作业(十四)垂直关系-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

垂直关系 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直,那么该直线 与此平面垂直 l⊥a l⊥b a∩b=A a⊂α b⊂α 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成 的角,一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,则它 们所成的角是0°的角. (2)范围:0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 . 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所成的角称为二面角的平面角. (3)二面角的平面角α的范围:[0,π]. 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的 垂线,那么这两个平面垂直 l⊥β l⊂α ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内 有一条直线垂直于这两个平面 的交线,那么这条直线与另一个 平面垂直 α⊥β α∩β=a l⊥a l⊂β 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒l⊥α —03— 高一数学(配BSD版) 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于 平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内 的直线 可 能 相 交,可 能 异 面,也 可 能 平行 C.若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α 2.下列条件能使直线m⊥平面α的是( ) A.m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B.m⊥b,b∥α C.m∩b=A,b⊥α D.m∥b,b⊥α 3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β 的关系是 ( ) A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β 4.(2023·开封高一期中) 在 四 棱 锥 P ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, 且ABCD 为正方形,则此四棱锥表面中互 相垂直的面有 ( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 1.下面四个说法:①如果一条直线垂直于一 个平面内的无数条直线,那么这条直线和 这个平面垂直;②过空间一定点有且只有 一条直线和已知平面垂直;③垂直于同一 平面的两条直线互相平行;④经过一个平 面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正 确说法的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面三角 形 A1B1C1 是正三角 形,E 是BC 的中点, 则下列叙述正确的是 ( ) A.直线CC1 与直线B1E 相交 B.CC1 与AE 共面 C.AE 与B1C1 是异面直线但不垂直 D.平面AB1E 垂直于平面CBB1C1 3.如 图,在 四 棱 锥 P ABCD 中,底 面 ABCD 是边长为a 的 正 方 形,PA⊥ 平 面 ABCD.若PA=a,则 直线PB 与平面PCD 所成的角的大小为 ( ) A.π6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 4.(多选)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,BC= AC,AC1⊥A1B,M,N 分别 是A1B1,AB 的中点,那么 下列结论正确的有 ( ) A.B1C1⊥平面AA1C1C B.A1B⊥NB1 C.平面A1BC⊥平面AMC1 D.平面AMC1∥平面CNB1 5.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱AA1⊥ 底 面 ABC,底 面 是 以 ∠ABC为直角的等腰三 角形,AC=2,BB1=3, D 是A1C1 的中点,点F 在线段AA1 上,当AF= 时,CF ⊥平面B1DF. 6.在 四 棱 锥 P ABCD 中,AB ∥CD, AD=2,AB= 2,CD=2 2,△PAD 为等 边三角形,∠PDC=∠ADC=45°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— (1)证明:平面PDC⊥平面PBC; (2)求点C到平面PAB 的距离. (2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC- A1B1C1 中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C; (2)设 AB=A1B,AA1 =2,求 四 棱 锥 A1-BB1C1C的高. 易错一 对面面垂直的判定定理理解不到 位致错 [示例1] 如图,点 P 在正方体ABCD A1B1C1D1 的面对角线BC1 上运动,有下 面四个结论:①三棱锥A D1PC 的体积 不变;②A1P∥平面 ACD1;③DP⊥BC1; ④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确结论 的序号是 .