作业(八)空间点、直线、平面之间的位置关系-2024年高一数学暑假作业(人教A版)

空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个基本事实 基本事实1:过不在一条直线上的三个点, 有且只有一个平面. 基本事实2:如果一条直线上的两个点在 一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一 个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线. 基本事实4:平行于同一条直线的两条直 线平行. 2.三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个 平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个 平面. 3.空间中直线与直线的位置关系 共面直线 相交直线 平行直线 异面直线:不同在任何一个平面内,没有 公共点. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 4.空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有:直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行三种 情况. 5.空间中平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有平行、相交两种 情况. 6.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平 行,那么这两个角相等或互补. 7.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空 间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直 线a'与b'所成的角叫做异面直线a 与b所 成的角(或夹角). (2)范围:0,π2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . 1.空间两条互相平行的直线指的是 ( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的 两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条 直线 2.能确定一个平面的条件是 ( ) A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈ a,N∈b,M∈l,N∈l,则 ( ) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 4.在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中,直 线 A1B 与直线AC 的位置关系为 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 高一数学(配RJA版) 1.在空间中,三条两两相交的直线最多可确 定的平面的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无数 2.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a 与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平 面β,且a∩b=P,则P∈l D.若n 条直线中任意两条共面,则它们 共面 3.两条直线a,b分别和异面直线c,d 都相 交,则直线a,b的位置关系是 ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.可能是平行直线 D.可能是异面直线,也可能是相交直线 4.(2024·哈尔滨模拟)已 知 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2, BC=CC1=1,则异面直线AB1 与BC1 的 夹角的余弦值为 . 5.如图,设不全等的△ABC 与 △A1B1C1 不在同一个平面内, 且AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥ C1A1,求证:AA1,BB1,CC1 三线共点. (2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P 为B1D1 的中点,则直线PB 与AD1 所成的角为 ( ) A.π2 B. π 3 C.π4 D. π 6 易错一 对基本事实理解不透彻致错 [示例1] 下列说法正确的是 ( ) A.空间中不同的三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个 平面 C.空间中有三个角为直角的四边形一定 是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一 定在同一个平面内 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 忽视基本事实1中的关键词“不在一条直线上”,就 会错选A;若对两两相交的三条直线的情况考虑不 全,就会错选B;空间想象能力不够,就会错选C. 易错二 利用基本事实忽略前提条件致错 [示例2] 已知A,B,C,D,E 五点中,A,B, C,D 共面,B,C,D,E 共面,则A,B,C,D, E 五点的位置关系是 ( ) A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解本题时易误认为因为A,B,C,D 共面,所以点A 在B,C,D 所确定的平面内.因为B,C,D,E 共面, 所以点E 也在B,C,D 所确定的平面内,所以点 A,E 都在B,C,D 所确定的平面内,即A,B,C,D, E 五点一定共面,以上错解忽略了“不在一条直线 上的三个点”这个重要条件,实际上B,C,D 三点 有可能共线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 高一数学(配RJA版) 2.C 如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m), 所以该棱台的体积V=13×9× (140+ 140×180+ 180)×106=60×(16+3 7)×106≈60×(16+3× 2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3),故选C. 【易误警示】 [示例1] B 由题图可知,AB⊥AC, AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2, 所以S△ABC= 1 2×1×2=1. 故选B. [示例2] 解析 如图,旋转之后形成的图形为圆台去掉 一个半球体. 则旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 为 1 3 ×4× 4π+25π+ 4π×25π -12× 4 3π×2 3=140π3 . 答案 140π3 作业(八) 空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D 因为两平行直线确定一个平面,且两平行直线没有公 共点,所以空间两条互相平行的直线指的是在同一平面内 且没有公共点的两条直线. 2.D A项,三个点可能共线;B项,点可能在直线上;C 项,无数个点也可能在同一条直线上. 3.A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,又∵N∈b,b⊂α,∴N∈α, 又 M,N∈l,∴l⊂α. 4.B ∵A1B∩平面ABCD=B,又AC⊂平面ABCD,B∈ 平面ABCD,B∉AC, ∴A1B 与AC 为异面直线. 