作业(二)平面向量的基本定理及坐标表示-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

高一数学(配RJA版) 平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果e1,e2 是同一平面内的两个不共线向 量,那么对于这一平面内的任一向量a,有 且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 若e1,e2 不共线,我们把{e1,e2}叫做表示 这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2, y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x21+y21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标 即为向量的坐标. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB → =(x2-x1, y2-y1),|AB → |= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则 a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 1.已知点A(1,2),B(-1,0),则AB → = ( ) A.(2,0) B.(2,2) C.(-2,-2) D.(0,2) 2.已知向量a= 9,3 ,b=(7,4),则-2a+b= ( ) A.(-12,-2) B.(-12,2) C.(-11,-2) D.(-11,2) 3.(2024·通州高一月考)已知向量a=(1,2), b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= ( ) A.12 B.- 1 2 C.2 D.-2 4.(多选)如图所示,设O 是 平行四边形ABCD 的两 条对角线的交点,给出下 列向量组,其中可作为该平面内所有向量 的基底的是 ( ) A.AD → 与BC → B.AC → 与BD → C.CA → 与DC → D.OD → 与OB → 5.(2023·盐城高一期中)在△ABC中,AB → =a, AC → =b,且BD → =2DC →,则AD → = ( ) A.13a+ 2 3b B. 2 3a+ 2 3b C.23a+ 1 3b D. 1 3a+ 1 3b 1.已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c= (7,3),则c可用a与b表示为 ( ) A.3a+b B.a+3b C.3a+2b D.3a-b 2.已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 三 个 顶 点 A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),则第四个 顶点D 的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(-6,0) C.(4,6) D.(-2,4) 3.向量PA → =(k,12),PB → =(4,5),PC → =(10,k), 若A,B,C三点共线,则k的值为 ( ) A.-2或11 B.2或11 C.-2或-11 D.2或-11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 4.(多选)设e1,e2 是平面内两个不共线的向 量,则以下a,b可作为该平面内一组基底 的是 ( ) A.a=e1+e2,b=e1 B.a=2e1+e2,b= 1 2e1+ 1 4e2 C.a=e1+e2,b=e1-e2 D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2 5.(2023·成都高一期中)如 图,若OA → =a,OB → =b, OC → =c,点 B 是线 段 AC 上一点,且AB → =35AC → .若 b=λa+μc,则 ( ) A.λ=15 ,μ= 4 5 B.λ= 2 5 ,μ= 3 5 C.λ=35 ,μ= 2 5 D.λ= 4 5 ,μ= 1 5 6.如图,在△ABC 中,AN → =13NC →,P 是 BN 上的一点,若AP → =mAB → +211AC →,则 实数m 的值为 ( ) A.511 B. 1 4 C.311 D. 3 4 7.(2023·辽阳高一期末)在 平 行 四 边 形 ABCD 中,E 是线段BD 的中点,若AB → = mAD → +nEC →,则m-n= . 8.(2023·马鞍山高一期中)设D,E 分别是 △ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB , BE=23BC ,若AB → =a,AC → =b,则DE → = .(用a,b表示) 1.(2023·天津卷节选)在三角形 ABC 中, ∠A=π3 ,|BC → |=1,D 为线段AB 的中点, E为线段CD的中点,若设AB → =a,AC → =b,则 AE → 可用a,b表示为 . 2.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b= (λ,4),若a∥b,则λ= . 