作业(三)函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象-2024年高一数学暑假作业(北师大版)

高一数学(配BSD版) 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ) A>0, ω>0,|φ|< π 2 一个周期内的简图时,要找 五个关键点 x -φω - φ ω + π 2ω π-φ ω 3π 2ω- φ ω 2π-φ ω ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.函数y=sinx的图象经变换得到y= Asin(ωx+φ)的图象的两种途径 3.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0),x ∈ [0, +∞)表 示 一 个 振 动 量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=2πω f=1T =ω2π ωx+φ φ 1.为了得到函数y=sin2x-π3 的图象,只 需把函数y=sinx-π3 的图象上所有的 点的 ( ) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的12 ,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的12 ,横坐标不变 2.函数f x =3sin2x-π3 向左平移φ 个 单 位 0<φ< π 2 得 到 g x 的 图 象,若 gx 是偶函数,则φ= ( ) A.π3 B. π 4 C.π6 D. 5π 12 3.将函数y=2sin3x-π6 的图象向右平移 π 6 个单位长度后,所得图象对应的函数为 ( ) A.y=2sin3x B.y=2sin3x+π3 C.y=2sin3x-π3 D.y=2sin3x-2π3 4.已 知 函 数 f x =2sin ωx+φ ω>0, φ < π 2 的部分图象如图所示,则ω 的 值为 ( ) A.2 B.1 C.12 D. 1 4 1.将函数f x =sin2x 的图象先向右平移 π 3 个单位长度,再把所得函数图象上每一 个点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —5— 变,得 到 函 数 g x 的 图 象,则 g π2 的 值为 ( ) A.12 B.- 3 2 C.-12 D. 3 2 2.将函数f(x)=2sin2x+π6 的图象向左 平移π 12 个单位,得到函数g(x)的图象,则 函数g(x)的一条对称轴为 ( ) A.x=π12 B.x= π 6 C.x=5π12 D.x= 5π 6 3.将函数fx =sin2x-π3 的图象向右平 移 φ φ>0 个 单 位,所 得 图 象 关 于 点 π 2 ,0 对称,则φ的最小值为 ( ) A.π6 B. π 3 C.2π3 D. 4π 3 4.(多选)为了得到函数f(x)=sin 3x-π6 的图象,只需将函数g(x)=sinx的图象 ( ) A.所有点的横坐标缩短到原来的13 ,纵坐 标不变,再将所得图象向右平移π 18 个单 位长度 B.所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵 坐标不变,再将所得图象向右平移π 18 个 单位长度 C.向右平移π6 个单位长度,再将所得图象 所有点的横坐标缩短到原来的1 3 ,纵坐 标不变 D.向右平移π18 个单位长度,再将所得图象 所有点的横坐标缩短到原来的1 3 ,纵坐 标不变 5.(多选)把函数fx =sin2x-π5 的图象 向左平移3π 10 个单位长度后得到gx 的图 象,则 ( ) A.gx =sin2x+π10 B.gx 的图象关于直线x=π20 对称 C.gx 的图象关于点 -π5 ,0 对称 D.gx 在 0,π10 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上单调递增 6.已 知 函 数 f x =cosωx+φ ω>0, φ < π 2 的部分图象如图所示,则fx = . 7.设关于x 的方程sin2x+π6 =k+12 在 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 内有两个不同的实数根α,β,则k的 取值范围是 . 8.已知函数fx =sin2x+π4 ,x∈R. (1)列表,并在所给坐标系中用五点法作出 一个周期内的函数图象. x 2x+π4 f x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —6— 高一数学(配BSD版) (2)写出f x 的单调区间,对称轴,对称 中心. 1.