作业(七)基本立体图形与几何体的表面积、体积-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

高一数学(配RJA版) 基本立体图形与几何体的表面积、体积 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等, 垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°或135°,z'轴与x'轴 和y'轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴,平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧 =2πrl S圆锥侧 =πrl S圆台侧 =π(r1+r2)l —31— 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体 S表 =S侧 +2S底 V=S底h 锥体 S表 =S侧 +S底 V=13S底h 台体 S表 =S侧 +S上 +S下 V=13 (S上 +S下 + S上 S下)h 球 S表 =4πR2 V=43πR 3 1.下列说法正确的是 ( ) A.棱台的侧棱长都相等 B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 C.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平 行四边形 D.棱台的两个底面相似 2.已知圆柱的轴截面为矩形,其底边长(圆柱 底面圆直径)是侧边长的2倍,若轴截面的 面积为S,则圆柱的表面积为 ( ) A.2πS B.2πS C.2 2πS D.4πS 3.(多选)如图,四边形ABCD 的斜二测直观 图为等腰梯形A'B'C'D',已知 A'B'= 2C'D'=4,则 ( ) A.A'D'= 2 B.BC=2 2 C.四边形ABCD 的周长为6+2 2+2 3 D.四边形ABCD 的面积为6 2 4.如图所示的△A'O'B' 是用斜二测画法画出 的△AOB 的直观图(图 中虚线分别与x'轴,y' 轴平行),则△AOB 的周长为 . 1.沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱 的中点作一个截面,截得一个三棱锥,那么 截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之 比是 ( ) A.1∶5 B.1∶23 C.1∶11 D.1∶47 2.(2023·榆林高一期中)某同 学有一个形如圆台的水杯如 图所示,已知圆台形水杯的母 线长为6cm,上、下底面圆的 半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防 滑,水杯配有一个杯套,包裹水杯2 3 高度以 下的外壁和杯底,如图中阴影部分所示,则 杯套的表面积为(不考虑水杯材质和杯套 的厚度) ( ) A.683πcm 2 B.24πcm2 C.763πcm 2 D.25πcm2 3.(多选)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 2A1E → =ED1 →,C1F → =2FD1 →,过E,F 的平 面将正方体ABCD A1B1C1D1 截成两部 分,则所得几何体可能是 ( ) A.三棱锥 B.直三棱柱 C.三棱台 D.四棱柱 4.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线 长为 2,体对角线长为 6,则这个棱柱的 侧面积是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 高一数学(配RJA版) 5.(2023·北京高一期中)已知一个正四棱锥 的底面边长为2,高为 3,则该正四棱锥的 表面积为 . 6.如图,已知正三棱锥S ABC 的底面边长 为2,正三棱锥的高SO=1. (1)求正三棱锥S ABC 的体积; (2)求正三棱锥S ABC 的表面积. 1.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO 的底面半 径为 3,O 为底面圆心,PA,PB 为圆锥的 母线,∠AOB=2π3 ,若△PAB 的面积等于 9 3 4 ,则该圆锥的体积为 ( ) A.π B.6π C.3π D.3 6π 2.(2022·新高考全国卷Ⅰ)南水北调工程缓 解了北方一些地区水资源短缺问题,其中 一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为 海 拔 148.5 m 时,相 应 水 面 的 面 积 为 140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应 水面的面积为180.0km2.将该水库在这 两个水位间的形状看作一个棱台,则该水 库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时,增加的水量约为(7≈2.65) ( ) A.1.0×109m3 B.1.2×109m3 C.1.4×109m3 D.1.6×109m3 易错一 将直观图还原成平面图形时出错 [示例1] △ABC 的直观图△A'B'C'如图 所示,其中 A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,且 A'B'=A'C'=1,则△ABC的面积为 ( ) A.2 2 B.1 C.8 D.24 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (1)“斜二测”画法的长度变化规则是:平行或与x 轴重合的线段的长度不变,平行或与y 轴重合的 线段的长度变为原来的二分之一. (2)解决此类问题时要注意角度的变化以及长度 的变化以及线与线之间的关系,直观图面积S'与 原图形面积S 满足S'= 24S. 