易错一 转换向量关系致误 [示例1] 平 面 上 有 A(2,-1),B(1,4), D(4,-3)三点,点C在直线AB 上,且AC → = 1 2BC →,连接 DC 并延长至点E,使|CE → |= 1 4|ED → |,则点E的坐标为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在将模的关系转换为向量之间的关系时,需要从 方向角度加以分析,若不能确定,则需分类讨论. 易错二 忽视方程的思想在向量运算中的 应用 [示例2] 如图,在平行四边形 ABCD 中, AB → =2AE →,AF → =FD →,点G 为CE 与BF 的交点,则AG → = ( ) A.25AB → +15AC → B.15AB → +25AC → C.15AB → +415AC → D.310AB → +25AC → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于向量的分解问题,求解的一个重要方法是待 定系数法,然后利用向量相等求解参数.若不能正 确设出向量的分解式,则难以求解.如本例由P, G,B 三点共线知,存在m∈R,满足AG→=mAP→+ 1-m AB→=13mAC → + 1-m AB→. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 高一数学(配RJA版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 平面向量的概念及线性运算 【基础演练】 1.ACD CD→和DC→长度相等,方向相反,故A正确;单位向 量的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B 错误;向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小, 故C正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任 一非零向量都可以平行移动,故D正确. 2.D BA→+CD→+EF→=DE→+CD→+EF→=CE→+EF→=CF→. 3.D 3a+b +b-4a-b =3a+3b+b-4a+4b= -a+8b. 4.解析 AB→+PC→ + BA→-QC→ =AB→+PC→-AB→+ CQ→=PQ→. 答案 PQ→ 【综合演练】 1.C 对于A,若|a|=|b|,但两向量方向不确定,则a=b 不成立,故选项A错误;对于B,向量无法比较大小,故 选项B错误;对于C,若a=-b,则两向量反向,因此 a∥b,故选项C正确;对于D,若|a|=0,则a=0,故选项 D错误. 2.D 由AB→=DC→知四边形ABCD 是平行四边形.由平行 四边形 的 性 质 知,|DO→|=|OB→|,且 方 向 相 同,所 以 DO→=OB→. 3.B ∵NP→=-2a+8b,PQ→=3(a-b), ∴NQ→=NP→+PQ→=-2a+8b+3(a-b)=a+5b, ∵MN→=a+5b,∴MN→=NQ→, ∴MN→与NQ→为共线向量, 又∵MN→与NQ→有公共点N, ∴M,N,Q 三点共线,故选B. 4.B 设边长为2,如图,设AD,EC 交于点O,则OD=1, AO=3,则OD→=13AO →,则CD→=CO→+OD→=12 (CA→+ AE→)+16 (AC→+AE→)=-13AC →+23AE →,故选B. 5.C 由已知得,AD→=AB→+BC→+CD→=a+2b-4a-b- 5a-3b=-8a-2b=2BC→, 故AD→∥BC→,由 AD→ ≠ BC→ , 所以四边形ABCD 是梯形. 6.D 因为AF→=2FC→,所以AF→=23AC →, 所以DF→ =DA→+AF→ = -AD→ + 23AC → = -AD→ + 2 3 AB →+AD→ =23AB →-13AD →. 7.解析 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)], 所以 λ=-k, 1=3k, 解得 k=13 , λ=-13. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 答案 -13 8.解析 ∵ADAB= AE AC= 1 3 ,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC. ∴DEBC= 1 3. 又DE→与BC→同向,∴DE→=13BC →. 答案 13 【真题体验】 1.B 由于D 是边AB 上的中点,则BD→=12BA →. CD→=CB→+BD→=-BC→+12BA →. 2.B 因为CB→=CA→+AB→,AD→=CD→-CA→,又3AD→=AB→, 所以CB→=-2CA→+3CD→,即CB→=-2m+3n.故选B. 【易误警示】 [示例1] D 选项A中,单位向量方向可以不同,故a= b不一定成立 ;选项B中,A,B,C,D 四点可能共线,不 能组成平行四边形;选项C中,当b=0时,a,c为任意 向量;选项D正确,相反向量是一对平行向量.故选D. [示例2] CD 因为点P 为△ABC 所在平面内一点,E 为AC 的中 点,F 为BC 的 中 点,则PA→+PC→=2PE→, PB→+PC→=2PF→,而PA→+2PB→+3PC→=0,即(PA→+ PC→)+2(PB→+PC→)=0,于是得2PE→+4PF→=0, 即EP→=2PF→,所以点P 在线段EF 上,且PE∶PF= 2∶1,即点P,A,C 不共线,则向量PA→与PC→不可能平 行,A不正确,B不正确,C正确,D正确.