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin3x 的图象,只要把函数y=2sin3x+π5 图象 上所有的点 ( ) A.向左平移π5 个单位长度 B.向右平移π5 个单位长度 C.向左平移π15 个单位长度 D.向右平移π15 个单位长度 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线y= 1 2 与 曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6 , 则f(π)= . 易错一 三角函数图象变换致错 [示例1] 将函数f x =sin2x+π3 的图 象向右平移φ0<φ<π 个单位长度,得到 函数g x 的图象,若g x 是奇函数,则 φ的可能取值有 个. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 “先平移再伸缩”与“先伸缩再平移”是图象变换考 查的重点,也是易错点,一定要明确左右平移变换 的对 象 始 终 是 自 变 量 x.如 本 题 中g x = sin2x-φ + π 3 =sin 2x-2φ+π3 ,而 不 是 g x =sin2x-φ+ π 3 . 易错二 忽视φ的特征致错 [示例2] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ) x∈R,ω>0,|φ|< π 2 的部分图象如图所 示,则fx = . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作 为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与 x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰 点”)为ωx+φ= π 2 ;“第三点”(即图象下降时与 x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷 点”)为ωx+φ= 3π 2 ;“第五点”为ωx+φ=2π[或区 分图象上升零点(使ωx+φ=2kπ,k∈Z)和图象递 减零点(使ωx+φ=2kπ+π,k∈Z)]. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —7— 高一数学(配BSD版) 作业(三) 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 【基础演练】 1.B 2.D 3.D 4.C 【综合演练】 1.C 将函数f x =sin2x的图象先向右平移π3 个单位 长度,得 到y=sin 2x-π3 =sin 2x-2π3 的 图 象;再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的 2倍,纵坐标不变,得到g x =sinx-2π3 的图象,故 g π2 =sin -π6 =-12. 2.A 将函数f(x)=2sin2x+π6 的图象向左平移π12个 单位,得到函数g(x)的图象, 则g(x)=2sin2x+π12 +π6 =2sin2x+π3 , 令2x+π3=kπ+ π 2 ,k∈Z,得2x=kπ+π6 , 即x=kπ2+ π 12 ,k∈Z, 则当k=0时,对称轴为x=π12 ,故选A. 3.B 将函数f x =sin2x-π3 的图象向右平移φ个 单位,可得函数g x =f x-φ =sin 2x-2φ-π3 的图象, 由题意可得,sin2×π2-2φ- π 3 =0, 解得2π 3-2φ=kπ ,k∈Z, 化简可得φ= π 3- kπ 2 ,k∈Z, 由φ>0,则当k=0时,φ取得最小值 π 3. 4.AC 将函数g(x)=sinx 的图象所有点的横坐标缩短 到原来的1 3 ,纵坐标不变,再将所得图象向右平移π 18 个 单位长度,可以得到函数f(x)=sin3x-π6 的图象, A正确. 将函数g(x)=sinx 的图象所有点的横坐标伸长到原 来的3倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移π18 个单 位长度,可以得到函数f(x)=sin 13x- π 54 的图象,B 不正确. 将函数g(x)=sinx的图象向右平移π6 个单位长度,再 将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的1 3 ,纵坐标不 变,可以得到函数f(x)=sin3x-π6 的图象,C正确. 