作业(十)三角恒等变换的应用-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

三角恒等变换的应用 1.半角公式 (1)Sα2:sin α 2=± 1-cosα 2 , sin2α2= 1-cosα 2 ; (2)Cα2:cos α 2=± 1+cosα 2 , cos2α2= 1+cosα 2 ; (3)Tα2:tan α 2=± 1-cosα 1+cosα (无理形式), tan2α2= 1-cosα 1+cosα ; tanα2= sinα 1+cosα= 1-cosα sinα (有理形式). 2.函数f(x)=asinx+bcosx(a,b为常数), 可以化为f(x)= a2+b2sin(x+φ) 其中 tanφ= b a 或f(x)= a2+b2cos(x-φ) 其中tanφ= a b . 1.若cosα=23 ,α∈(0,π),则cosα2 的值为 ( ) A.66 B.- 6 6 C.306 D.- 30 6 2.设a=cos212°-sin212°,b= 2tan12° 1-tan212° , c= 1-cos48°2 ,则有 ( ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c 3.设函数f(x)=sin3x+cos3x,若fx+t 是奇函数,则t= . 4.(2023·天津河西高一期中)已 知 函 数 f(x)=cos2x+ 3sinxcosx-12 ,则函数 的单调递增区间为 . 1.若cosθ=725 ,θ∈ 0,π ,则sin π2+ θ 2 = ( ) A.12 B. 3 2 C.35 D. 4 5 2.(2023· 南京高一期中)函 数 f(x)= 2cosx-cos2x,则函数的奇偶性及最大 值为 ( ) A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为32 D.偶函数,最大值为32 3.若cosxcosy+sinxsiny=12 ,sin2x+ sin2y=23 ,则sin(x+y)= ( ) A.23 B.- 2 3 C.13 D.- 1 3 4.已 知 sin(α+β)sin(β-α)=m,则 cos2α-cos2β 2 = ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 高一数学(配BSD版) A.-m B.m C.-4m D.4m 5.(多选)(2023·成都高一期中)已知函数 f(x)= 32sin2x- 1 2cos2x ,则下列说法正 确的是 ( ) A.y= f(x)的最小正周期为π B.y=f(x)的图象关于x=π3 对称 C.若y=f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个 单位后关于原点对称,则φ 的最小值 为5π 3 D.f(x)在 -π6 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的值域为 -1,1 6.若一个等腰三角形顶角的正弦值为2425 ,则 其底角的余弦值为 . 7.已知sinα+sinβ= 1 4 ,cosα+cosβ= 1 3 ,那 么tan(α+β)的值为 . 8.已 知 函 数 f(x)= 12sinx+cosx · sinx-cosx + 3sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)设f α2+ π 4 = 33,-π2<α<0,求 cosα的值. 1.(2022·北京卷)已知函数f(x)=cos2x- sin2x,则 ( ) A.f(x)在 -π2 ,-π6 上单调递减 B.f(x)在 -π4 ,π 12 上单调递增 C.f(x)在 0,π3 上单调递减 D.f(x)在 π4 ,7π 12 上单调递增 2.(2021·全国乙卷)函数f(x)=sinx3+ cosx3 的最小正周期和最大值分别是 ( ) A.3π和 2 B.3π和2 C.6π和 2 D.6π和2 易错一 求三角函数最小正周期,非等价 变形致误 [示例1] 函数f(x)= tanx1-tan2x 的最小正周 期为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 忽略了f(x)= tanx1-tan2x 与y=12tan2x 定义域不 相同,f x+π2 =f(x)对定义域内的π2不成立, 所以π 2 不是f(x)= tanx1-tan2x 的周期. 