件数为100×15=20 , 故选A. 4.D 由题意,得(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+ 0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.40,由图得本 校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的频率为 (0.08+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.47, 估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的 人数为200×0.47=94. 【综合演练】 1.B 因为在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高三 年级女生的概率是0.2, 所以 x 2100=0.2 ,解得x=420, 所以高二年级的学生人数为2100-372-327-420- 420=561(人), 所以用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生,则应 在高二年级抽取的学生人数为60× 5612100≈16 (人),故 选B. 2.C 由图知,年龄在[25,35)的小矩形的面积为0.015× 10=0.15, 即年龄在[25,35)的频率为0.15,所以年龄在[25,35)的 人数n=0.15×200=30. 由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得 0.010×10+0.015×10+a×10+0.030×10+0.010× 10=1,解得a=0.035. 3.ABC 频率分布直方图中2小时至2.5小时之间的频 率为(2.5-2)×0.5=0.25,故抽取的学生中有100× 0.25=25人 在2小 时 至2.5小 时 之 间 完 成 作 业,A 正确; 频率分布直方图中超过3小时的频率为0.5×(0.3+ 0.2+0.1+0.1)=0.35,B正确; 由频率分 布 直 方 图 可 得 不 超 过2.6小 时 的 频 率 为 (0.1+0.3+0.5)×0.5+0.1×0.4=0.49, 则超过2.6小 时 的 频 率 为1-0.49=0.51>0.5,C 正确; 频率分布直方图中2小 时 至3小 时 之 间 的 频 率 和 为 0.5×(0.5+0.4)=0.45<0.5,D错误,故选ABC. 4.解析 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小 于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. (2)根 据 题 意,得 样 本 中 分 数 不 小 于 50 的 频 率 为 (0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 所以分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55—