作业(十二)空间点、直线、平面之间的位置关系-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

空间点、直线、平面之间的位置关系 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的 三个点,有且只有一个 平面 A,B,C 三点不共线⇒存在唯一的平面α 使A, B,C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两 个点在一个平面内,那 么这条直线在这个平 面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平 面有一个公共点,那么 它们有且只有一条过 该点的公共直线 P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l (2)基本事实1和基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外一点确定一 个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 确定平面的依据 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行 关系 图形 语言 符号 语言 a∥b (a∩b=⌀) a∥α (a∩α=⌀) α∥β (α∩β=⌀) —42— 高一数学(配BSD版) 续表 关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交 关系 图形 语言 符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a,b是 异面直线 a⊂α 3.基本事实4和等角定理 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角 已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面,我们把a'与b' 所成的不大于90°的角称为异面直线a,b所成的角(或夹角).其范围是 0,π2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.空间两条互相平行的直线指的是 ( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的 两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 2.能确定一个平面的条件是 ( ) A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α, M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则 ( ) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 4.在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中,直 线 A1B 与直线AC 的位置关系为 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 1.在空间中,三条两两相交的直线最多可确 定的平面的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无数 2.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a 与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平 面β,且a∩b=P,则P∈l D.若n条直线中任意两条共面,则它们共面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— 3.两条直线a,b分别和异面直线c,d 都相 交,则直线a,b的位置关系是 ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.可能是平行直线 D.可能是异面直线,也可能是相交直线 4.(2024·哈尔滨模拟)已 知 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2, BC=CC1=1,则异面直线AB1 与BC1 的 夹角的余弦值为 . 5.如图,设不全等的△ABC 与 △A1B1C1 不 在 同 一 个 平 面 内,且 AB ∥ A1B1,BC ∥ B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1 三 线共点. (2021· 全国 乙 卷)在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,P 为B1D1 的中点,则直线 PB 与AD1 所成的角为 ( ) A.π2 B. π 3 C.π4 D. π 6 易错一 对基本事实理解不透彻致错 [示例1] 下列说法正确的是 ( ) A.空间中不同的三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个 平面 C.空间中有三个角为直角的四边形一定 是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一 定在同一个平面内 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 忽视基本事实1中的关键词“不在一条直线上”, 就会错选A;若对两两相交的三条直线的情况考 虑不全,就会错选B;空间想象能力不够,就会错 选C. 易错二 利用基本事实忽略前提条件致错 [示例2] 已知A,B,C,D,E 五点中,A,B, C,D 共面,B,C,D,E 共面,则A,B,C,D, E 五点的位置关系是 ( ) A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解本题时易误认为因为A,B,C,D 共面,所以点A 在B,C,D 所确定的平面内.因为B,C,D,E 共面, 所以点E 也在B,C,D 所确定的平面内,所以点 A,E 都在B,C,D 所确定的平面内,即A,B,C,D, E 五点一定共面,以上错解忽略了“不在一条直线 上的三个点”这个重要条件,实际上B,C,D 三点 有可能共线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— 高一数学(配BSD版) 所以 z1 的最大值为 1 2 2 + 3 2 2 +1=2,故D正 确,故选AD. 7.解析 由题意,复数满足(1+i)z=2i,则z= 2i1+i= 2i·(1-i) (1+i)(1-i)= 2i+2 2 =1+i , 所以|z|= 12+12= 2. 答案 2 8.解析 由 题 意 得z= (-1+2i)(2+i) i = (-4+3i)i i·i = 3+4i, 则􀭵z=3-4i,所以􀭵z的虚部为-4. 答案 -4 【真题体验】 1.B 由 题 意 可 得z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i1-1+i= i2+i i2 = 2i-1 -1=1-2i ,则􀭵z=1+2i.故选B. 2.A 因为z=1-i2+2i= 1-i 1-i 21+i 1-i = -2i 4 =- 1 2i , 所以z=12i ,即z-z=-i.