易错二 忽视角的范围致误 [示例2] 已知sinα= 55 ,sinβ= 10 10 ,且α, β为锐角,则α+β= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 根据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一 个三角函数值,再确定角的范围,确定角的范围时 不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条 件,根据三角函数值缩小角的范围.本题中(0,π) 中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计 算cos(α+β)避免增解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 高一数学(配BSD版) 2.B 由题意可得sinθ+12sinθ+ 3 2cosθ=1 ,则3 2sinθ+ 3 2cosθ=1 ,3 2sinθ+ 1 2cosθ= 3 3 ,从而有sinθcosπ6+ cosθsinπ6= 3 3 ,即sinθ+π6 = 33. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵θ为锐角,cos(θ+15°)=35 , ∴sin(θ+15°)=45. ∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425 , cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=- 7 25. ∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)· cos45°+sin(2θ+30°)sin45°=-725× 2 2+ 24 25× 2 2= 17 2 50 . 答案 17 250 [示例2] 解析 因为sin(π-α)=4 37 , 所以sinα=4 37 . 因为0<α<π2 ,所以cosα= 1-sin2α=17. 因为cos(α-β)= 13 14 ,且0<β<α< π 2 , 所以0<α-β< π 2 , 所以sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 3 3 14. 所以cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =17× 13 14+ 4 3 7 × 3 3 14= 1 2. 因为0<β< π 2 ,所以β= π 3. 答案 π3 作业(十) 三角恒等变换的应用 【基础演练】 1.C 2.A 3.-π12+ kπ 3 ,k∈Z 4.kπ-π3 ,kπ+π6 (k∈Z) 【综合演练】 1.D 因为cosθ=725=2cos 2θ 2-1 ,所以2cos2θ2= 32 25 , 则cos2θ2= 16 25. 因为θ∈ 0,π ,所以θ2∈ 0 ,π 2 ,即 cosθ2>0 ,故cosθ2= 4 5. 所以sin π2+ θ 2 =cosθ2=45. 2.D f -x =2cos -x -cos2 -x =2cosx- cos2x=f(x),所以函数为偶函数.f(x)=2cosx- cos2x=-2cos2x+2cosx+1=-2 cosx-12 2 + 3 2 ,所以当cosx=12 时,f(x)取最大值32. 3.A 因为cosxcosy+sinxsiny=12 ,所以cos(x-y)= 1 2 ,因为sin2x+sin2y=23 ,所以2sin(x+y)cos(x-y)= 2 3 ,所以2sin(x+y)·12= 2 3 ,所以sin(x+y)=23 ,故 选A. 4.B sin(α+β)sin(β-α) =cos [(α+β)-(β-α)]-cos[(α+β)+(β-α)] 2 =cos2α-cos2β2 =m. 5.BD f(x)= 32sin2x- 1 2cos2x=sin2x- π 6 .对选 项A:y= f(x)的图象是由f(x)的图象的x 轴下方 的部分向上翻折形成,周期减半,故T=12× 2π 2= π 2 , 故A错误; 对选项B:当x=π3 时,2x-π6= π 2 ,故y=f(x)的图象 关于x=π3 对称,故B正确; 对选项C:平移后的解析式为g(x)=sin 2 x-φ - π 6 =sin2x-2φ-π6 ,函数关于原点对称,则-2φ- π 6=kπ ,k∈Z,即φ=- π 12- kπ 2 ,k∈Z,当k=-1时,φ= -π12+ π 2= 5π 12 满足条件,故C错误; 对选项D:当x∈ -π6 ,π 2 时,2x-π6∈ -π2,5π6 , 故f(x)∈ -1,1 ,故D正确;故选BD. 6.解析 设顶角α∈ 0,π , 则sinα=2425 ,cosα=± 1- 2425 2 =±725 , ∴sinα2= 1-cosα 2 = 3 5 或4 5 ,则其底角的余弦值为 cos π2- α 2 =sinα2=35或45. 