【综合演练】 1.C 在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定3个 平面,如图所示. PA,PB,PC 相交于一点P,若PA,PB,PC 不共面,则 PA,PB 确 定 一 个 平 面PAB,PB,PC 确 定 一 个 平 面 PBC,PA,PC确定一个平面PAC. 2.AC 对于A,正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b 相交”,也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,正 方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面, 故D错误. 3.D 已知直线c与d 是异面直线,设直线a与直线c和 直线d 分别交于点A,B,直线b与直线c和直线d 分别 交于点C,D, 根据题意可得当点D 与点B 重合时,两条直线相交,当 点D 与点B 不重合时,两条直线异面,所以直线a,b的 位置关系是异面或相交. 4.解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD A1B1C1D1, 则所求角为∠BC1D 或其补角, ∵BC1= 2,BD = 22+1-2×2×1×cos60°= 3, C1D=AB1= 5, 易得C1D2=BD2+BC21,即BC1⊥BD, 因此cos∠BC1D= BC1 C1D = 2 5 = 105 . 答案 105 5.证明 不妨设AB≠A1B1,则四边形AA1B1B 为梯形, ∴AA1 与 BB1 相 交,设 其 交 点 为 S,则 S∈AA1, S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1. 同理可证,S∈平面ACC1A1,∴点S在平面BCC1B1与 平面ACC1A1的交线上, 即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点. 【真题体验】 D 如图,∠PBC1为直线PB 与AD1所成的角. 易知△A1BC1 为正三角形,又 P 为A1C1 中 点,所 以 ∠PBC1= π 6. 【易误警示】 [示例1] D 空间中共线的三 点不能确定一个平面,所以选 项A错误;空间中两两相交的 三条直线交于同一点时,可能 确定一个平面也可能确定三个平面,所以选项B错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 空间中有三个角为直角的四边形可能是空间图形,所以 选项C错误;选项D正确,如图,因为a∥b,所以直线a, b确定一个平面α.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平 面β.因为l⊂α,l⊂β,由“经过两条相交直线,有且只有 一个平面”可知α与β重合,所以a,b,c,l共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共 线,则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以 点A 在平面α 内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平 面α内. 所以点A,E 都在平面α 内,即A,B,C,D,E 五点一定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C, D,E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一 定共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也 可能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(九) 空间直线、平面的平行 【基础演练】 1.D 由a∥b,且a∥α,知b∥α或b⊂α. 2.C 因为平面α∥平面β,直线l∥α,所以直线l可能和 平面β平行,也可能在平面β内.故选C. 3.D A项还可能l⊂α,故A错误;B项还可能a与平面α 相交,故B错误;C项还可能a⊂α,故C错误;由直线与 平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确. 4.D 对于A、B,直线l⊂平面α,直线m⊂平面β,若l∥ m,则α与β相交或α∥β,故A、B错误; 对于C、D,若l∩m=P,则P∈l且P∈m,又直线l⊂平 面α,直线m⊂平面β, 所以P∈α且P∈β,则α与β相交,故C错误,D正确. 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项A不正确; 当m∥α,n⊂α时,m,n可以是异面直线,因此选项B不 正确; 当m∥n,n∥α时,存在m⊂α这一情况,所以选项C不 正确; 根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ, ∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于点N,M,连接 MN, 由面面 平 行 的 性 质 得 MN∥平 面 ABCD,由 于 平 面 KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 4.解析 如图,连接AC交BD 于点O,连接CN 交BM 于 点G, 由AN∥平面BDM,可得AN∥OG, ∵OA=OC,∴CG=NG,∴G 为CN 的中点, 作 HN∥BM,∴CM=HM, ∵PM∶MC=4∶1,则PH∶HM=3∶1, ∴PN∶NB=PH∶HM=3∶1. 答案 3∶1 5.证明 连接BD. 因为E,F 分别是棱AC,BC 的中 点,所以EF∥AB. 因为EF⊂平面C1EF,AB⊄平面 C1EF,所以AB∥平面C1EF. 因为D,F 分别是棱B1C1,BC 的 中点,所以BF∥C1D,BF=C1D, 所以 四 边 形 BDC1F 是 平 行 四 边形, 则BD∥C1F. 因为C1F⊂平面C1EF,BD⊄平面C1EF, 所以BD∥平面C1EF. 因为BD⊂平面ABD,AB⊂平面ABD,且AB∩BD=B, 所以平面ABD∥平面C1EF, 因为AD⊂平面ABD,所以AD∥平面C1EF. 【真题体验】 (1)证明 过 点 E 作EE'⊥AB 于 点E',过 点 F 作 FF'⊥BC于点F',连接E'F'(图略). ∵底面ABCD 是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均 为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直, ∴EE'⊥AB,FF'⊥BC, ∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD, ∴EE'∥FF' 又EE'=FF'=8× 32=4 3 , ∴四边形EE'F'F 为平行四边形. ∴EF∥E'F', ∴E'F'⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2)解析 同理,过点G,H 分别作GG'⊥CD,HH'⊥ DA,交CD,DA 于点G',H',连接F'G',G'H',H'E', AC(图略),由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA 的 中点,EFGH E'F'G'H'为长方体,故该包装盒可分成 一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成. 由底面ABCD 是边长为8的正方形可得E'F'=H'E'= 1 2AC=4 2 , ∴所求该包装盒的容积为 V=VEFGH E'F'G'H'+4VAEE'H'H =E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H × 1 4AC =4 2×4 2×4 3+13×4 3×4 2×8 2= 640 3 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25—