故选A. 3.C 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i =2, 所以 2a=2 1-a2=0 ,解得a=1.故选C. 4.C 5 (1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i. 故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 (1)当m 满足m2+3m+2=0,且m2- 2m-2>0, 即m=-2或m=-1时,z是实数. (2)当m 满足m2+3m+2≠0且m2-2m-2=1, 即m=3时,z是纯虚数. [示例2] 解析 设x0是方程的实数根,代入方程并整理 得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0, ∴ x20+kx0+2=0, 2x0+k=0, 解得 x0= 2, k=-2 2 或 x0=- 2,k=2 2, ∴实数k的值为±2 2. 答案 ±2 2 作业(十二) 空间点、直线、平面之间的 位置关系 【基础演练】 1.D 2.D 3.A 4.B 【综合演练】 1.C 在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定3个 平面,如图所示. PA,PB,PC 相交于一点P,若PA,PB,PC 不共面,则 PA,PB 确 定 一 个 平 面PAB,PB,PC 确 定 一 个 平 面 PBC,PA,PC确定一个平面PAC. 2.AC 对于A,正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b 相交”,也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,正 方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面, 故D错误. 3.D 已知直线c与d 是异面直线,设直线a与直线c和 直线d 分别交于点A,B,直线b与直线c和直线d 分别 交于点C,D, 根据题意可得当点D 与点B 重合时,两条直线相交,当 点D 与点B 不重合时,两条直线异面,所以直线a,b的 位置关系是异面或相交. 4.解析 如图所示,补成直四棱柱ABCD A1B1C1D1, 则所求角为∠BC1D 或其补角, ∵BC1= 2,BD = 22+1-2×2×1×cos60°= 3, C1D=AB1= 5, 易 得 C1D2 = BD2 + BC21,即 BC1 ⊥ BD,因 此 cos∠BC1D= BC1 C1D = 2 5 = 105 . 答案 105 5.证明 不妨设AB≠A1B1,则四边形AA1B1B 为梯形, ∴AA1与BB1相交,设其交点为S, 则S∈AA1,S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1. 同理可证,S∈平面ACC1A1,∴点S在平面BCC1B1 与 平面ACC1A1的交线上, 即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点. 【真题体验】 D 如图,∠PBC1为直线PB 与AD1所成的角. 易知△A1BC1 为 正 三 角 形,又 P 为A1C1 中 点,所 以 ∠PBC1= π 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 【易误警示】 [示例1] D 空间中共线的三 点不能确定一个平面,所以选 项A错误;空间中两两相交的 三条直线交于同一点时,可能确定一个平面也可能确定 三个平面,所以选项B错误;空间中有三个角为直角的 四边形可能是空间图形,所以选项C错误;选项 D正 确,如图,因为a∥b,所以直线a,b确定一个平面α.因为 b∥c,所以直线b,c确定一个平面β.因为l⊂α,l⊂β,由 “经过两条相交直线,有且只有一个平面”可知α与β重 合,所以a,b,c,l共面. [示例2] D 分两类进行讨论.(1)若B,C,D 三点不共 线,则它们确定一个平面α.因为A,B,C,D 共面,所以 点A 在平面α内.因为B,C,D,E 共面,所以点E 在平 面α内. 所以点A,E 都在平面α 内,即A,B,C,D,E 五点一定 共面. (2)若B,C,D 三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A,B,C, D,E 五点一定共面,但平面不唯一; 若A,E 中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E 五点一 定共面. 若A,E 都不在l上,则A,B,C,D,E 五点,可能共面,也 可能不共面. 综上,A,B,C,D,E 五点的位置关系无法确定. 作业(十三) 平行关系 【基础演练】 1.D 2.C 3.D 4.D 【综合演练】 1.D 当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项A不正确; 当m∥α,n⊂α时,m,n可以是异面直线,因此选项B不 正确; 当m∥n,n∥α时,存在m⊂α这一情况,所以选项C不 正确; 根据面面平行的性质可知选项D正确,故选D. 2.D ∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ, ∵a⊂α,γ∩α=c,∴a∥c, ∴b∥c,∴a∥b∥c,故选D. 3.D 如图所示, 作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E 交平面KSHG 于点N,M,连接 MN, 由面面 平 行 的 性 质 得 MN∥平 面 ABCD,由 于 平 面 KSHG 有无数多个, 所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条,故选D. 4.BC 选项A,在△ABC 中,因为E,F 分别是边AB,BC 的中点,所以EF∥AC且EF=12AC , 当λ=μ= 1 2 时,H,G 分 别 为 DA,DC 中 点,所 以 在 △DAC中可得HG∥AC且HG=12AC ,所以EF∥HG 且EF=HG, 所以四边形EFGH 是平行四边形, 又E,H 分别为AB,AD 的中点,所以EH∥BD, 又EF∥AC, 当BD⊥AC 时 有 EH ⊥EF,平 行 四 边 形 EFGH 为 矩形, 所以四边形EFGH 不一定是矩形,A错误; 选项B,当λ=μ= 2 3 时,DG DC= DH DA = 2 3 ,所 以 HG= 2 3AC ,且 HG∥AC, 则由A可知EF∥HG 且EF≠HG,所以四边形EFGH 是梯形,B正确; 选项C,当λ≠μ时,EF 不平行于HG,又因为 HG⊂平 面ADC,EF⊄平面ADC, 所以 HG,EF 是异面直线,四边形EFGH 是空间四边 形,C正确; 选项D,不妨设直线EH,FG,BD 相交于一点O, 因为EF∥AC,AC⊂平面ADC,EF⊄平面ADC, 所以EF∥平面ADC, 又因为直线EH,FG 相交于点O, 所以EF⊂平面EHGF, 因为平面EHGF∩平面ADC=HG, 所以EF∥HG∥AC, 所以可得λ=μ,矛盾,D错误.故选BC. 5.解析 将①② 作 条 件,③ 作 结 论:若 m∥α,α∥β,则 m⊂β.此命题为假命题(结论应为m⊂β或m∥β); 将①③作条件,②作结论:若m∥α,m⊂β,则α∥β.此命 题为假命题(结论应为α与β相交或α∥β); 将②③作条件,①作结论:若α∥β,m⊂β,则m∥α.由两 平面平行的性质可知此命题为真命题. 答案 若α∥β,m⊂β,则m∥α 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45—