故选CD. 作业(二) 平面向量的基本定理及坐标表示 【基础演练】 1.C AB→=(-1,0)-(1,2)=(-2,-2). 2.C 由已知-2a+b=-2(9,3)+(7,4)=(-11,-2). 3.A 因为a=(1,2),b=(2,-2), 所以2a+b=(4,2), 又因为c∥(2a+b), 所以1·2-4λ=0,所以λ=12 ,故选A. 4.BC A项中AD→与BC→共线,D项中OD→与OB→共线,B,C 项中两向量不共线,故选BC. 5.A ∵AB→=a,AC→=b,∴BC→=AC→-AB→=b-a, 又∵BD→=2DC→, ∴BD→=23BC →, ∴AD→=AB→+BD→=AB→+23BC →=a+23 b-a =13a+ 2 3b ,故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— 【综合演练】 1.A 设c=xa+yb,x,y∈R, 则(7,3)=(2x+y,-x+6y), 即 2x+y=7, -x+6y=3, 解得 x=3,y=1, ∴c=3a+b. 2.B 设D(x,y),由平行四边形ABCD 可知AB →=DC→, 又A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),AB→=(5,3), DC→=(-1-x,3-y), ∴ -1-x=5, 3-y=3, 解得 x=-6,y=0, 即D 点的坐标为(-6,0). 3.A 由PA→=(k,12),PB→=(4,5),PC→=(10,k), 得AB→=PB→-PA→=(4-k,-7), AC→=PC→-PA→=(10-k,k-12), 又A,B,C三点共线,则AB→=λAC→, 即 4-k=λ(10-k), -7=λ(k-12), 解得 k=-2, λ=12 或 k=11,λ=7, 故选A. 4.ACD 对A,a不能用b表示,故a,b不共线,所以符合; 对B,b=14a ,所以a,b共线,故不符合; 对C,a不能用b表示,故a,b不共线,所以符合; 对D,a不能用b表示,故a,b不共线,所以符合. 5.B 因 为OB→ =OA→ +AB→ =OA→ + 35AC → =OA→ + 3 5 OC →-OA→ =25OA →+35OC →. 所以b=25a+ 3 5c ,即λ=25 ,μ= 3 5. 6.C 因为AN→=13NC →,所以AC→=4AN→, 故AP→=mAB→+211AC →=mAB→+811AN →, 因为B,P,N 三点共线,故m+811=1 , 解得m=311. 7.解析 ∵四边形 ABCD 为平行四边形,E 为BD 的中 点,∴E 为AC 的中点, ∴AB→=AC→+CB→=2EC→-BC→=2EC→-AD→, ∴m=-1,n=2, ∴m-n=-1-2=-3. 答案 -3 8.解析 如图, 因为AD=12AB ,BE=23BC , 所以DE→=DB→+BE→=12AB →+23BC → =12AB →+23 AC →-AB→ =12AB →-23AB →+23AC →=-16AB →+23AC → =-16a+ 2 3b. 答案 -16a+ 2 3b 【真题体验】 1.解析 因为E 为CD 的中点,则ED→+EC→=0, 可得 AE→+ED→=AD→, AE→+EC→=AC→, 两式相加,可得到2AE→=AD→+AC→, 即2AE→=12a+b ,则AE→=14a+ 1 2b. 答案 14a+ 1 2b 2.解析 由题意结合向量平行的充分必要条件可得 2×4-λ×5=0, 解方程可得λ=85. 故答案为8 5. 答案 85 【易误警示】 [示例1] 解析 设O 为坐标原点, ∵AC→=12BC →,∴OC→-OA→=12 (OC→-OB→). ∴OC→=2OA→-OB→=(3,-6). ∴点C的坐标为(3,-6). 又∵|CE→|=14|ED →|,且E 在DC 的延长线上, ∴CE→=-14ED →. 设E(x,y),则(x-3,y+6)=-14 (4-x,-3-y), ∴ x-3=-14 (4-x), y+6=-14 (-3-y), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=83 , y=-7, ∴点E 的坐标为 83 ,-7 . 答案 83 ,-7 [示例2] A 由AB→=2AE→,AF→=FD→,知E,F 分别为 AB,AD 的中点. 如图,设AC与BF 的交点为P,易得△APF∽△CPB, 所以AP CP= AF CB= AF AD= 1 2 ,所以AP→=13AC →. 因为点E 是AB 的中点,所以AE→=12AB →. 由P,G,B 三点共线知,存在m∈R,满足AG→=mAP→+ 1-m AB→=13mAC →+ 1-m AB→. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 高一数学(配RJA版) 由C,G,E 三点共线知, 存在n∈R,满足AG→=nAE→+ 1-n AC→=12nAB →+ 1-n AC→. 所以1 3mAC →+ 1-m AB→=12nAB →+ 1-n AC→. 