易错二 求组合体的体积考虑不全面致错 [示例2] (2023·哈尔 滨高一期中)如图所示 (单位:cm),直角梯形 ABCD 挖去半径为2的 四分之一圆,则图中阴影部分绕AB 旋转 一周所形成的几何体的体积为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求组合体的体积的关键是弄清组合体中各简单几 何体的结构特征及组合形式,将它们拆分成几个 简单的组合体,且注意重合部分或挖去部分的处 理方法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 高一数学(配RJA版) 7.解析 由 题 意,复 数 满 足(1+i)z=2i,则z= 2i1+i= 2i·(1-i) (1+i)(1-i)= 2i+2 2 =1+i , 所以|z|= 12+12= 2. 答案 2 8.解析 由题意 得z= (-1+2i)(2+i) i = (-4+3i)i i·i = 3+4i, 则􀭵z=3-4i,所以􀭵z的虚部为-4. 答案 -4 【真题体验】 1.B 由 题 意 可 得z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i1-1+i= i2+i i2 = 2i-1 -1=1-2i ,则􀭵z=1+2i.故选B. 2.A 因为z=1-i2+2i= 1-i 1-i 21+i 1-i = -2i 4 =- 1 2i , 所以z=12i ,即z-z=-i.故选A. 3.C 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以 2a=2 1-a2=0 ,解得a=1.故选C. 4.C 5 (1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i. 故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 (1)当m 满足m2+3m+2=0,且m2- 2m-2>0, 即m=-2或m=-1时,z是实数. (2)当m 满足m2+3m+2≠0且m2-2m-2=1, 即m=3时,z是纯虚数. [示例2] 解析 设x0 是方程的实数根,代入方程并整 理得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0, ∴ x20+kx0+2=0, 2x0+k=0, 解得 x0= 2, k=-2 2 或 x0=- 2,k=2 2, ∴实数k的值为±2 2. 答案 ±2 2 作业(七) 基本立体图形与几何体的表面积、体积 【基础演练】 1.D 由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等,而棱台 的两个底面相似,所以A不正确,D正确;若平面沿棱锥的 高去截,则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥,B不正 确;棱柱的侧棱都相等且相互平行,且侧面是平行四边形, 但侧面并不一定全等,C不正确,故选D. 2.B 设圆柱的底面圆半径为r,则圆柱母线长l=r,由轴 截面的面积为S,得2r2=S, 所以圆柱的表面积为2πr2+2πrl=4πr2=2πS. 3.ACD 由 已 知 等 腰 梯 形 中,∠D'A'B'=45°,A'B'= 2C'D'=4,所以A'D'= 2, 由斜二测画法得,在原图直角梯形ABCD 中,AB=2CD =4,AD=2 2,∠BAD=π2 ,易得BC=23,所以四边形 ABCD的周长为6+22+23,面积为2+42 ×22=62. 4.解析 根据题意,△AOB 的原图形如图, 根据直观图画法规则知,△AOB 的底边OB 的长为4, 高为4,OA=AB= 42 2 +42=2 5, 则△AOB 的周长为4+4 5. 答案 4+4 5 【综合演练】 1.D 正方体的体积为1,截得的三棱锥的体积为13× 1 2× 1 2× 1 2× 1 2= 1 48 , 所以剩下部分的体积为1-148= 47 48 , 所以截得的三棱锥的体积与剩 下 部 分 的 体 积 之 比 是 1 48∶ 47 48=1∶47. 2.C 根据题意,杯套的形状可看作一个圆台,且该圆台 的母线长是圆台形水杯的母线长的2 3 ,即4cm,下底面 圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径,即2cm,上 底面圆的半径是10 3cm ,所以杯套的表面积S=π×22+ π× 2+103 ×4=763π(cm2). 3.ABC 如图1,连接DE,DF,则平面DEF 可截得三棱 锥D D1EF,故A正确; 图1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— 如图2,过E 作EG⊥AD,过F 作FH⊥CD,则过E,F 的平面EFHG 可 截 得 直 三 棱 柱 D1EF DGH,故 B 正确. 图2 如图3,延长D1D 至点P,连接PE,PF,分别与AD,CD 交于 M,N 两 点,则 可 得 平 面 EFNM 截 得 三 棱 台 DMN D1EF,故C正确; 图3 因为EF 将四边形A1B1C1D1 分成一个三角形和一个 五边形,所以不可能得到四棱柱,故D错误.故选ABC. 4.解析 如图所示, BD= 2,∴AB=AD=1,又BD1= 6, ∴ 12+12+DD12= 6, 解得DD1=2, 所以棱柱的侧面积S=1×2×4=8. 答案 8 5.解析 如下图所示,在正四棱锥 P ABCD 中,底 面 ABCD 的边长为2, 设点P在底面ABCD的射影为点O,则四棱锥P ABCD 的高PO= 3, 则O 为AC 的中点,且AO=12AC= 2 2AB= 2 ,PB= PA= PO2+AO2= 5, 取AB 的 中 点 E,连 接 PE,则 PE⊥AB,且 PE= PA2-AE2=2, S△PAB= 1 2AB ·PE=2,故正四棱锥P ABCD 的表 面积为S=4×2+22=12. 