答案 35 或4 5 7.解析 由sinα+sinβ= 1 4 ,得2sinα+β2 cos α-β 2 = 1 4 , 由cosα+cosβ= 1 3 ,得2cosα+β2 cos α-β 2 = 1 3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 所以tanα+β2 = 3 4 , 所以tan(α+β)= 2tanα+β2 1-tan2α+β2 = 2×34 1-916 =247. 答案 247 8.解析 (1)f(x)=-12cos2x+ 3 2sin2x=sin 2x- π 6 ,令2x-π6∈ -π2+2kπ,π2+2kπ ,k∈Z,解得 x∈ -π6+kπ ,π 3+kπ ,k∈Z,所以f(x)的单调递增 区间为 -π6+kπ ,π 3+kπ ,k∈Z. (2)f α2+ π 4 =sin2 α2+π4 -π6 =sin α+π3 = 33 ,由-π2<α<0 得-π6<α+ π 3< π 3 ,所以cos α+ π 3 = 1-sin2 α+π3 = 63,所以cosα=cos α+π3- π 3 =12cosα+π3 + 32sinα+π3 =12× 63+ 32× 3 3= 3+ 6 6 . 【真题体验】 1.C f(x)=cos2x-sin2x=cos2x, 选项A中:2x∈ -π,-π3 ,此时f(x)单调递增; 选项B中:2x∈ -π2 ,π 6 ,此时f(x)先递增后递减; 选项C中:2x∈ 0,2π3 ,此时f(x)单调递减; 选项D中:2x∈ π2 ,7π 6 ,此时f(x)先递减后递增. 故选C. 2.C 由题,f(x)= 2sin x3+ π 4 ,所以f(x)的最小正 周期为T=2π1 3 =6π,最大值为 2.故选C. 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵f(x)= tanx1-tan2x =12 · 2tanx 1-tan2x = 1 2tan2x ,定义域为 x x≠kπ+π2 且x≠kπ+π4 . ∴f(x)= tanx1-tan2x 的最小正周期为π. 答案 π [示例2] 解析 因为α,β为锐角,所以cosα= 1-sin2α =2 55 ,cosβ= 1-sin2β= 3 10 10 . 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 2 5 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 , 又因为0<α+β<π,所以α+β= π 4. 答案 π4 作业(十一) 复 数 【基础演练】 1.B 2.B 3.C 4.B 【综合演练】 1.D z=i2+(k+1)i+k=(k-1)+(k+1)i, 因为复数z是纯虚数,所以 k-1=0 k+1≠0, 解得k=1. 2.C 由题意,在z+iz=i中,1+i z=i,即z= i1+i= i1-i 1+i 1-i = 1 2+ 1 2i , ∴􀭵z=12- 1 2i ,􀭵z = 12 2 + -12 2 = 22. 3.C 因为z=1-4i 3 1-i= 1+4i 1-i= (1+4i)(1+i) (1-i)(1+i)= -3+5i 2 , 所以复数z的实部与虚部分别是-32 ,5 2 ,则复数z的 实部与虚部之和为-32+ 5 2=1. 4.C ∵1+i是方程x2+px+q=0的根, ∴(1+i)2+p(1+i)+q=0⇒p+q+(2+p)i=0, ∵p,q∈R,∴p+q=0且2+p=0,故选C. 5.C 根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复 平面内以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,而|z|表示复 数z到原点的距离, 由图可知,|z|min= 12+(-2)2-1= 5-1. 6.AD 因为z=12+ 3 2i ,所以􀭵z=12- 3 2i , 所以z􀭵z= 1 2+ 3 2i 12- 32i = 14 + 34 =1,故 A 正确; 复数z的虚部为 32 ,故B错误; z2= 1 2+ 3 2i 2 =14- 3 4+ 3 2i=- 1 2+ 3 2i ,所以z2≠ 􀭵z,故C错误; 若复数z1满足 z1-z =1,设z1=a+bi(a,b∈R), 则 点 a,b 的 轨 迹 是 以 1 2 ,3 2 为 圆 心,半 径 为 1 的圆, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25—