(写出所有你认为正确 结论的序号) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 本题易忽视点P 在BC1 上运动时,平面PDB1 内 的B1D⊥平面ACD1,导致无法证明平面PDB1⊥ 平面ACD1 而漏选④.一条直线与一个平面垂直, 则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线,线 线垂直、线面垂直和面面垂直之间是可以相互转 化的,应准确掌握,灵活应用. 易错二 对线面垂直的性质应用不当致错 [示例2] 已知 m,n 为异面直线,m⊥平 面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n, l⊄α,l⊄β,则 ( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线与l垂直 D.α与β相交,且交线与l平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解答本题时,容易忽视α∥β 时,可由条件推出 m∥n,与m,n为异面直线矛盾,导致错选A.也容 易忽视构造辅助平面γ,无法利用线面垂直的性质 定理证明线线平行,导致错选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— PN∥平面DBB1D1.同理可证GF∥平面DBB1D1.因 为四边形BCC1B1 是平行四边形,N,F 分别是B1C1, BC 的 中 点,所 以 NF∥BB1.又 因 为 NF⊄ 平 面 DBB1D1,BB1 ⊂ 平 面 DBB1D1,所 以 NF ∥ 平 面 DBB1D1.同理可证PG∥平面DBB1D1.又因为PN∩ NF=N,PN,NF⊂平面PNFG,所以平面PNFG∥平 面DBB1D1.因为PF⊂平面PNFG,NG⊂平面PNFG, 所以PF∥平面DBB1D1,NG∥平面DBB1D1.同理可 证QM,ME,EH,HQ,QE,MH 也与平面DBB1D1 平 行,所以与平面DBB1D1平行的直线共有12条. 作业(十四) 垂直关系 【基础演练】 1.AC 2.D 3.D 4.B 【综合演练】 1.C 如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直, 这条直线可能在平面内,可能与平面平行,也可能与平 面斜交,故①错误; 由线面垂直的性质可知,过空间一定点有且只有一条直 线和已知平面垂直,故②正确; 由线面垂直的性质可知,垂直同一平面的两条直线互相 平行,故③正确; 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平 面与这个平面垂直,故④正确. 2.A 在三棱柱ABC A1B1C1 中,CE∥B1C1,且CE= 1 2B1C1 ,所以四边形CEB1C1为梯形,直线CC1 与直线 B1E 相交,故A正确; 由几何图形易知CC1与AE 为异面直线,故B错误; AE 与B1C1 是异面直线,且三角形ABC 是正三角形, AE⊥BC, 又BC∥B1C1,则AE⊥B1C1,故C错误; 在三棱柱中未给出侧面CBB1C1与上下底面的关系,不 能判断AE 是否与平面CBB1C1 垂直,故无法判断平面 AB1E 与平面CBB1C1是否垂直,故D错误;故选A. 3.A 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平 面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD 是边 长为a的正方形, 所以 CD⊥AD,又 PA∩AD=A,PA⊂平 面 PAD, AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以CD⊥PD, 设B 到平面PCD 的距离为h,直线PB 与平面PCD 所 成的角为θ, 则PB= 2a,PD= 2a, 所以VBPCD=VPBCD, 即1 3× 1 2× 2a×a×h= 1 3× 1 2×a×a×a , 所以h= 2a2 ,所以sinθ= hPB= 2a 2 2a =12 , 又θ∈ 0,π2 ,所以θ=π6. 4.BCD 因为B1C1与A1C1不一定垂直,所以B1C1 与平 面AA1C1C不一定垂直,故A错误. 由侧 棱 AA1⊥ 平 面 A1B1C1,可 得 AA1⊥C1M.由 B1C1=A1C1及 M 为A1B1的中点,可得C1M⊥A1B1. 又因为AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面A1ABB1, 所以C1M⊥平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1,从而 C1M⊥A1B. 已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M,AC1⊂平 面 AMC1,所以A1B⊥平面AMC1,从而平面A1BC⊥平面 AMC1,A1B⊥AM. 又 MB1∥AN,MB1=AN,所以 ANB1M 是平行四边 形,所以AM∥NB1,A1B⊥NB1,所以B和C正确. AM∥NB1,AM⊄平面CNB1,NB1⊂平面CNB1,所以 AM∥平面CNB1, 同理MC1∥平面CNB1,MC1∩AM=M,MC1,AM⊂平 面AMC1,所以平面AMC1∥平面CNB1,故D正确. 5.解析 由 已 知 得 B1D⊥平 面 ACC1A1,又CF⊂平 面 ACC1A1,所以B1D⊥CF,若CF⊥平面B1DF,则必有 CF⊥DF, 设AF=x(0<x<3),则CF2=x2+4,DF2=1+(3- x)2,CD2=12+32=10, 所以由CF2+DF2=CD2,得x2+4+1+(3-x)2=10, 解得x=1或x=2, 所以当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF. 答案 1或2 6.