将函数g(x)=sinx的图象向右平移π18 个单位长度,再 将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的1 3 ,纵坐标不 变,可以得到函数f(x)=sin3x-π18 ,D不正确. 5.BC 由 函 数 f x =sin 2x-π5 的 图 象 向 左 平 移 3π 10 个单位长度后得到g x =sin 2x+3π10 -π5 = sin2x+2π5 ,故A错误; 当x=π20 时,2x+2π5= π 2 ,即g π20 =1,故B正确; 当x=-π5 时,2x+2π5=0 ,即g -π5 =0,故C正确; 当x∈ 0,π10 时,2x+2π5∈ 2π5,3π5 ,易知2x+2π5∈ 2π 5 ,π 2 时函数g x 单调递增,故D错误. 6.解析 由题意得,函数周期为 T=4× π3- π 12 =π, 所以ω=2πT=2 , 所以f x =cos2x+φ , 由f π12 =cos π6+φ =1, 得π 6+φ=2kπk∈Z , 即φ=2kπ- π 6 k∈Z , 又因为 φ < π 2 ,所以φ=- π 6 , 所以f x =cos2x-π6 . 答案 cos2x-π6 7.解 析 ∵x∈ 0,π2 ,∴2x + π6 ∈ π6,7π6 , ∴sin2x+π6 ∈ -12,1 . 令π 6≤2x+ π 6≤ π 2 ,解得0≤x≤π6 , 令π 2≤2x+ π 6≤ 7π 6 ,解得π 6≤x≤ π 2 , 即 y =sin 2x+π6 在 0,π6 上 单 调 递 增,在 π 6 ,π 2 上单调递减, 根据题意可得y=sin2x+π6 的图象和直线y=k+12 有两个交点,如图所示, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— ∴k+12 ∈ 1 2 ,1 ,解得k∈[0,1). 答案 0,1 8.解析 (1)列表: x -π8 π 8 3π 8 5π 8 7π 8 2x+π4 0 π 2 π 3π 2 2π f x 0 1 0 -1 0 描点、连线如图所示. (2)令2kπ-π2≤2x+ π 4≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 解得kπ-3π8≤x≤kπ+ π 8 ,k∈Z, 从而可求得f x 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ-3π8,kπ+ π 8 ,k∈Z, 令2kπ+π2≤2x+ π 4≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 解得kπ+π8≤x≤kπ+ 5π 8 ,k∈Z, 从而可求得f x 的 单 调 递 减 区 间 为 kπ+π8,kπ+ 5π 8 ,k∈Z. 令2x+π4=kπ+ π 2 ,k∈Z. 解得x=12kπ+ π 8 ,k∈Z, 可得f x 的对称轴方程为x=12kπ+ π 8 ,k∈Z. 令2x+π4=kπ ,k∈Z,解得x=12kπ- π 8 ,k∈Z, 可得函数f(x)的对称中心为 12kπ- π 8 ,0 (k∈Z). 【真题体验】 1.D 因为y=2sin3x=2sin3x-π15 +π5 ,所以把函 数y=2sin3x+π5 图象上的所有点向右平移π15个单 位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.故选D. 2.解析 设A x1, 1 2 ,B x2,12 ,则x2-x1=π6, ωx2+φ-(ωx1+φ)= 5 6π- π 6= 2π 3 ,ω(x2-x1)= 2π 3 , ∴ω=4, f 23π =sin 8π3+φ =0,8π3 +φ=kπ(k∈Z), φ=- 8 3π+kπ ,k∈Z, k=2时,φ=- 2 3π ,f(x)=sin4x-23π 满足条件. ∴f(π)=sin -23π =- 32. 答案 - 32 【易误警示】 [示例1] 解析 ∵函数f x =sin2x+π3 的图象向 右平移φ 0<φ<π 个单位长度,得到函数g x 的图 象,∴g x =sin 2x-φ + π 3 =sin 2x-2φ+ π 3 , 若g x 是奇函数,则有-2φ+ π 3=kπ ,k∈Z, 解得φ= π 6- kπ 2 ,k∈Z, 由0<φ<π,则k=0时,φ= π 6 ;k=-1时,φ= 2π 3 , φ的可能取值有2个. 答案 2 [示例2] 解析 观察图象可知,T2= π 3- - π 6 =π2, ∴T=π,∴ω=2πT =2 ,f(x)=sin(2x+φ),将 -π6 ,0 代入上式得sin -π3+φ =0,则-π3+φ= kπ,k∈Z,由|φ|< π 2 ,得 φ= π 3 ,则 f(x)= sin2x+π3 . 答案 sin2x+π3 作业(四) 平面向量的概念及线性运算 【基础演练】 1.ACD 2.D 3.D 4.PQ→ 【综合演练】 1.C 对于A,若|a|=|b|,但两向量方向不确定,则a=b 不成立,故选项A错误;对于B,向量无法比较大小,故选项 B错误;对于C,若a=-b,则两向量反向,因此a∥b,故选 项C正确;对于D,若|a|=0,则a=0,故选项D错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44—