又因为AC→,AB→为不共线的非零向量, 所以 1-m=12n , 1 3m=1-n , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=35 , n=45 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以AG→=25AB →+15AC →. 作业(三) 平面向量的数量积 【基础演练】 1.A 因 为a=(-2,1),b=(3,2),所 以a·(a+b)= (-2,1)·(1,3)=-2+3=1. 2.C 因为a=(2,1),b=(-1,1), 所以2a-b=(5,1), 所以|2a-b|= 52+12= 26,故选C. 3.C a=(2,4),b=(-1,m),则a-b=(3,4-m), ∴(a-b)·b=-3+m(4-m)=0,即-3+4m-m2=0, 解得m=1或m=3. 4.解析 由题意可得 a+b=(4,-1), 2a-b=(2,1), 两式相加可得3a= (6,0),即a=(2,0), 可得a-b=(2a-b)-a=(0,1), b=(a+b)-a=(2,-1), 所以cos<a-b,b>= a-b ·b |a-b|·|b|= -1 1× 5 =- 55. 答案 - 55 【综合演练】 1.B A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2), 则AB→=(-4,-3),AC→=(-2,4), cos∠BAC= AB →·AC→ |AB→|·|AC→| =8-12 5×2 5 =-2 525. 2.A 由于a∥c,b⊥c,所以 1×6=3m , 3n+12=0, 解得m=2,n=-4, 所以a+b=(1,2)+(-4,2)=(-3,4), 所以|a+b|= (-3)2+42=5. 3.A ∵|a|=4,∴4m=4,解得m=1, 即b=(1,1), cos<a,b>= a ·b |a||b|= 4 4× 2 = 22 , 又<a,b>∈[0,π], ∴a和b的夹角大小为π4. 4.D 向量a,b都是单位向量,且|a-b|=1,则(a-b)2= a2+b2-2a·b=2-2a·b=1,解得2a·b=1, 所以|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a·b= 3. 5.A ∵AB→·AC→=2AB→·AD→, ∴AB→·AC→-AB→·AD→=AB→·DC→=AB→·AD→, ∵AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4 , ∴2|AB→|=|AB→|·|AD→|cosπ4 , 可得 AD→ =2 2, ∴AC→·AD→=(AD→+DC→)·AD→=AD→2+AD→·DC→=8+ 2 2×2×cosπ4=12. 6.BCD 由题意得AB→=(4,-2),故A错误; AD→=(1,2),因为AB→·AD→=4×1-2×2=0, 所以AB→⊥AD→,故B正确; DC→=(6,-3),所以AB→=23DC →,所以AB→∥DC→, 且|AB→|≠|DC→|, 结合AB→⊥AD→,可得四边形ABCD 为直角梯形,故C、D 正确. 【真题体验】 1.B 向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 所以|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= -1. 2.D 因为a= 1,1 ,b= 1,-1 , 所以a+λb= 1+λ,1-λ ,a+μb= 1+μ,1-μ , 由 a+λb ⊥ a+μb 可得,a+λb ·(a+μb)=0, 即 1+λ 1+μ + 1-λ 1-μ =0,整理得λμ=-1. 故选D. 【易误警示】 [示例 1] B ∵a,b 夹 角 为 钝 角,∴cos <a,b>= a·b a · b <0 且a,b不共线, 即a·b=4x+3<0且x 2x+3 ≠2, 解得x<-34 且x≠-2, ∴x的取值范围为 -∞,-2 ∪ -2,-34 . [示例2] B 因为向量AB→,BC→的夹角为2π3 ,所以AB→· BC→=2×2×cos2π3=-2 ,故选B. 作业(四) 正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.A B=180°-45°-75°=60°,由 正 弦 定 理 得 ACsin60°= BC sin45° ,得AC=BC ·sin60° sin45° = 2× 32 2 2 = 3. 2.D 由正弦定理可得asinB=bsinA⇒2sinB=3× 22⇒ sinB= 32 , 由于B∈(0,π),b>a,所以B=π3 或2π 3 ,故选D. 3.D 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3,得a= 3. 4.A 由余弦定理可得cosC=a 2+b2-c2 2ab = 1+4-7 2×1×2=- 1 2 , 由于0°<C<180°,故C=120°,故选A. 5.D ∵c= 3,b=1,B=30°, ∴由正弦定理可得sinC=csinBb = 3×12 1 = 3 2 , ∵C∈ 0,π ,可得C=60°或120°, ∴A=180°-B-C=90°或30°, ∴S△ABC= 1 2bcsinA= 3 2 或 3 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54—