答案 12 6.解析 (1)在正三棱锥S ABC 中,S△ABC= 1 2 ·AB· BC·sin60°= 34×2×2= 3 , 所以正三棱锥S ABC 的体积V=13S△ABC ·SO= 1 3× 3×1= 3 3. (2)连接CO 延长交AB 于点E,连接SE,则E 为AB 的 中点,如图所示, 所以CE= 22-12= 3,OE=13CE= 3 3 , 在直角三角形SOE 中,SE= 3 3 2 +12=2 33 , 在△ABS中,SA=SB,所以SE⊥AB, 所以S△ABS= 1 2×2× 2 3 3 = 2 3 3 , 则正三棱锥S ABC 的表面积为3S△ABS+S△ABC= 3×2 33 + 3=3 3. 【真题体验】 1.B 在△AOB 中,∠AOB=2π3 ,而OA=OB= 3,取AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图所示, ∠ABO=π6 ,OC= 32 ,AB=2BC=3,由△PAB 的面积 为9 3 4 ,得1 2×3×PC= 9 3 4 , 解 得 PC = 3 32 ,于 是 PO = PC2-OC2 = 3 3 2 2 - 3 2 2 = 6,所以圆锥的体 积V=13π× OA2×PO=13π× (3)2× 6= 6π. 故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 高一数学(配RJA版) 2.C 如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m), 所以该棱台的体积V=13×9× (140+ 140×180+ 180)×106=60×(16+3 7)×106≈60×(16+3× 2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3),故选C. 【易误警示】 [示例1] B 由题图可知,AB⊥AC, AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2, 所以S△ABC= 1 2×1×2=1. 故选B. [示例2] 解析 如图,旋转之后形成的图形为圆台去掉 一个半球体. 则旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 为 1 3 ×4× 4π+25π+ 4π×25π -12× 4 3π×2 3=140π3 . 答案 140π3 作业(八) 空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D 因为两平行直线确定一个平面,且两平行直线没有公 共点,所以空间两条互相平行的直线指的是在同一平面内 且没有公共点的两条直线. 2.D A项,三个点可能共线;B项,点可能在直线上;C 项,无数个点也可能在同一条直线上. 3.A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,又∵N∈b,b⊂α,∴N∈α, 又 M,N∈l,∴l⊂α. 4.B ∵A1B∩平面ABCD=B,又AC⊂平面ABCD,B∈ 平面ABCD,B∉AC, ∴A1B 与AC 为异面直线. 【综合演练】 1.C 在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定3个 平面,如图所示. PA,PB,PC 相交于一点P,若PA,PB,PC 不共面,则 PA,PB 确 定 一 个 平 面PAB,PB,PC 确 定 一 个 平 面 PBC,PA,PC确定一个平面PAC. 2.AC 对于A,正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b 相交”,也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,正 方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面, 故D错误. 3.D 已知直线c与d 是异面直线,设直线a与直线c和 直线d 分别交于点A,B,直线b与直线c和直线d 分别 交于点C,D, 根据题意可得当点D 与点B 重合时,两条直线相交,当 点D 与点B 不重合时,两条直线异面,所以直线a,b的 位置关系是异面或相交. 4.解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD A1B1C1D1, 则所求角为∠BC1D 或其补角, ∵BC1= 2,BD = 22+1-2×2×1×cos60°= 3, C1D=AB1= 5, 易得C1D2=BD2+BC21,即BC1⊥BD, 因此cos∠BC1D= BC1 C1D = 2 5 = 105 . 答案 105 5.证明 不妨设AB≠A1B1,则四边形AA1B1B 为梯形, ∴AA1 与 BB1 相 交,设 其 交 点 为 S,则 S∈AA1, S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1. 同理可证,S∈平面ACC1A1,∴点S在平面BCC1B1与 平面ACC1A1的交线上, 即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点. 【真题体验】 D 如图,∠PBC1为直线PB 与AD1所成的角. 易知△A1BC1 为正三角形,又 P 为A1C1 中 点,所 以 ∠PBC1= π 6. 【易误警示】 [示例1] D 空间中共线的三 点不能确定一个平面,所以选 项A错误;空间中两两相交的 三条直线交于同一点时,可能 确定一个平面也可能确定三个平面,所以选项B错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15—