(1)证明 取CD 的中点E,连接PE,AE,如图, 易知DE= 2,PD=2,∠PDE=45°, 在△PDE中,由余弦定理得,PE2=PD2+DE2-2PD· DEcos∠PDE=2, 则DE2+PE2=PD2,故PE⊥CD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— 高一数学(配BSD版) 由AD=2,DE= 2,∠ADE=45°,同理可得AE= 2, 且AE⊥CD, 故∠AEP 为二面角A DC P 的平面角, 又PA=2,则AE2+PE2=PA2,故∠PEA=90°,故平 面PDC⊥平面ABCD, 又CE 与AB 平行且相等,且∠AEC=90°,则 四 边 形 ABCE 为矩形, 故BC⊥CD.又 BC⊂平 面 ABCD,平 面 PDC∩平 面 ABCD=CD, 故BC⊥平面PDC,又BC⊂平面PBC,则平面PDC⊥ 平面PBC. (2)解析 连接AC,设点C到平面PAB 的距离为h, 由(1)得平面ABCD⊥平面PCD,PE⊥CD,由面面垂直 的性质定理,同理可得PE⊥平面ABCD, VCPAB=VPABC,即 1 3S△PAB ·h=13S△ABC ·PE, ∵PE⊥CD,AE⊥CD,PE∩AE=E,PE,AE⊂平 面 AEP,则CD⊥平面AEP, 又 AB∥CD,故 AB⊥平 面 AEP,PA⊂平 面 AEP, 故PA⊥AB, 故S△PAB= 1 2×2× 2= 2 ,故 2 3 ·h=13× 1 2× 2× 2× 2,解得h=1. 即点C到平面PAB 的距离为1. 【真题体验】 (1)证明 因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC, 又∠ACB=90°,即AC⊥BC, A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C, 所以BC⊥平面ACC1A1, 又BC⊂平面BCC1B1, 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. (2)如图所示, 过点A1作A1O⊥CC1,垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,平面ACC1A1∩平 面BCC1B1=CC1,A1O⊂平面ACC1A1, 所以A1O⊥平面BCC1B1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC, 所以A1C⊥BC,A1C⊥AC, 又A1B=AB,BC为公共边, 所以△ABC与△A1BC全等,所以A1C=AC. 设A1C=AC=x,则A1C1=x, 所以O 为CC1中点,OC1= 1 2AA1=1 , 又A1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA12, 即x2+x2=22,解得x= 2,即A1C1= 2, 所以A1O= A1C12-OC12= (2)2-12=1, 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 【易误警示】 [示例1] 解析 连接 AC,A1C1,A1B,AD1,D1C,A1P (图 略).因 为 AA1∥CC1,AA1=CC1,所 以 四 边 形 AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.又因为AC⊄ 平面 A1BC1,A1C1⊂ 平 面 A1BC1,所 以 AC∥ 平 面 A1BC1.同理可证AD1∥平面 A1BC1.又因为 AC⊂平 面ACD1,AD1⊂平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平 面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1,所以 A1P∥平面 ACD1,故②正 确.因 为 BC1∥AD1,所 以 BC1∥平面 ACD1,所以点 P 到平面ACD1 的距离不 变.又因为VAD1PC=VPACD1,所以三棱锥A D1PC的 体积不变,故①正确.连接 DB,DC1,DP,B1D(图略). 因为DB=DC1,所以当P 为BC1 的中点时才有DP⊥ BC1,故 ③ 错 误.因 为 BB1⊥平 面 ABCD,AC⊂平 面 ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB1∩BD= B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D. 因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理可证 B1D⊥AD1.又 因 为 AC⊂ 平 面 ACD1,AD1⊂ 平 面 ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1.又因为 B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④ 正确. 答案 ①②④ [示例2] D 若α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得 m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交. 设α∩β=a,过空间内一点P,作m'∥m,n'∥n,则m'与 n'相交,m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m,l⊥n,所以 l⊥m',l⊥n',所以l⊥γ. 因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ. 又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a 不重合,所以l∥a. 作业(十五) 简单几何体的再认识 【基础演练】 1.D 2.B 3.ACD 4.4+4 5 【综合演练】 1.D 正方体的体积为1,截得的三棱锥的体积为13× 1 2× 1 2× 1 2× 1 2= 1 48 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—